摘 要:透射凸二次非球面具有自消球差的能力。只要像距、物距、材料的折射率及二次曲面系数之间满足一定的条件,则物点与像点就具有消球差的成像关系。研究了二次非球面系数e2值与成像放大率β的关系,目的在于为透射凸二次非球面的检验找到普遍适用的范围。实例计算和实际的应用表明,对于中小口径的凸非球面来说,透射补偿法是比较实用的检验方法,特别是此种方法可以检验一些凸的扁球面。
1 引 言
目前,尺寸较小的透射凸非球面镜的用途非常广泛,例如在录像镜头、显示投影、眼科医疗检查和光盘写入与读出的光头等技术领域都用到了非球面凸镜,而其中最多的是二次非球面。非球面检验常用到的是透射补偿系统,即在非球面之后设计一个球面系统以补偿非球面的球差。补偿系统的镜片通常在两片以上,这在单件生产或试制时是很麻烦的。由文献[1]中的公式(2·48)表明,只要二次非球面系数e2(-K)、成像放大率β及材料的折射率n满足公式的系,单个二次非球面就具有自消球差的能力。本文通过对公式的分析和计算,得到了利用二次非球面自消球差特性进行检验的实际可行范围。
2 构成自准检验的几种光路
从有限远或无限远发出的光束,经凸二次曲面自消球差,将成像在不同的位置,并可以用一个自准面使之返回,构成自准光路,见图1至图4。这样,在点光源处可以实现零位检验,无论是干涉检验,还是刀口阴影法或星点检验均可。
3 自消球差公式的分析
自消球差的公式[1]为
为了得到实际上的可用性,必须求出自消球差时共轭成像的位置。由单个表面的近轴成像关系[2]
从公式(1)可看出,若β=0,则e2=1/n2,由于n >1,所以e2<1,是椭球面;若β=-∞,则e2= n2>1,是双曲面。这两种特殊情况在后面的实例计算中可看到是完全自消球差的。而检验一般的凸二次球面时,随着相对孔径增大,会存在剩余球差。另外,当β=1和β=1/n时,e2=0,这就是球面光学设计中不产生球差的成像条件,即光束和球面同心或齐明条件[3]。全面考察β和e2的关系。以K9玻璃为例,取n =1.5163,利用(1)式作出曲线图,如图5所示。
从图5中的曲线可以看到,e2>2.299 16(n2),自消球差的β值是正值,且β>1.5163(正好是K9玻璃的nD值)。1.516 3>β>0,e2值经历了扁球面、球面到椭球面。-∞<β<0,e2值经历了双曲面、抛物面及椭球面。其中一个较重要的解是当e2=1时可算得β=-1.110 293 39,可以检验凸抛物面。表1分别列出了三种不同玻璃自消球差时,β与e2的相关数据,以便于分析使用。
下面根据公式(1)和公式(2),以K9玻璃nD=1.516 3代入,并进行数值计算,分析图像中各段的实际应用价值。令(1)式中的e2=1得到能够检验抛物面时的β解,β=-1.110 293 39。另外两个0点的β解分别为0.659 5(1/n)和1,前面已经讨论过,这时正好是球面的两个无像差点。β在1/n到1的区间内e2<0,β=0.816 3时有极小值为-0.035 477 87。有了这些计算结果,工作范围可划分为:β从-∞到-1.110 293 39段,e2从2.299 16(n2)递减到1,这一段可以检验2.991 6(n2)> e2>1的双曲面。由(2)式得出,此时物距的取值范围为-1.936 858R到-4.581 978R,可设计出如图1或图4的检验光路。
β= -1.110 293 39是检验抛物面的解,此时的物距为-4.581 978R,像距为5.087 339 5R。β从-1.110 293 39到0段,e2从1递减到0.434 94(1/n2)为椭球面,此时物距从-4.581 978R到-∞,显然此段也是可以作为实际应用的。应设计成如图4或图3的检验光路。
