摘要：运用不共轴光学系统的光路计算和象质评价理论,通过共轴光学系统中光学表面、光学元件、部件的小位移和微倾斜,对切比雪夫综合象质函数计算其相应的有限差分,以掌握各种离轴性误差对象质的危害程度;再按多元函数的极值理论和适应性优化技术自动求解共轴光学系统中各种离轴性公差,并进行反馈和非线性处理;达到公差的最优化分配。
引 言
任何光学系统都是由光学表面、光学元件或部件组成的。这些组元的离轴性误差将直接危害系统的成象质量,必须给予充分注意。一般说来,所谓离轴性误差大致包括:透镜元件的中心偏差——即透镜光轴(透镜表面曲率中心的连线)与几何轴的不重合误差、胶合透镜各组元光轴的不共轴误差、分离透镜组中各透镜光轴的不重合误差、反射元件法线取向偏差、平行平面透射元件的平行差等等。它们有的是元件生产加工过程引起的,有的则起源于胶合、装配和调校过程,还有的是因为其它外界因素的影响(例如环境温度变化引起光学零件错位、变形,镜管的挠曲使光学元件产生随动误差,运输中的振动、颠簸造成光学系统失调等等)。军用光学仪器还要面对出厂前的五项例行试验,这都无一例外地要使光学系统光轴的理论状态遭受破坏。毫无疑问,合理分配光学系统的离轴性公差应该是确保系统成象质量的关键之一。而且,这里所谓“合理分配”应包含两层涵义。第一,在光学仪器生产、例行试验、包装运输等几大环节之间实现合理分配;第二,在系统的各个零件、部件和全系统组合中实现合理分配。显然,前者比较容易做到,因为依据一定的经验积累,例行试验和包装运输带来的误差是不难掌握的,后者则困难得多,因为光学系统的组成形式五花八门,各种仪器的精度和象质要求差异甚大。长期以来,此类公差是凭经验确定的。这就不可避免地出现盲目性、主观性和不合理性。生产和检验中为此而争执者屡见不鲜。
我们运用不共轴光学系统的光路计算和象质评价理论,借助计算机自动优化技术,实现了各种离轴性公差的快速自动分配与计算。
1 离轴性误差的描述及坐标变换
本文采用的基准坐标系是以X轴为光轴、以XOY坐标面为子午面的右手系[1]。在这种坐标系中,光学表面或光学元件的离轴性误差可分为两类:
1)顶点的横向位移ΔY,ΔZ,分别代表沿Y轴、Z轴方向的平移。
2)单元光轴的倾斜,斜角θ,η分别代表其绕X轴、Z轴的转角。符号规则:当平移沿着相应坐标轴的正向时,此量为正;反之为负。关于倾斜,迎着转轴看,若倾斜沿着逆时针方向,则倾角为正。
为了便于计算机程序处理,我们规定,当某一光学表面既有横向平移,又有倾斜偏转时,则认为它是先有平移,而后再有偏转,即偏转是迭加在平移后的状态之上。并且,偏转是用有序量(θ,η)描述的,先有θ,而后有η。
则T称为旋转变换矩阵。
以上是关于点坐标的变换公式。其中(X,Y,Z)系在基准坐标系中度量,(X*,Y*,Z*)则在有了离轴误差(ΔY,ΔZ),(θ,η)的坐标系中来度量。关于向量的变换,可写出
式中α,β,γ是单位向量Q在基准坐标系中的三个方向余弦,而α*,β*,γ*则是其在有了倾斜误差(θ,η)的坐标系中度量的方向余弦。
运用以上坐标变换公式和对离轴性误差的数学描述,再借助光线追迹的向量方法,我们即可对每种离轴性误差造成的象质恶化做准确地定量计算。
2 质量函数及其有限差分
