为评定光斑环围参量(包括环围功率和环围尺寸)阵列测试法的测量不确定度,给出了环围参量一般形式的定义和连续形式的计算表达式,归纳并比较了阵列测试法下光斑环围参量的3种常用计算方法,即近似环围功率法、准确环围功率法和等效环围尺寸法,给出了零阶近似下环围参量离散形式的计算表达式。根据不确定度传递律,推导了基于等效环围尺寸法的环围参量测量不确定度的一般表达式,讨论了常见简化条件下的环围参量测量不确定度表达式。建立了光斑环围参量计算及其不确定度评定的一套较完整的方法。以强度为高斯分布的光斑为例,得到了简化条件下的环围参量测量不确定度的解析表达式,并用数值模拟法验证了其正确性。
通过大气传输的激光束、受硬边光阑限制的激光束及非稳腔激光束等,其光束质量的测试和评价在相关研究中具有重要地位。焦斑二阶矩半径的发散问题和实测困难[1]使得M2因子理论[2]难以用于上述光束的实际测量。虽已提出渐近分析法和自收敛束宽法等来克服这一困难,并开展了相关的测量方法实验研究[3],但国际标准化组织仍未规定该类光束的光束质量计算与测量方法。光束质量β因子是评价光学系统性能的重要指标之一,也是常用的光束质量评价方法[4-6],该因子的获得是以光斑环围参量(即环围功率和环围尺寸)的测量为前提的。测量焦斑(即远场光斑)环围尺寸的套孔法难以用于光斑不稳定的场合。根据测量不确定度传递律,强度分布的测量误差[7]必将传递到光斑环围参量计算结果中,导致环围参量测量误差。只有在实际测试结果的报告中明确表示出环围参量及其测量不确定度,才能对测试结果及相关实验现象进行深入的分析并作出可靠的判断,才能满足精密科学实验研究的要求。有关光斑环围参量及其测量不确定度的可应用于实际数据处理的研究结果鲜见报道。一方面可能是过去的研究和测试工作中,未对测试结果的质量明确地提出较高的要求;另一方面可能是由于作为环围参量之一的光斑环围尺寸的定义表达式不是显式的,使得合成不确定度的计算难以入手。随着对实验分析准确性和可靠性需求的不断提高,以及对不同测试设备和不同测试方法的测试结果及其质量进行比较的需要,亟待开展光斑环围参量及其测量不确定度的计算和评定的研究。本文从光斑环围参量的定义出发,根据不确定度传递律,建立了环围参量计算及其测量不确定度评定的一套较完整的方法。
1 光斑环围参量表达式
1.1 环围参量的定义
光斑环围参量包括环围功率和环围尺寸。环围功率是以某点(光斑质心、或几何中心、或强度峰值点等)为中心的一定尺寸的某种形状(圆、或正方形、或椭圆、或长方形等,由近场光束及其远场光斑特性决定)的闭区域内包含的功率。闭区域称为环围区域,其尺寸即为环围尺寸。经过光斑总功率归一化后的环围功率称为环围功率比η,显然,0≤η≤1。对给定的光斑,环围尺寸越大,则环围功率比越大,反之亦然。环围功率比η所对应的环围尺寸称为η环围尺寸。
针对不同的环围区域形状,环围尺寸有不同的含义:对圆形环围区域,则为圆半径;对正方形,则为其半边长;对椭圆,则为长半轴(短半轴由短半轴和长半轴的给定比值α确定);对长方形,则为半长(半宽由半宽和半长的给定比值α确定)。比值α由光学系统中近场光束的形状及其具体尺寸确定。
1.2 环围参量的连续表达形式
设光斑强度分布为I(x,y)。由定义,以点o为中心,环围尺寸为R的环围区域(记为Do,R)内的环围功率
P(R)为
η环围尺寸记为Rη,Rη满足
式中:P∞=P(∞),表示光斑总功率[7]。对通常的光斑强度分布,Rη为变量η的一个单值函数,即对任一给定的η,存在唯一的Rη。
1.3 环围参量的离散表达形式
设阵列探测器外的功率及其影响可忽略,探测器上的光斑强度分布数据为(xn,yn,pn),其中:n=1,2,…,N,N为阵列探测器的单元总数;(xn,yn)为面元n的中心位置;pn为面元n上的总功率[7]。
1.3.1 环围功率的离散表达式
常见的环围功率离散算法可归结为以下3种。
(1)近似环围功率法
令Do,Rk表示以o点中心、以Rk为环围尺寸的第k个环围区域,设编号为1,2,…,mk的所有单元的中心位于环围区域Do,Rk内,即Cn=(xn,yn)∈Do,Rk,n=1,2,…,mk,则Do,Rk内的环围功率近似为
