摘要：从理论上分析了较高空间频率的柱面透射光栅的衍射特性,在不作近似的条件下,用计算机模拟出了不同曲率半径的柱面透镜组成的柱面透射光栅的夫琅和费衍射特性,得出了其衍射光强的分布规律。光学实验给出了由光学塑料制成的空间频率为10 lp/mm的柱面透射光栅的衍射光强分布。计算机模拟结果与光学实验结果吻合。
引 言
任何一种衍射单元周期性地重复排列所形成的阵列能对入射光的振幅和位相或二者之一产生空间调制的都可以称作光栅。按不同的分类方法,有振幅型和位相型,透射式和反射式等。对振幅型平面透射光栅、位相型的闪耀光栅和正弦光栅,在许多光学文献中都有研究,对于较低空间频率的柱面透射光栅文献[1-2]作了应用性研究,而较高空间频率的柱面透射光栅迄今为止尚未作过较详尽的分析[2]。本文用傅学的方法里叶光,对较高空间频率的柱面透射光栅的夫琅和费衍射特性进行了分析和研究,用计算机模拟出了其衍射光强分布规律,并针对衍射特性提出了可能的应用。
1 理论分析
柱面透射光栅的截面结构如图1所示,由一个个宽度为d、折射率为n的平凸柱面透镜阵列所组成,每一个柱面透镜凸面的曲率半径为r。为了分析的方便,我们将柱面透射光栅的一个单元经比例放大后重新画为图2,取图2所示的坐标系,由于在y轴方向上各量都相同,因此把柱面透射光栅当作一维情况来处理。设入射光波沿z轴方向传播,当经过柱面透镜后入射波的波前有位相延迟,延迟效应的大小正比于柱面透镜各点的厚度,若将图2的柱面透镜沿x-z平面分为厚度为b的平面部分和最大厚度h0的柱体部分,第一部分由于厚度相同而对入射波各点的位相延迟都相同,因此在柱面透镜总的位相延迟中,如果省去对光强无贡献的平面部分位相延迟因子,将不会影响我们在后面对光强分布的讨论。设在坐标为x处柱体的厚度为h(x),那么入射波通过柱面透镜时,在x处所引起的位相延迟为
式中k=2π/λ为入射波的波数,knh(x)是由柱面透镜引起的位相延迟,k[h0-h(x)]是空气曲面引起的位相延迟,这样,柱面透镜对入射波前的作用等效于一个透射系数为
的位相体。
根据图2所示,由几何关系可以求得
考虑到在(3)式中ik[-(n-1)r+nh0]这一项与x无关,省去它同样不会影响我们在后面对衍射光强分布的讨论,因此(3)式可以简化为
考虑到x的取值有可能与r同一个数量级,使得(4)式中的根号这一项不能作近似展开。
设用单色平行光垂直入射到柱面透镜光栅上,入射光场的复振幅为
其中U0为复常数,当它通过宽度为d的柱面透镜后,其透射场的复振幅为
可见,只要求出(7)式的傅里叶变换,再由(8)式就可以求出柱面透射光栅的衍射光强分布情况。
2 计算机模拟结果与分析
对(7)式无法求得它的傅里叶变换解析表达式,我们取柱面透射光栅的折射率n=1.514,柱面曲率半径r=140μm,光栅常数d=100μm,用IBM-PC386计算机上的MATLAB语言在100μm宽度内取2000个抽样点,抽样间隔为0.05μm,分别模拟出如图3(a)单柱面透镜的衍射光强分布、(b)多光束干涉的光强分布和(c)10个柱面透镜组成的光栅衍射光强分布所示(x0为计算机模拟坐标),可以看出柱面透射光栅衍射光强分布与朗奇(Ronchi)光栅衍射光强分布类似,即(7)式经过傅里叶变换后仍应包括单柱面衍射因子和多光束干涉因子的乘积。也就是说,柱面透射光栅的衍射光强分布是多光束干涉受到了单柱面衍射的调制,且衍射光强的各级极大值分布仍符合光栅方程。在我们的模拟条件下,各级光强几乎呈均匀的“平顶”状分布,从“平顶”的中间到两边,光强的起伏逐渐增大,到“平顶”的边缘最后一个谷、峰时起伏最大。
为了研究光栅常数d与柱面透镜的曲率半径r之间的关系,我们保持光栅常数d和折射率不变,改变柱面透镜的曲率半径r,得到单柱面衍射光强分布随半径的变化关系如图4所示,其中r从d/2到1.1d,相邻两曲线的间隔为0.02d,为清楚起见,分别将(a)r=d/2、(b)r=d、(c)r=2d、(d)r=10d和(e)r=1050d时得到单柱面透镜衍射光强分布的模拟结果如图5所示,在图5中已设(a)的最大光强值I1max为1,且从(a)到(e)的横坐标已依次放大。从图4、5可以看出,对于单柱面透镜的衍射,保持柱面透镜的宽度d不变,当r取最小值即r=d/2时,光强近似高斯分布,即中间光强最大,两边逐渐减小。随着r的逐渐增大,光强分布范围逐渐向中间收缩,光强的峰值逐渐增大。在r=d时,光强呈近似的“平顶”状分布,且范围较宽,起伏较小。同时还可以看出,当r增大时,由于单柱面衍射的调制会使光栅衍射的总级数减少。
