注：国家自然科学基金资助项目（69974001）；国家科技部攀登计划资助项目（国科基字[1999]045）；安徽省自然科学基金资助项目（99043522）
摘要：分析V形槽静电超声传感器微气隙结构研究静电场不均匀性，用解拉普拉斯方程的方法解的单个V形槽面电荷密度。通过建立p/4角两平板电容器模型，提出V形槽静电传感器电容值的定量计算方法，得到与试验相接近的结果。
关键词：静电超声传感器；V形槽面电荷密度；静电容
中图分类号 TP212.1 文献标识码：A
一、引言
近十年来，微气隙结构静电超声传感器被广泛用于气载超声传感器、机器人自动测距、无损扫描、声成像和声显微等领域。随着微加工技术和微电子电路不断发展，将其整合构成微机电系统有了更广阔的应用前景。
V形槽超声传感器是微气隙静电超声传感器的一种重要类型，弄清楚此传感器的传感机制，建立可靠的先验理论模型，对其内部电容值的分析计算显得非常重要。1995年荷兰学者在一篇IEEE文章中提出通过理论近似公式[4]，求得其电容值C0＝570pF，与实际的测量值C0＝950pF有很大差距，文中明确指出存在脊部分，但忽略了其电容值计算，因而产生较大误差。本文在该文章基础上全面分析了V形槽内部电荷分布情况，提出其电容值的理论计算公式，并对一典型V形槽传感器进行分析计算，得出结果与试验测得值完全吻合。
二、理论分析
微气隙结构静电超声传感器的物理结构[1][3][4][5]如同图1所示电容器，它由一个镀有金属电极得可动极板（膜片）和一个静止极板（具有90°V形槽背板）构成。
从图1我们可以注意到，这种V形槽的微气隙结构超声传感器可以看作是由图2所示的宽为w长度为dl的微单元构成的。因此，问题的关键是要确定这个微单元的静电容值，这样进而对整个膜片的面积积分就得到这个V形槽传感器的静电容值。此微单元片由气隙部分和脊部分组成。气隙部分由宽w－b，深h的气隙以及厚dm的膜组成，膜片和背板之间受外加电压U0作用，使得此气隙部分电荷发生变化产生电场。因为电压 Edl，所以背板与膜片接触处距离最小，此处电场强度E最强；槽底处距离最大，电场强度最弱。电场强度大小与电荷分布有关，所以电荷分
布应集中在背板与膜片相接触处及附近，槽底附近的电荷几乎没有；脊部分由左右各宽b/2，长dl，厚dm的导电膜片组成，该部分形成一平行板电容器，由于膜片厚度很小，导致其电场强度和电荷密度很大，电容值相应变大，所以此部分电容不能忽略。此微单元片的电容应由气隙电容和脊电容并联组成。
由于V形槽是对称结构，选取槽单元片一半作为研究对象，并建立如图3所示的极坐标系，即π/4角两导电平面模型[1]。其中图中将厚度为dm相对介电常数er的介电材料膜，等效为厚度dm/er的空气膜。气隙内部体电荷密度ρ＝0，所以该区域内任意点的电势U满足拉普拉斯方程[2]。
在直接坐标系下有：
（1）
V形槽中，矩形模板的纵向尺寸比横向尺寸大的多，因此可认为系统的几何形状不随z变化，即 。所以（1）式可写成：
（2）
在极坐标系下可化为：
（3）
用半径r和角f有关的函数乘积做式（3）的试探解：
（4）
代入（3）式，则得： （5）
对（5）式进行分离，其每一项是单一变量的函数，同时乘上 ，并令每一项等于常数n2，使得：
；
（6）
求得F的解为：
（7）
用n＝0时与半径r无关的式（7）的解：
由给定边界条件： ；
（8）
可解得势函数： （9）
电场强度为： （10）
于是，上电极上的面电荷密度为：
（11）
V形槽单元片气隙电容为： （12）
从而解得： （13）
V形槽单元片脊电容： （14）
V形槽单元片电容： （15）
由于每个V形槽均有相同结构，传感器总电容是所有微单元的电容的和。而静电传感器为圆柱形，等效长度为S/W，即 ，其中，
（a是传感器半径）于是，传感器总电容为：
（16）
即： （17）
三、应用分析
采用上述方法对参考文献[4]中半径a＝33.5mm，槽宽w＝0.5mm，膜厚dm＝8mm，相对介电常数er＝3，槽深h，脊宽b的典型静电传感器电容值进行定量计算。用mathematica软件编程，求得不同脊宽对应传感器电容值如表1所示。
本文提出的电容计算公式—式（17）中前半部分即气隙部分与IEEE上提出的近似公式 [4]基本相同，但参考文献[4]计算时认为传感器的脊宽b为0，槽深h就是槽宽w的一半，忽略了脊部分电容。但从上表1中明显可以看出随脊宽度增大产生的脊电容值也随之增大，不可以忽略。从表1我们可以做出断定，参考文献[4] V形槽传感器脊宽应在10mm左右，此时与理论试验值950pF可以达到很好的一致。
四、结论
提出了V形槽静电超声传感器电容值的理论计算方法。该方法通过建立模型，对静电超声传感器静电场不均匀性进行了理论分析，得出其内部电势电场和电荷分布，从而得出传感器电容值理论计算公式。采用此方法计算还存在一些误差。主要原因：计算过程中做了一些近似处理和简化，没有考虑边缘效应；同时在求单个V形槽电容值时忽略了其它槽对该槽电容值影响；另外在施加偏置电压U0后，忽略了膜片发生形变的影响。进一步工作需要对模型进行改进，同时要进一步分析膜片发生形变对面电荷密度的影响。
参考文献：
[1.] 葛立峰．微气隙结构超声传感器的理论模型[J]．科学通报，1997，42(22)： 2387－2390．
[2.] 马库斯．赞思，吕继尧等译．电磁场理论解题方法[M]，北京：人民邮电出版，1987：289－293，304－306．
[3.] Li-Feng Ge．Electrostatic Airborne UltrasoNIc Transducers: Modeling and Characterization[J]． IEEE Trans on Ultrasonics，Ferroelectrics and Frequency Control， 1999，46(5)：1120-1127．
[4.] Pentti．Mattila， Fabio．Tsuzuki， Hdli．Vaataja， Ken．Sasaki．Electroacoustic model for electrostatic ultrasonic tranducers with V-grooved backplates[J]．IEEE Trans on Ultrasonics,，Ferroelectrics and Frequency Control，1995，42(1)：1～7．
[5.] <![endif]> J．Hietanen， J．Stor-Pellinen， M．Laukala．A model for an electrostatic ultrasonic transducer with A grooved backplate[J]．Meas Sci Technol，1992，3(11)：1095－1097．