式(3)表示,只要面元n的中心Cn位于Do,Rk内,则该面元上的功率都计入Do,Rk内,即使该面元部分位于Do,Rk外;反之,若面元中心在Do,Rk外,则其上的功率全都不计入Do,Rk内,即使面元部分位于Do,Rk内。对于被环围区域Do,Rk的边界分割的单元,常会出现一定程度的“舍入”误差。
该算法的缺点是:当环围区域包含的面元数量较少时,环围功率近似误差较大。图1给出了圆形环围区域情况下、光斑尺寸较小时存在较大误差的一个典型情况,若取探测器面元面积为一个单位,则圆面积约为201,而以mk个单元构成的多边形面积为208,误差约3.5%。图1中,由于多边形面积大于环围圆的面积,其环围功率必然偏高。
(2)准确环围功率法
通过精确计算被环围区域边界分割的单元(称为边界单元)对环围功率的贡献,可获得准确的环围功率,该法可称为准确环围功率法。
根据式(1),环围区域Do,Rk内,准确的环围功率离散形式的计算表达式为
式中:γn为系数,在光强分布满足零阶近似(即任一面元上的功率密度分布为常数)下,有
式中:σn表示面元n代表的面积;σinn表示其包含在Do,Rk内的面积。γn的值由面元n与Do,Rk间的几何位置关系决定:若面元n全包含在Do,Rk内,则γn=1;若面元n全在Do,Rk外,则γn=0;若面元n被圆周线分割,则0<γn<1,具体的数值需要根据面元n被圆周线分割的具体几何形状和尺寸确定。
该法中γn的算法过于复杂,实际应用较少。
(3)等效环围尺寸法
实际上,式(3)表示的环围功率为mk个单元构成的多边形面域上的功率。显然,多边形的面积与Do,Rk的面积往往不相等。在面元尺寸远远小于光斑尺寸时,Rk可作为环围尺寸的良好近似;但是,若面元尺寸相对光斑尺寸不是足够小,则会出现较大的误差。消除这种环围尺寸近似误差的有效办法是,以中心位于环围区域内的所有面元构成的多边形区域作为环围区域,以与多边形面积相等的环围区域对应的环围尺寸作为等效环围尺寸。这样使得环围功率的计算容易实现,克服了准确环围功率法的困难,同时具有环围尺寸的计算不复杂的优点。
环围功率和等效环围尺寸分别为式67
式中:Sk表示多边形面积;ω是一个由环围区域面积与环围尺寸的关系决定的系数,因环围区域的形状而异,具体为式8
1.3.2 η环围尺寸Rη的离散表达式
环围功率比η所对应的环围尺寸Rη的计算方法为:(1)取一个递增等差数列R1′,R2′,…,Rk′,Rk+1′,…,RK′,其中:K表示数列长度,公差一般小于或等于单元尺寸,首项应足够小,以满足R1′
其中
对不确定度的合成,采用最基本的量作为误差来源的分量是有利的,为此,根据式(7),(9)~(11),可得依赖于基本量σn与pn(n=1,2,…,N)的环围尺寸表达式为
实际上,在去除背景噪声(注意保留负值,否则会有系统偏差)后,边缘上的光斑强度(相对噪声而言,信号强度较弱)会出现负值,环围功率可能会因此而不再随环围尺寸单调递增,导致与给定的环围功率比对应着多个相差不大的环围尺寸。这种情况下,可取这些环围尺寸的平均值作为待求的环围尺寸。在环围功率比取常见的83.9%或86.5%等情况下,上述单值对应关系一般是成立的,即P(Rk)-Rk曲线在Rη的邻域内是单调增加的。
2 环围参量不确定度一般表达式
本文以等效环围尺寸法为基础,即分别以式(6)和式(12)为基础来推导环围功率和环围尺寸的合成标准不确定度。显然,环围参量的测量不确定度主要取决于所有σn与pn的不确定度及其误差之间的相关系数。
2.1 基本参量的不确定度
当给定中心点和环围尺寸后,环围闭区域即被确定,根据式(6)和式(12)给出的函数关系,由该环围闭区域确定的光斑环围参量的不确定度来源主要有阵列各单元光功率的测量不确定度和各单元代表的面元面积的不确定度。
