用于火箭炮弹姿态测量的微机械陀螺初始热漂移建模

图1　姿态的测量过程

　　以下的工作是以某型号火箭炮为背景展开的。该火箭炮炮弹在空中主动段飞行时间3秒。假设从发射 指令下达到发射建模时间也是3秒，下面就利用这3秒的时间建模。
　　设陀螺输出y由漂移f和平稳随机项e组成

y(n)=f(n)+e(n),n=1,2,…,N,　　　　　　　　　　　　　　(1)

　　本文研究f的建模。设f可由η阶多项式近似

　　　　　　　　　　　　　　(2)

其中θ_i+1，i=1,…，n为待辨识的系数。于是

　　　　　　　　　　　　　　(3)

将式(3)写成矩阵形式

y_N=Φ_Nθ+e_N　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

其中

　　当N＞η+1时，方程(4)为超定方程。取二次型准则函数

则方程(4)有最小二乘解

　　　　　　　　　　　　　　(5)

这样就得到了漂移模型(2)及其参数。显然解(5)存在，因为Φ^T_NΦ_N是可逆的。
　　为了能在线计算式(5)，下面将其改成递推公式。
　　记Φ_N的第i行为

φ_i-(1,i,…,i^η)

则有

又定义　　　则

　　　　　　　　　　　　(6)

记　　　则

R_N=R_N-1+φ^T_Nφ_N　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

又记则式(6)可写成

　　　　　　　　　　　　　　(8)

对式(7)求逆，可得

P_N=P_N-1-P_N-1φ^T_N(φ_NP_N-1φ^T_N+1)^-1φ_NP_N-1　　　　　　　　　　　(9)

这样式(8)、(9)就构成了计算的递推公式。
　　在利用式(8)和式(9)计算_N、P_N时，需要事先确定初值₀和P₀。显然有，当η=1时，P₀=(Φ^T₂Φ₂)^-1，₀= P₀Φ^T₂y₂；当η=2时，P₀=(Φ^T₃Φ₃)^-1，₀= P₀Φ^T₃y₃。
　　下面估计辨识的精度。将式(4)代入式(5)得

_N=θ+(Φ^T_NΦ_N）^－1Φ^T_Ne_N　　　　　　　　　　　　　(10)

　　上式右边第二项中e_N的系数阵(Φ^T_NΦ_N）^－1Φ^T_N的范数随N的增加而趋于0。因此估计误差将随N的增加而趋于0。按式(10)计算估计误差的方差：

图2　各系数误差的方差(η=1)

　　　　　　　　　　　　　(11)

　　假设e_N的各分量是独立同分布的，且均值为0，方差为σ²_e，当σ²_e=1时，式(11)的计算结果见图2和图3。从图中可以看出多项式低次项系数比高次项系数有更高的精度。因此在实际应用中应尽量采用低阶多项式。计算式(3)中由δ引起的f(n),n=η+1,…,N的估计误差能得到更直接的结果：

　　　　　　　　　　　　　(12)

图3　各系数误差的方差(η=2)

　　同前面一样，假设e_N的各分量是独立同分布的，且均值为0，方差σ²_e=1,计算式(12)得到不同阶次多项式的拟合误差的方差随迭代次数的增加而减少的情况，结果示于图4。从图4可以看出，利用低阶多项式更容易得到高精度的拟合结果。因此在实际应用中应尽可能采用低阶多项式。
　　图4中的数据可以作为确定火箭弹发射前建模所需时间的依据。当陀螺噪声的方差已知时，由图4可以查出迭代次数所对应的模型误差的方差。

图4　多项式的拟合误差

3　计算实例

　　我们对清华大学研制微机械陀螺的初始漂移进行了测试。一条典型的漂移曲线示于图5。
　　从图中可以看出陀螺的初始漂移大约要持续20分钟。首先选择参数η。根据上一节的结论，应尽可能选择低阶的多项式。从图5中可以看出漂移曲线在几秒钟的范围内可以由直线代替。事实上可以估计用直线替代曲线所引起的误差。经过简单的几何演算可得到用直线替代曲线而带来的最大误差ε的估计为

　　　　　　　　　　　　　(13)

图5　陀螺漂移曲线

式中τ为曲线的曲率，k为斜率，t为时间。可以看出该误差与曲率和斜率有关。曲率和斜率越大，该误差越大。设在t=3秒钟内用直线替代陀螺漂移曲线，由式(13)可算得由此引出的误差ε1.5×10^-6(V)，该误差满足使用要求，因此可选η=1。
　　考虑图5中漂移曲线前6秒的情况。利用前面3秒的数据建模，预报后面3秒的漂移，结果示于图6。显然模型较好地预报了陀螺漂移。

4　结　论

　　本文以火箭弹姿态的测量为背景，研究了一种简单的可以在线运行的微机械陀螺初始漂移建模方法。有以下主要结果：

图6　漂移的建模和预报结果

　　a.用代数多项式拟合微机械陀螺的漂移是可行的，精度可以满足要求。在拟合时应尽量采用低阶多项式；
　　b.本文给出的模型递推辨识方法可以有效地在短时间内辨识陀螺漂移模型；
　　c.本文给出的模型误差曲线可以作为事先确定火箭弹发射前所需建模时间的依据。
　　本文的方法也可用于其它相关场合。

作者简介：张奕群(1962-)，男，汉族，四川青神人，博士后，从事系统建模、仿真与控制工作。
作者单位：张奕群（清华大学，北京 100084）　
　　　　　高钟毓（清华大学，北京 100084）　
　　　　　陈鼎榕（广州地铁物质有限公司，广州 510010）

参考文献：

［1］马宝华.MEMS技术在引信中应用的趋势分析［R］.引信动态特性国防科技重点实验室研究报告，1998.