摘要：以几何光学的矩阵变换为基础，通过光线追迹的方法，对四象限分光的多透镜成像复杂光学系统进行仿真建模。由所得到的基本参数的关系曲线，优化确定系统的放大镜放大系数为20，分光镜离轴距离为3mm，系统瞳直径1mm。对复杂光学系统参数的优化提供了新的思路和方法。
引 言
在光学四象限分光这样的多透镜多光轴的复杂光学系统中，对系统进行参数设计时，由于各参数互相关联、运算量大、光学单元参数间关系复杂、不易得到各个参数的变化曲线图，使得对参数的选取和确定都很麻烦。考虑到在几何光学中，在傍轴近似的线性变换条件下，可以用矩形式来表示光线的传播规律，也就是可以将光学系统对光线的变换作用表现为矩阵变换形式。而 MATLAB 对矩阵有强大的运算处理功能并能够方便快捷地进行图形输出。如能将两者结合，可以建立光学系统的光线追迹仿真模型。通过模型可以方便地对参数进行分析。本文通过对矩阵光学的原理进行分析，确定建模的基础，并利用 MATLAB进行光线追迹的建模仿真，利用模型通过改变相关参数，得出所需参数的变化曲线，结合实际条件对参数进行优化选取，解决课题中所遇问题。
1 系统的仿真建模
1.1 仿真建模的理论基础——矩阵光学
式中x , y 分别为光线矢量在 x , y 平面内的分量， α ,β 则为这两个方向的角度分量，下脚标为 0 的是初始值。利用式 (2) 就可描述出光学传播介质、介质界面及由他们组成的光学元件和光学系统对光线的变换。轴对称光学系统一般可以简化为二维变换。在复杂光学系统中，光线的传播问题都可以看成光线在各种介质以及其界面或由典型光学元件组成的光学系统中的连续变换。设一个多元光学系统，沿z 轴方向的第 i 个变换矩为Mi(图1), 则整个光学系统的变换, 可以将这个系统表示为
只要将各个光学单元的变换矩阵写出，就能够将整个光学变换系统的变换矩阵求出。
1.2 光线追迹的建模仿真
将光学系统对光线的变换或传播用矩阵变换表示，借助 MALAB计算机语言对数列(矩阵)的强大处理功能，利用(3)式，对给定光线(确定 r0)进行追迹仿真。大致可分为以下几个步骤进行：
1)分析、计算整个光学系统，确定出每个光学单元，得出参数的基本参考值。(如果未知参数太多，可以预先给一些大概值。以确保能把每个参数求出)。
2)由前面的分析计算，写出每个变换单元的 ai，bi，ci，di参数，并确定变换矩阵 Mi。变换矩阵分为两种：透射矩阵和反射矩阵。而透射矩阵可分为：(1)在介质中的透射矩阵，仿真时表现为追迹光线时传播。(2)在折射率突变界面处、或薄透镜的变换，在仿真时可表现出光学元件的作用，或经不同折射率界面的折射。反射矩阵，视为不同反射光学元件的作用。由公式(3)可以写出整个变换矩阵M。
3)选取所要追迹光线的基本参数 r0(x0,á0)即物高和方向余弦，一般都为能代表系统特征或能量范围的光线。代入式(3)可以求出经过整个系统后的像点的参数 rn(xn,án)。
4)建立系统模型。根据前面的分析计算，得到沿光线传播方向的变换矩阵单元，结合所追迹光线的参数，建立系统传输变换光线的数学模型，因在对矩阵运算中有光线的 r,θ两个参数，可以求出光线沿光轴分段传输变换的曲线，利用画图函数就可以得出光线的追迹曲线，然后再在光线曲线上加上变换的光学单元，就得到系统的仿真。在进行建模时，当系统为轴对称时，可以采用简单的二维变换矩阵。如果系统中有非共轴的光学单元，Mi则是比较复杂的四维矩阵，相应地要将r0扩充为四项，也能建立相应系统仿真。
5) 利用MATLAB 语言的画图函数和对图形的缩放功能，从整体和细节上对模拟的光学系统进行分析;改变参数来找出所需参数的相互关系曲线。结合实际条件确定所需参数。
2 对光学四象限分光系统的仿真结果
四象限光学系统的光路如图2。直径88 mm、视场 48″的平行光束，沿主光轴经过聚焦透镜 Lens 1，高倍放大透镜Lens2 和分光透镜 Lens3 依次成像并分光，系统的入射光瞳直径为φ1=88 mm，在距透镜Lens1 前 1200 m处，透镜 Lens1 的焦距 f1=720 mm 系统设计要求：出瞳的直径φ2<1 mm，出瞳处的光线角度θ1<0.029 rad ，出瞳间距(即 2 倍出瞳离轴距离) 2H>14 mm。经分析，先设定系统的一些基本值(l——放大镜物距，β——放大镜放大系数，h——分光镜离轴距离，φ2——系统出瞳直径)，利用高斯成像公式，分别按照系统对光路的变换和对光瞳的变换来进行计算，可求出各个光学单元的参考值：f2——放大镜 Lens2 焦距，L23——透镜 Lens2 和 Lens3 的间距，L3——系统出瞳，H——出瞳间距，d——分光镜上光斑大小等。