关于光斑强度分布数据(xn,yn,pn)(n =1,2,…,N)中各单元光功率测量误差的分析已有较完整的论述[7]。pn的随机误差源有:背景噪声导致的探测误差。单元探测器本身的探测误差,单元占空比小于100%导致的取样误差等。另外,对具有光学系统的阵列探测器,待测光斑会因系统像差和光场干涉而发生畸变[8],这使各单元上的光功率偏离理想值,进而影响环围参量测试值。为评定该因素对各单元探测到的光功率的影响,需要结合光学系统的具体情况来进行分析和实验研究,也可单独评估光学系统波像差等因素对光束质量的影响量[4],然后再对光束质量测试结果进行修正。面元面积的不确定度由实际设备技术指标中给出的面元形状和尺寸及其测量不确定度确定,这些数据需要在完成设备相关技术指标的校准过程中得到。
根据式(6)和式(7),环围功率误差不仅与阵列各单元光功率测量误差有关,还与环围区域内所有面元面积误差有关。因为根据式(7),环围区域内面元面积误差会导致等效环围尺寸产生误差,由式(6)可知,该误差会直接导致环围功率误差。因此,需要在环围功率不确定度表达式中体现出面元面积误差的影响,可通过环围尺寸对环围功率的影响灵敏系数和环围尺寸的不确定度(更具体地讲,是面元面积的不确定度)表示出来。
不能不提的是,由于环围区域中心点位置有误差,因此环围区域本身即存在一定的误差,导致环围功率因此产生误差,进而成为环围尺寸不确定度的误差来源之一。实际的环围参量测试中,常采用光斑一阶矩质心位置为环围区域的中心,而光斑质心误差通常较小[7],故本文忽略该误差对环围参量的影响。以相邻像素的间距为长度单位,设光斑强度分布I(r) =exp(-2r2/w2),其中:r为径向极坐标;w表示光斑半径。取w=5,并取环围半径等于5,可得典型范围内的质心位置误差导致的环围功率比的变化,如图2所示。由图可见,确实可以忽略环围区域中心位置误差导致的环围参量误差。
2.2 环围参量测量不确定度的一般表达式
由式(6)、式(9)和式(12),可得σn和pn(1,2,…,N)对环围参量的影响灵敏系数,根据不确定度传递律[9],不难得到环围功率的不确定度u(Pk)和环围尺寸的不确定度u(Rη)的一般表达式
式1314式中:u(σi),u(pi),u(pk),u(Rη)分别为σi,pi,Pk,Rη的标准测量不确定度;r(σi,σj),r(σi,pj)和r(pi,pj)分别表示σi与σj,σi与pj,pi与pj的误差之间的相关系数;
式中
显然,光斑环围参量测量不确定度不仅依赖于测试设备的性能,还依赖于光斑强度分布特性。一个技术参数齐全的光斑参量阵列型测试设备,用于光斑强度分布和环围参量测试时,应该提供探测器各单元面积不确定度、功率测量不确定度及所有变量的误差间的相关系数。在这些已知条件下,对测出的每一幅光斑图像,都可以而且应该在计算环围参量的同时分别计算出每一帧光斑的环围参量测量不确定度。这不仅对光斑环围参量的测量具有重要意义,而且可为阵列探测器研制过程中的相关指标设计、指标分解及质量控制提供重要指导作用。
3 环围参量测量不确定度的简化表达式
实际应用中,可根据测试设备特性、测试环境条件、测试要求等对环围参量测量不确定度的一般表达式进行相应的简化计算,以便给出光斑环围参量测量不确定度的评估。
3.1 变量的误差不相关
若全部σn和pn的误差相互独立,即r(σi,σj)=0,r(σi,pj)=0,r(pi,pj)=0这里n,i,j取值范围均为1,2,…,N,则
当从理论分析与实验研究的角度确定探测器所有单元面积和测量功率的误差之间的相关系数都存在困难时(这在实际工作中是普遍存在的),常采用式(19)和式(20)得到光斑环围参量测量不确定度的估计值。
3.2 u(σn)和u(pn)皆为常数
在全部σn和pn的误差相互独立基础上,若u(σn) = uσ,为常数,其中uσ为一个面元面积的不确定度,且u(pn) = up,为常数,其中up表示一个单元测试功率的不确定度,n=1,2,…,N,则式2122其中
根据式(22),若up或uσ可忽略,则
探测单元均匀分布的阵列探测器各单元所用材料、传感器、采集电路以及制作工艺等的一致性使得假设u(σn)=uσ和u(pn)=up通常是合理的。根据式(21)和式(22),只要知道了uσ和up,在计算每一帧光斑环围参量的同时,不难计算出相应参量的测量不确定度。式(21)和式(22)为实际分析和计算光斑环围参量测量不确定度提供了简洁的方法。