β从0到0.659 5段,e2从0.434 94到0是椭球面,由(2)式得,物距从+∞到2.516 3R,对应的像距从2.936 86R到1.659 5R,物像同在凸面的右侧。
β从0.659 5到1段,e2在0到-0.035 477 8内是扁球面。此时的物距从2.516 3R到R,而像距从1.659 5R到R,可以实际应用。另外值得注意的是该段不是单值的,因为β增大时物距减小,所需的入射孔径角增大,所以对特定的e2值来说,在实际应用中应选其对应的较小的β值。
β从1到1.516 3(n)段,e2从0递减到-∞,物距从R到0,此段可以检验大范围的扁球面。但是由于物距小于顶点的曲率半径R,因此在检验很凸的扁球面时有困难。
β从n(1.516 3)到+∞段,物距从0到-1.936 9R,物像同在凸面的左侧,可以用图2的自准光路来检验e2>n2(2.299 166)时的双曲面。但值得注意的是,当被检凸面的e2很大时,对应的β值将接近n,这时假如凸面顶点曲率半径R接近于D,入射的相对孔径角将大于1,检验很困难。比如表1中的一组数据e2=1 327.56,对应的β=1.6,由(2)式得l =-0.101 322R。如D≈R,此时的入射孔径角约为168.4°,这显然是难以做到的。因此在检验很凸且e2又较大的双曲面时是有困难的。若R较大(比较平的面),而e2又不是很大的双曲面时是可以检验的。实际中,当相对口径很大时,e2值一般不会很大。整个β在0到1.5163(n)段。从分段的分析中可以看出l为正值。此时,需要外加一个自准球面,如图6所示。而图1到图4中的自准球面变为不产生球差的同心透射面。此种情况只能用干涉仪来检验,并且要去掉本身的参考面。
4 实例计算
根据上面的分析,选几组典型的数据来进行实例计算。取K9玻璃nD=1.516 3,透射凸二次非球面的顶点曲率半径R取100 mm。l和l′是优化后的值,详见表2。
通过实例计算可得到如下结论:对于e2=1/n2和e2= n2两种特殊情况来说,剩余球差不随通光口径大小而变化。而在一般的情况下,其剩余球差是随着相对通光口径的增大而增大的,并且随e2的增大剩余球差也增大。
5 与内部反射补偿法的比较
内部反射补偿的方法见文献[1]。现仅举一例来说明透射法和内部反射补偿法的优缺点。分别用两种方法来检验e2=0.731 742,半径R为100mm的凸椭球面,玻璃仍然为K9玻璃。通光口径都取50 mm来比较。透射法的结果在表2中已经列出。当通光口径为50 mm时,点图的RMS值为0·101μm,此时衍射极限的直径为7·328μm。当用内部反射补偿法时,根据文献[1]的公式(2·53)及成像公式可求出入射的物距,间距d取18 mm,优化后l= 56.867 17 mm,点图的RMS值为0·540μm,衍射极限的直径为2·581μm。从两组结果来看,虽然都在衍射极限以内,但是透射法的剩余球差比内部补偿法要小。两种情况下的波面误差与镜面误差的关系为:透射法的W=2(n-1)Δ;反射补偿法的W=2n2Δ。若以n=1.5来计算,透射法的波面误差约等于镜面误差。而反射法的波面误差约为镜面误差的4·5倍,这将明显的提高检验精度。因此,比较的结果是透射法比反射法的剩余球差小,但是反射法能够明显的提高检测精度。
参考文献:
[1]潘君骅.光学非球面的设计、加工与检测[M].北京:科学出版社,1994.
[2]张以谟.应用光学[M].北京:机械工业出版社,1982.
[3]王子余.几何光学和光学设计[M].杭州:浙江大学出版社,1989.
作者简介:张宝安(1977-),男,山东省济南市人,苏州大学现代光学技术研究所硕士研究生,主要从事非球面加工与检测方面的研究。
