摘要：提出了一种基于遗传算法的衍射光学元件优化设计方法;在衍射光学元件设计中遗传算法运行参数对遗传算法性能有一定的影响：采用较大的群体规模，遗传算法越容易获得最优解;交叉算子越大，遗传算法全局搜索能力越强;选择算子对遗传算法的影响不是太大;如果要进一步提高解的精度，可选取较大的终止代数。数值计算结果表明，用遗传算法优化设计的衍射光学元件，其误差小于 5.2%，衍射效率达到 91.2%。遗传算法很适合衍射光学元件的优化设计。
引 言
随着衍射光学的发展，衍射光学元件所具有的许多特性：高衍射效率、独特的色散特性、更多的设计自由度、宽广的材料可选性以及一些特殊的光学功能，引起了人们高度的重视[1,2]。衍射光学元件的性能取决于其衍射结构的设计，目前衍射光学元件的优化设计理论是衍射光学研究的重要的方向之一。在衍射光学元件的优化设计中，许多最优化问题的计算十分复杂，很难用传统的优化方法来求解。自1960 年以来，一种模仿生物自然进化过程的、被称为“进化算法(evolutionary algorithm)”的随机优化技术在解这类优化难题中显示出了优于传统优化算法的性能[3]。目前进化算法主要包括三个研究领域：遗传算法、进化规划和进化策略。其中遗传算法是迄今为止进化算法中应用最多、比较成熟的算法。作为一种新的全局优化搜索算法，遗传算法以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及高效实用等显著优点，在衍射光学元件的优化设计中得到了应用，取得了良好的效果[4]。
遗传算法是一种全局优化算法，不会陷入局部极值。它是模拟生物进化过程中优胜劣汰规则与群体内部染色体信息交换机制的一类处理复杂优化问题的新方法，主要通过遗传算子按一定规律逐渐逼近最优解的算法[5,6]。本文主要研究它在衍射光学元件中设计中的应用。
1 遗传算法原理
1.1 遗传算法的运算过程
遗传算法用交叉和变异两种遗传算子作为搜索工具，用搜索到的解的质量进行评价，并根据评价结果用选择算子来引导以后的搜索方向。遗传算法的主要步骤如下:①初始化种群。随机产生M个个体作为初始种群。②个体评价。计算初始化种群中个体的适应度。③选择运算。把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代，选择运算是建立在群体中个体的适应度评估的基础上的。④交叉运算。交叉运算就是把两个个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作，通过交叉，遗传算法的搜索能力得以飞跃提高。⑤变异运算。变异运算的基本内容是对群体的个体串的某些基因座上的基因值作变动。
1.2 遗传算法关键参数的确定
遗传算法的关键参数主要包括群体规模、交叉参数、变异参数、选择参数和终止代数。选取合适的运行参数对遗传算法的计算性能有很大的影响。
(1) 群体规模
群体规模(Population size)影响遗传算法优化的最终结果和遗传算法的执行效率。当群体规模太小时，遗传算法的优化性能一般不会太好，而采用较大的群体规模则可减少遗传算法陷入局部最优解的机会，但较大的群体规模则意味着提高了计算复杂度。图1 表明了不同群体规模对算法性能的影响，当群体规模为 200 时，算法进化 26 代就早熟收敛;随着群体规模的增大，算法的群体平均适应度逐渐逼近最优解的适应度 38.633;当群体规模达到 1000 时，算法进化 112 代基本达到最优解。
(2) 交叉参数
交叉参数是遗传算法中产生新个体的主要方法，它决定了遗传算法的全局搜索能力。所以交叉参数一般应取较大值。但若取值过大，它又会破坏群体中的优良模式，对进化运算反而产生不利影响。交叉参数越大，遗传算法进化的代数越多，全局搜索能力越强。因此，交叉参数越大，也就意味着交叉概率越大，这样遗传算法的搜索性能也就越好，不过同样加大了计算量。在实际运算中选取该值为群体大小的10%左右。
(3) 选择参数
选择算子就是用来确定如何从父代群体中按某种方法选取那些个体遗传到下一代群体中的一种遗传运算。它建立在对个体的适应度进行评价的基础之上，主要目的是为了避免基因缺失，提高全局收敛性。常用的选择算子方法主要有：适应度比例方法、最佳个体保存方法、期望值方法、排序选择方法、排挤方法等。从图2 的结果来看，它对遗传算法的影响不是太大。在实际应用中通常选择0.25-0.55 之间。
(4) 变异参数
变异运算的基本内容是对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动。变异运算是产生新个体的辅助方法，它主要决定了遗传算法的局部搜索能力，与交叉算子共同完成对搜索空间的全局搜索和局部搜索，从而完成寻优过程。变异参数越大，遗传算法的性能越好。在遗传算法中，遗传算法通过交叉和变异这一对相互配合又相互竞争的操作而使其兼顾全局和局部的均衡搜索能力。在实际运算中选取变异概率为0.001-0.1之间。
(5) 终止代数