需要指出的是,虽然从信号完整性的角度看,积分计算区域越大越好,但是由式(21)和式(22)可知,u(Rη)随计算区域的增大而变大。因此,为减小测量不确定度,需要选取适当大小的积分范围[10]。显然,积分范围越大,信号损失越小,测量误差越小;但是,随着积分范围变大,噪声影响越大,导致测量不确定度变大。因此,以信号损失导致的误差不大于噪声导致的误差为原则即可确定积分范围大小。
4 应用实例
高斯分布是实际激光束近场(或远场)光斑强度分布的极好近似。基模高斯光束的近场或远场强度分布为高斯分布;激光束大气传输场合下的长曝光焦斑强度分布近似为高斯分布;非稳腔激光器的输出光束一般可近似为圆形或圆环形(也有方形或方环形等)均匀平面波束,虽然由于随机分布波前像差的存在,其焦斑强度分布的精细结构较复杂,但其总体轮廓仍可用高斯分布作近似。因此,本文以强度为高斯分布的光斑为例来讨论光斑环围参量测量不确定度的评定方法。
以CCD面阵探测器为例,不妨设:面元形状均为正方形,且尺寸大小相同;取面元边长为长度单位(则面元面积均为一个面积单位),面元面积不确定度均为uσ;各单元上的探测功率不确定度均为up;全部σn和pn的误差相互独立(n=1,2,…,N);以峰值功率密度归一化后的光斑强度分布I(r) =exp(-2r2/w2)。以高斯分布光斑的质心为圆心,取圆形环围区域,不难得到η环围半径Rη=wπln(1-η)-1/2。根据式(21),忽略uσ,可得任意指定半径为R的圆内的环围功率测量不确定度u[P(R)]=πRup。取R=2w,信号损失0.03%,可得总功率的测量不确定度,进而可得η环围功率Pη的测量不确定度为
设uσ可忽略,则可按式(24)计算光斑环围半径不确定度。其中ΔRk/ΔPk≈ R/ P|R=Rk,为简化计算式,可取Pη=Pk,则
w=5,up=0.01,N=π(2w),u(Pη)-η(3(a))u(Rη)-η(3(b))。:I(r) =exp(-2r2/w2);w=5,各单元功率叠加up=0.01的零均值高斯分布噪声;光斑统计样本数为400。由图3可见,理论分析结果和数值仿真结果吻合较好,这表明了式(26)和式(27)的正确性。计算与理论曲线不完全重合是由于有限的统计样本数和伪随机数等原因所致。在单元功率噪声为均匀分布情况下的计算机数值模拟结果也验证了式(26)和式(27)的正确性。
根据图3(式(26)和式(27))可知,随着环围功率比和环围半径的增加,环围功率和环围半径的测量不确定度均增加。这是由于计算环围功率和环围半径的求和区域变大,计入了更多的噪声所致。因此,在实际测量中,需要根据光斑具体分布特性确定阵列探测器的响应面大小,过大将造成系统复杂性增加却不能提高测量结果的准确度,过小则会导致信号的收集不完整和测试数据准确度的下降。
同理,根据式(22),采用合理的简化措施,可得up可忽略情况下的u(Rη)-η曲线。
5 结 论
从光斑环围参量一般形式的定义和数学表达式出发,给出了零阶近似下,适用于阵列测试法的光斑环围参量的3种常用离散算法;推导了基于等效环围尺寸法的光斑环围参量的合成标准不确定度的一般表达式,给出了常见简化条件下的环围参量不确定度表达式,建立了光斑环围参量计算及其不确定度评定的一套较完整的方法。数据处理报告中,应按测量不确定度的有关规范和标准给出扩展不确定度、包含因子及有效自由度[9]。由参量测量值及其绝对不确定度,可得相对不确定度。实际测量中,结合激光波长、近场光束形状、大小、焦距及其测量不确定度等参量,不难进一步求得以理想光斑环围尺寸为标准的激光束衍射极限倍数及其测量不确定度。这样,可完整得到有关光斑环围参量的测试结果。本文假设光斑是强度分布,故仅对环围功率进行了讨论,但所用方法和所得结论对环围能量(光斑为能量分布)同样成立。
参考文献:
[1] 程晓锋.圆环光束的光束质量评价标准分析[J].激光杂志, 1995,16(5):209-212.(Cheng Xiaofeng. Analysis of evaluating standard for ringbeam’s beam quality.Laser Journal,1995,16(5):209-212)
