振动台试验测试信号去噪的小波变换方法

　　摘　要　本文利用小波变换下有效信号和随机噪声在多尺度空间中模极大值不同的传播特性，对地震模拟振动台试验测试信号进行去噪处理，取得良好效果。
　　关键词:小波变换，多尺度传播特性，振动台试验测试信号
　　中图分类号：P62

WT METHOD FOR DE-NOISING
OF SHAKING TABLE TEST SIGNALS

Du Fang　Lu Wensheng　Cao Wenqing

(Institute of Engineering Structures, Tongji UNIversity, Shanghai, 200092)

　　Abstract　Based on the difference of maximum modulus evolution between signals and random noises in multi-scale sPACe of WT, the signals from shaking table test are processed for random noise reduction.
　　Key words: wavelet transform, multi-scale evolution behavior, signals from shaking table test

0　引　言
　　地震模拟振动台试验是地震工程研究的重要手段。振动台试验可以按照研究者的要求，借助于天然记录地震波或人工地震波的输入，模拟在任何场地上的地面运动的特性，进行结构的随机振动分析，指导工程结构的抗震设计，提供建立特种结构力学模型的依据，检验产品的抗振能力等等^［1］。天然记录地震波由于传播介质对波的反射和折射，一般都包括体波和面波等多种成份，它们在介质中的传播速度和衰减规律均不同，因而使记录的地震波以及以其为母波生成的人工地震波在振幅与相位都关于时间呈现显著的非平稳特性。
　　振动台试验过程中，由于相关噪声(工频干扰等)和随机噪声(环境噪声，测量误差等)的影响，振动台面的驱动信号以及各测点的测试信号实际上是含噪的非平稳随机过程。由于这类信号的谱特性沿时间轴无限扩展，利用傅里叶变换的基函数很难与其匹配，因此，通过核心为傅里叶变换的传统的信号处理方法对其进行分解、去噪等处理，往往不能尽如人意。
　　小波变换是将信号与所选的小波基函数进行卷积。由于小波基函数在时域和频域均具有局部化性质的平移和伸缩，故小波变换可将信号分解成为多个具有不同时间分辨率和频率分辨率的信号，从而揭示信号在不同尺度上的时域行为特征。因此，小波变换适合于非平稳信号的分析和处理。由于信号中混入噪声之后，会引起信号的奇异性，其奇异程度用奇异指数来表征。随机噪声和有效信号本身的奇异点的奇异指数大小不同，从而它们的小波变换的模极大值在不同尺度下的传播行为也不一样。利用这一特性可以将有效信号和噪声分开，达到振动台试验测试信号去噪的目的。

1　信号的小波变换及其模极大值的变化关系
1.1　小波变换
　　设L²(R)是实数直线上的平方可积Hilbter函数空间，小波ψ(t)∈L²(R)为满足=0的函数^［2］，则信号f(t)∈L²(R)的小波变换定义为下列卷积形式：
　　　　　　　　　　

(1)

　　上式中，s为伸缩尺度参数，变动s及τ可以衍生出不同的小波函数。变动s可使函数的波形沿时间轴伸展或压缩；变动τ则使函数波形沿时间轴移位。如果变动s和τ形成一簇小波函数，然后将待分析的信号f(t)按这簇函数进行分解，则根据展开系数就可以知道信号f(t)在某一局部时间内位于某局部频段的信号成分是多少，从而实现可调窗口的时、频局部分析。
　　为了便于数值计算，实际中常对尺度s进行二进制离散，τ仍按等距离散，则(1)式可表示为：
　　　　　　

(2)

(2)式即为二进小波变换。可以证明^［2］如果小波函数满足条件 (A、B均为正常数)，则一定存在重构小波χ(t)，使得信号可以由它的小波变换完全恢复
　　　　　　　　　　　　

(3)

1.2　信号与噪声在多尺度小波变换下的传播特性
1.2.1　信号奇异性与小波变换模极大值的关系
　　设信号f(t)∈L²(R)，若f(t)在t₀处奇异性为a，是指对t₀的某邻域的任意t有
　　　　　　　　　　　　

(4)

其中，K为常数。奇异指数a的大小反映了该点奇异性的大小。由此可知，阶跃信号在跳变点处的奇异性为零，冲击函数具有负的奇异性。因此，奇异指数a越大函数越光滑，越小则表明函数在某点处变化剧烈。如果f(t)在某点可导，其a值至少为1；如果f(t)在某点不连续但有限，则0≤a≤1。可以证明^［3,4］：在点t₀的邻域内，f(t)的小波变换满足：
　　　　　　　　　　　　｜W₂^jf(t)｜≤K(2^j)^a
该式两边取对数后为：
　　　　　　　　　　　　log₂｜W₂^jf(t)｜≤log₂K+αj

(5)