从图3 的结果可以看出：当进化代数达到75 代以后，群体的平均适应度值的变化已基本趋于平缓，在实际运算中通常选取终止代数为 200-400 之间，如果要进一步提高解的精度，可适当选取较大的终止代数。
2 衍射光学元件的遗传算法设计
2.1 衍射光学元件设计及模拟原理
如图4 所示，选择坐标系的 z 轴与衍射光学元件的光轴方向一致，P1和P2分别为输入平面和输出平面，衍射光学元件放置在输入平面P1上，输入平面和输出平面之间的距离为L。当入射光束垂直入射到衍射光学元件上时，入射光波的相位受到衍射滤光器上浮雕微结构的调制，将会使得入射光束分束传播，达到分束的目的。
在输入平面和输出平面上点的坐标分别用矢量 X1(x1,y1)和X2(x2,y2)表示。对于波长为λ的光束，在输入平面 P1(z=0)上的复波函数可表示为
是期望的振幅分布。(6)式也就是用遗传算法进行数值计算时所用的评价函数。
2.2 遗传算法用于衍射光学元件的设计结果
衍射光学元件将一个高斯束均分成等强度两束。在数值模拟设计计算中,具体参数选择如下:照明光束为平面波，波长 =632.8nm，束腰半径为 0.57 mm，输入平面和输出平面间的距离L=400mm，输入窗大小为10mm，输出窗大小为10mm，输入平面和输出平面上的取样点数目分别为n=50 和 m=100。在遗传算法中,各运算参数设置如下：种群大小为50，交叉概率为0.8，变异概率为 0.005，算法的终止进化代数为 200。图5、图6 分别为使用遗传算法设计的衍射光学元件的相位分布和输出面振幅分布。可以看出整形后光束的均匀性非常好。数值模拟结果表明，误差小于5.2%，衍射效率达到了91.2%。
3 结 论
交叉算子、变异算子以及选择算子是遗传算法的主要操作参数，群体规模和终止代数对遗传算法的执行效率和解的精度有很大的影响，采用较大的群体规模可以减少遗传算法陷入局部最优解的机会，交叉参数越大，遗传算法进化的代数越多，全局搜索能力越强，选择算子对遗传算法的影响不是太大，如果要进一步提高解的精度，可适当选取较大的终止代数，具体的参数选取应根据实际情况而定;数值计算结果表明遗传算法用于衍射光学元件的设计，误差小于 5.2%，衍射效率达到 91.2%，遗传算法很适合衍射光学元件的优化设计。
参考文献：
[1] 赫尔齐克 H P. 微光学元件、系统和应用[M]. 周海宪，王永年，程云芳，等. 北京：国防工业出版社，2002.Herzig H P. Micro-Optics Elements， System and Applications[M]. ZHOU Hai-xian，WANG Yong-NIan，CHENYun-fang，et al. Beijing：National Defence Industry Press，2002.
[2] 杨国珍，顾本源，邬敏贤. 二元光学[M]. 北京：国防工业出版社，1998.YANG Guo-zhen，GU Ben-yuan，WU Min-xian. Binary Optics [M]. Beijing：National Defence Industry Press，1998.
[3] 张静娟，姬 扬，姚德成.遗传算法在激光束整形中的应用[J]. 物理学报，1996，45(5)：789-794.ZHANG Jin-juan，JI Yang，YAO De-chen. Applications of Genetic Algorithms in beam shaping[J]. Acta Physica Sinica，1996，45(5)：789-794.
[4] 鲁建业，李 琦，董蕴华，等. 采用混合遗传-模拟退火算法对DOE的直接设计[J]. 光电子·激光，2001，12(4)：365-367.LU Jian-ye，LI Qi，DONG Yun-hua，et al. Direct Design of Quantized DOEs by Genetic Simulated Annealing Algorithm [J].Journal of Optoelectronics·Laser，2001，12(4)：365-367.
[5] 陈国良，王煦法，庄镇泉，等. 遗传算法及其应用[M]. 北京：人民邮电出版社，1995.CHEN Guo-liang，WANG Xu-fa，ZHUANG Zhen-quan，et al. Genetic algorithms and its applications[M]. Beijing：Posts &Telecom Press，1995.
[6] GOLDBERG D E. Genetic Algorithms in search，Optimization and machine Learning[M]. Boston：Addison-WesleyPublishing Company，1989.
作者简介：陈焘(1973-)，男(汉族)，甘肃陇西人，博士生，主要从事衍射光学元件的优化设计和应用方面的研究工作. E-mail：lchentao@sohu.com