由图2 可以看到：系统在 2×2 分光透镜前都为同一光路，仿真时可以用相同的矩阵形式表示，在分光镜后就分为4 条平行光路，且分光透镜中的单元透镜的光轴相互平行，需要用不同的矩阵变换表示分光光路;而在分光镜后面的分光光路，都可用相同的矩阵表示，以主光轴为坐标轴，所有的变换都是相对于它的。由于系统轴对称，这里只对x 方向进行仿真，经过分析计算，系统在分光镜前的变换矩阵为
式中r0——所追迹光线坐标(表示系统特性和光能范围的轴上点全视场和边缘点全视场的光线);M1——光线在透镜 Lens1，Lens2 之间的传播;M2——光线经放大镜 Lens2 的变换;M3——光线在放大镜 Lens2和分光镜 Lens3 之间的传播;M4——光线在分光镜 Lens3 到系统出瞳间的传播。矩阵中β为透镜 Lens2 的放大率，M5，M5——分别是分光镜 Lens3 中上下单元透镜相对主光轴对光线的变换。
我们建立了该光学系统的计算机仿真模型，并得出系统参数的相互关系图，利用这些变化曲线，对光学参数进行了优化，确定出单元参数值。部分参数的关系曲线图如图3, 4, 5, 6。先考虑系统要求：⑴ 出射光束的孔径角，要能满足整个系统的耦合要求;⑵ 出瞳的口径和位置(轴向和垂轴的)，要能够与后面连接的系统相匹配;⑶ 参数的最终确定要对整个系统进行综合考虑：透镜的设计制作(特别是高倍放大镜)，分光镜对主光轴的偏移和透镜胶合引起的成像质量变化和光能损耗问题。还有对整个系统结构的综合考虑。
⑴ 如果出射光线的孔径角要满足要求，则要求主光轴轴上点和边缘点(4″视场角引起的)之间的光线(用参数 D 表示)相对于出瞳的孔径角è1<0.029 rad 。此角度 è1只随φ2的增加递减，由图 4 可以看到当φ2>0.9 mm 便能满足要求，这里选取φ2=1 mm 。
⑵ 对系统出瞳分析时先考虑系统出瞳的横向问题，就是出瞳间距能否满足要求，这里是出瞳的离轴距离 H，2 倍即间距，由图 5，6 可以看出出瞳的离轴距离 H 随分光镜对主光轴偏移量 h 和出瞳直径 φ2的增加而增加。如果 h 增加过大，瞳距 L3较小时，则轴上光线的角度变大和像质下降。h 不宜过大，能满足要求即可，h=4.2 mm，同时L3不宜太短。
⑶ 由于光斑在主光轴上(分光镜中心)几率最大，首先要考虑主光轴上光线的耦合，若将连接系统对准分光镜主光线。在主光轴上点与分光镜主光线的角度 è2的关系如图 3 可以看出。β增加 è2减小，β>17 时，轴上点的光线能够达到要求。将这些参数代入，计算出è1也能满足要求。总体考虑β对系统的影响：当β增大时系统光束出射角度 è1减小，分光镜上的衍射光斑直径增大，分光镜上的出瞳距离，分光镜焦距都相应随之增加，对耦合要求，光能利用，成像质量都有好处。考虑到系统的结构长度，放大镜的设计制作困难，β又不能过大，这里选择β=20，将β代入可以看到出瞳的纵向距离能满足其结构设计。经前面的分析，综合考虑到系统出瞳间距、出射光线角度、系统筒长、分光镜光斑直径然后结合前后所连接的系统，确定出了系统的基本参数。放大镜：β=20，l=10 mm ;分光镜：f3=88 mm，L3=190 mm，h=4.2 mm, 出瞳：φ2=1 mm 。并在此基础上确定出了系统的所有参数。利用这些参数设计出各个光学元件，组建出符合要求的光学系统。
结束语
本文通过对光学四象限分光系统进行数学建模仿真，很好地模拟出整个分光系统的物理模型，并利用此模型得出系统所需的各参数曲线图，通过对参数的分析得到其中最能影响系统性能、结构等的几个参数：β,h,φ，利用这些参数曲线图确定出所能满足系统技术要求的最佳参数，以达到对系统参数优化的目的。
参考文献：
[1] 卢亚雄, 杨亚培. 激光束传输与变换技术[M]. 成都：电子科技大学出版社, 1999.
[2] 魏光辉. 矩阵光学[M]. 北京：兵器工业出版社, 1995.
[3] 钟锡华, 赵凯华. 光学(上册) [M]. 北京：北京大学出版社, 1984.
[4] 张志涌. 精通 MATLAB 5.3 版[M]. 北京： 北京航空航天大学出版社, 2000.
[5] 朱雅茗, 李明全, 汤国茂, 等. 光子计数式四象限跟踪探测器的噪声分析[J]. 光电工程, 1999, 26(3): 1-7.
基金项目：国家863 高技术项目资助
作者简介：廖 周(1976-), 男(汉族)，四川盐亭人，硕士生, 主要从事自适应光学波前传感器的研究. Email:ioelz@163.com