由(5)式可知，对奇异点t₀，由于其奇异度小于邻域内其余点的奇异指数，所以当二进尺度2^j充分趋于零时，t₀处的小波变换模值衰减得最慢，从而邻域内的点t收敛到t₀且成为模极大值。当某一点的a≥0时，f(t)的小波变换在该点的模极大值幅度将可能随着尺度的增大而增加；反之，当a≤0时，f(t)的小波变换在该点的模极大值幅度将可能随着尺度的增大而减小。因此，根据小波变换极大值的变化特性来检测信号的局部奇异性，通过搜索尺度空间中的模极大值线并利用信号和噪声不同的尺度特性达到去噪的目的。
1.2.2　白噪声的模极大值传播特性
　　可以证明，白噪声是一个几乎处处奇异的随机分布，且具有负的奇异指数
　　　　　　　　
　　设n(t)是实的方差为σ²的宽平稳白噪声，W^j₂n(t)是其二进制小波变换，设小波ψ(t)为实函数，则W^j₂n(t)也是一随机过程，其方差：
　　　

(6)

因则(6)式成为
　　　　　　　　　　　

(7)

(7)式表明，｜W_2^jn(t)｜²的平均幅度反比于二进尺度2^j，这里‖ψ‖²、σ²均为常数。另外可以推得W^j₂n(t)在二进尺度2^j下模极大值的平均稠密度等于^［4］：
　　　　　　　　　　　

(8)

其中ψ⁽¹⁾(t)和ψ⁽²⁾(t)为ψ(t)的一阶和二阶导数。由(8)式知高斯白噪声的小波模极大值的平均稠密度反比于二进尺度2^j。式(7)和式(8)成为区分有效信号和噪声模极大值传播行为的重要特性之一。
　　振动台试验测试信号中有效信号是连续可导的，不连续值也是有限的，可以断定这些点的a值大于等于零。因而，有效信号的小波变换的模极大值随着尺度的增大而增大；而叠加在其中的随机噪声的a值为负数，其对应的小波变换的模极大值随着尺度的增大而减小。因此，我们可以通过观察不同的二进尺度2^j之间模极大值的变化行为来区分模极大值是由随机噪声还是由有效信号产生的，从而消除由随机噪声控制的模极大值点，然后由保留的模极大值点利用交替投影方法重建信号。

2　去噪算法及实现
　　依据上述原理，采用下列步骤来进行振动台试验测试信号的去噪处理：
　　(1) 对含噪的振动台测试信号进行离散二进小波变换分解。一般来讲，大的尺度数目将使信号极值点个数占优，但尺度过大会丢失信号的某些重要的局部奇异性。这里取J=4，即将测试信号分解在4个不同的尺度上。
　　(2) 对小波变换系数作尺度相关处理，以突出由信号边缘产生的模值，减小由噪声产生的模值。
　　(3) 寻找每级尺度上小波变换系数对应的模极大值点。
　　(4) 对于2^j上的每一个极大值点t₀，搜索其对应的极大值线。由于噪声的模极大值幅度及密度随尺度的增大而以二进制速率降低，因此对不同的尺度采用不同的处理方式。
　　对于最大尺度2^j上的模极大值点，主要由信号控制，但考虑一些较小幅度的点上仍然有可能是由较低一级尺度上的噪声极大值点传播而来，为此，设定一个取决于信噪比和J值的门限值T₀，利用T₀可将2^j上幅度小于T₀的模极大值剔除，而保留幅度大于T₀的模极大值。
　　对于尺度2^j (1＜j＜J)上的极大值点t₀，向下寻找t₀对应的传播点，t₀点模极大值在各个尺度上的传播应在一个锥形范围内^［4］：｜t-t₀｜=C2^j。若该点模极大值随着尺度的增大而增加，则认为是有效信号传播点，予以保留；反之，则认为是噪声予以剔除。
　　对于2^j尺度，它几乎完全由噪声控制，故其模极大值全部剔除。根据2^j至2^j(j＞1)上对应极值点估计相应的奇异指数，重新算出第一个尺度的极值点，而其模极大值则和2²尺度上对应的极值点相同。
　　(5) 将保留的各尺度上的模极大值点利用交替投影法重建信号。

3　算　例
　　以对一个模拟地震振动台试验的测试信号的处理为例。该振动台试验以EL-Centro东西波作为模拟七度基本地震烈度的输入波对试件加载，试件可等效为一个单质点阻尼体系。采用美国MTS公司的地震软件STEX2对整个试验系统的响应特性进行补偿和修正后，产生振动台台面的实际驱动信号如图1所示，在此信号作用下，试件上东西方向加速度响应的实际测试信号如图2所示，此时试件处于线弹性状态。

图1　振动台面驱动波形

　　采用本文上述算法，对图2所示信号进行去噪处理，处理结果如图3所示。图4为采用传统的FFT对图2进行处理的结果。为了比较两者在去噪性能方面的差异，我们分别求出图3所示的信号对图1所示信号的相关函数(如图5所示)和图4所示信号对图1所示信号的相关函数(如图6所示)。从两个相关函数可以看出，图3所示信号对台面驱动信号的相关性明显大于图4所示信号对台面驱动信号的相关性，说明图3所示信号中噪声的成份远小于图4所示信号。可见，本文所述算法在振动台信号的去噪方面优于传统的FFT算法。