我们在模拟实验中还得出,在r=d到r=15d的近似范围内,单柱面衍射的光强分布近似呈“平顶”分布,在这个范围内随着柱面曲率半径r增大,光强的分布范围和“平顶”的宽度都随之缩小,光强的峰值则随之增大。可见,如果要用柱面透镜光栅作为均匀线聚焦元件[4],就应使光强呈“平顶”状分布,r和d的关系符合上述要求。而且改变d和r的关系,理论上就可以得到连续控制线聚焦的范围。
当r进一步增大,以致r/d趋于无穷大时,由(7)式求极限可得
上式对确定的r值,U0exp[ik(n-1)r]项是一常数,其傅里叶变换是一个sinc2函数,与我们的模拟结果相一致。从物理意义上来讲,此时柱面已变成平面,相当于一个宽度为d的狭缝衍射,而一个狭缝的衍射光强分布正好就是sinc2函数。与图5(e)的计算机模拟结果相比,二者符合很好。
图5 几个不同曲率半径的单柱面衍射光强分布
Fig.5 The diffractive hihgt intensity distributions of several single
cylindrical transmissive gratings with different radii of curvature
(a)r=d/2,(b)r=d,(c)r=2d,(d)r=10d,(e)r=1050d
3 实验结果与分析
为了进一步验证计算机模拟结果的正确性,我们用光学塑料制成了一个参数分别为:光栅常数d=100μm,柱面透镜的曲率半径r=140μm,折射率n=1.514的柱面透镜光栅,用波长λ=0.6328μm经扩束的平行光照射,光路如图6所示,其中L是激光器,L1是扩束透镜,H是针孔,L2是准直透镜,D是光阑,G是光栅,S是接收屏。当分别照射80个、30个、20个和10个单元时,在屏上拍摄到的衍射光强照片如图7所示,其中图7(e)是(d)的局部放大照片。
从图7的照片可以看出,随着柱面透射光栅被照射的的单元数目增多,光栅的各级衍射斑逐渐增大,在傅里叶变换透镜焦距较小时,逐渐变成一条焦线。如果会聚透镜的焦距为f,则由物理光学可以求得各衍射级在观察屏上的位置
可见当d增大或f减小时。相邻衍射级之间的距离减小,反之,则增大。因此,只要改变d和f,就可以控制焦线的宽度和均匀度,这就为控制焦线提供了一个理论基础。同时,若d较小或f较大时,则可以对激光进行较均匀的分束。
4 结 论
由对计算机模拟结果和光学实验结果的分析和讨论,我们可以得出:柱面透射光栅衍射光强分布是多光束干涉受到单柱面衍射的调制,各级极大值分布符合光栅方程。单柱面衍射的光强分布,在r=d/2时,近似高斯分布;在r=d～15d的范围内,近似“平顶”状分布;在r/d→∞时,是sinc函数分布。
若适当选择单柱面透镜的曲率和傅里叶透镜的焦距,柱面透射光栅可以作为较好的线聚焦元件,也可以作为激光的分束元件。
参考文献
1 丘悦,黄宏一等.可变焦列阵柱面透镜均匀线聚焦系统.光学学报,1994,14(11):1198～1203
2 陈万年,王树林等.用于X射线激光实验研究的列阵柱面透镜线聚焦系统.光学学报,1991,11(9):829～833
3 顾德门J W.著,詹达三等译.付里叶光学导论,北京:科学出版社,1976
4 Sappala L G.Laser Program Annual Report(LLNL),1984
本文作者：
薛喜昌:男,1963年生,1986年毕业于河南大学物理系。讲师,从事物理学教学与科研。
戴建明:男,1963年生,1986年毕业于四川大学物理系。讲师,从事物理学教学与科研。
周XX:男,1939年生,1962年毕业于四川大学物理系。副教授,从事物理学教学与科研。