[2] Siegman A E. New developments in laser resonators [C]//Proc of SPIE.1990,1224:6-9.
[3] 张艳,郭欣,李琨,等.截断光束的广义M2因子测量的实验研究[J].光学学报,2006,26(7):1057-1062.(Zhang Yan,Guo Xin, Li Kun, et
al. Experimental study on generalizedM2factor of truncated laser beams.Acta Optica SiNIca,2006,26(7):1057-1062)
[4] 李新阳,鲜浩,王春红,等.波像差与光束质量因子β的关系[J].中国激光,2005,32(6):798-802.(Li Xinyang, Xian Hao, Wang Chunhong,
et al. Relationship between beam quality factorβand wavefront error.Chinese J Lasers,2005,32(6):798-802)
[5] 苏毅.高能激光系统中的物理问题[J].物理,2005,34(8):583-588.(Su Yi. Physics problems in high energy laser systems.Physics,2005,34(8):583-588)
[6] 田英华,叶一东,向汝建,等.光束质量因子测量的不确定度分析[J].强激光与粒子束, 2008,20(7): 1076-1078. (Tian Yinghua, Ye Yi-dong, Xiang Rujian, et al. Evaluation of uncertainty in beam quality measurement.High Power Laser and Particle Beams,2008,20(7):1076-1078)
[7] 高学燕,苏毅,何均章,等.光斑矩参量阵列测试法的测量不确定度[J].光学学报,2004,24(10):1411-1416.(Gao Xueyan, Su Yi, HeJunzhang, et al. Uncertainty of spot moment parameters measured with array detectors.Acta Optica Sinica,2004,24(10):1411-1416)
[8] 高雪松,高春清,于竞,等.光学系统像差与光场干涉对激光参量测量精度的影响[J].光学学报,2006,26(6):841-844.(Gao Xuesong, GaoChunqing, Yu Jing, et al. Influence of optical interference and system aberration on laser beam parameter measurement precision.ActaOpti-ca Sinica,2006,26(6):841-844)
[9] GJB3756-99.测量不确定度的评定与表示[S].(GJB3756-99. Expression and Evaluation of Measurement Uncertainty)
[10] 曹一磊,高春清.基于面阵CCD的激光光束参数测量系统精度分析[J].光学技术,2004,30(9):583-586.(Cao Yilei, Gao Chunqing. Analy-
sis on the accuracy of beam parameter measurement by using CCD array.Optical Technique,2004,30(9):583-586)
本文作者：高学燕, 何均章, 袁学文, 谢川林, 关有光, 苏 毅