为了定量描述各项离轴性误差对整个光学系统成象质量的影响,我们需要建立一个质量函数,它能综合表现系统的象质,便于计算,又不必花费较大的计算量。实践表明,切比雪夫积分型综合质量函数A′[3]可作为首选目标。传统的光斑弥散尺寸类质量函数原则上也可应用,但它对应的计算量要大得多(至少大一个数量级)。由于要定量考察的离轴性误差很多(每一表面、每个独立元件或组件等的各种误差都要逐一考察),故计算量的大小至关重要。依次对每一光学表面赋予一种离轴性误差δΧj(j=1,2,…n,n是离轴性误差的总个数),计算与之相应的切比雪夫综合质量函数A′的有限差分(即增量)δA′j(j=1,2,…n)。一方面,差商(δΑ′j/δXj)表现了质量函数A′对第j项离轴性误差的敏感程度(或说是第j项误差对象质的危害程度),它使我们在今后确定公差或临时对公差分配做局部调整时心中有数。另方面,δXj,δA′j的计算为自动求解公差分配奠定基础。
值得注意,δXj的数值也不能太大。否则,以有限差商(δA′j/δXj)取代偏导数( A′j/ Xj)就有明显误差,这就破坏了下面自动求解公差分配的数学基础。但δXj的数值也不能太小,否则,其所对应的δA′j数值与计算机的舍入误差相当,这种计算便毫无意义。关于δXj数值大小的选取,对不同的系统、不同的表面、不同的元件以及不同的离轴性误差都有迥然不同的量值,这需要有实际的摸索。一种可取的参考值就是我们过去一直采用的经验公差数据。
另要强调,上述δA′j的计算系依据多元函数偏微分的观念,因而光路计算中要进行坐标系的复原处理,即:光线穿过有离轴误差的表面之后,光线坐标(投射点坐标和方向矢量坐标)要回复至基准坐标系中来度量,公式是
3 公差的自动求解
在求出每项离轴性误差δXj(j=1,2,…,n)所对应的切比雪夫综合质量函数之有限差分δA′j之后,便可进一步考虑全系统所有离轴性误差对切氏综合质量函数A′影响的总体效应。一个系统允许离轴性误差危害到何种程度,我们是胸中有数的,即允许A′增加多大ΔA′可以确定,于是可以依据线性性假设写出如下方程式
4 解的反馈与处理
必须清楚,上述(11)式所给出的解会满足(7)式,但(7)式成立的前提条件是“线性性”假设,即认为:在解矢量的范围内,综合切氏质量函数A′与离轴性误差呈线性关系。但实际上,上述线性性假设未必成立或未必准确成立。这就关系到(11)式解的有效性。为确保所解公差的正确、有效,我们在程序中设计了反馈处理过程。其运行机制大致是:将(11)式的解同时赋予各相应的元件(或部件),构成一个具有所有离轴性误差的系统。对该系统做准确的光路计算,求出其实际的切氏综合质量函数A′*及相应的变化量ΔA′*,若
5 结 论
实践证明,这样求解的离轴性公差切实可行。它避免了主观性、盲目性,并把CAD技术推进到公差设计阶段。限于篇幅,关于计算机求解处理的技术细节不能在此详述。
参考文献
1 袁旭沧.光学设计.北京:科学出版社,1983.74
2 王永仲.新光学系统的计算机设计.北京:科学出版社,1993.230～236
3 王永仲.新光学系统的计算机设计.北京:科学出版社,1993.293～298
*国家自然科学基金资助研究项目
本文作者：
王永仲:男,1944年10月14日生,1967年毕业于北京理工大学光学工程系本科,1981年由该系研究生毕业,获硕士学位。现为国防科大应用物理系教授;军用光学专业博士生导师;国家有突出贡献的中青年专家;中国物理学会理事;国家自然科学基金委光学与光电子学评审专家;工科院校“夜视与激光技术”专业指导专家;美国前沿科学学会(AAAS)特邀国际会员;美国物理研究院(AIP)特邀国际专家成员;美国光学学会(OSA)特邀中国会员。享受政府特殊津贴。1986年、1993年获国防科工委科技进步二等奖各一次;1989年获国防科工委科技进步一等奖;1990年获国家级科技进步三等奖;1991年获光华科技基金二等奖。出版专著二部;发表论文40余篇,近二年有五篇被《Engineering Index》收录;六次获优秀学术论文奖。
