在现代工业生产过程中，为有效地进行生产操作和控制，需要测量生产过程中各种介质的物理参数。其中，流体的流量是经常要测量和控制的重要参数之一。其测量的准确与否直接关系到企业的生产稳定，产品质量和经济指标，是企业加强生产管理，提高经济效益的重要技术保障手段之一。
自1977年美国人发明了第一台科氏质量流量计并被美国的Micro Motion Inc将其商品化进入实用阶段以来，石油，化工，能源，食品，造纸，制药，贸易，航空航天等领域纷纷采用，已经成为最主要的流量测量手段之一。
在公开文献中，有关科氏质量流量计的振动特性、几何参数设计等问题，讨论得比较少。本文就针对直管型科氏质量流量计，给出其弹性直管的有限元模型，并进行实例计算[1~3]。
1 测量原理
图1给出了直管式谐振式科氏质量流量计测量管的示意图。测量管为两端固支的薄壁弹性管，当在管中间施加激振力F=A·sinωt时，在两支承点间产生对称于中点的主振动。若有流体流过测量管，则在管的左、右半段产生大小相等、方向相反的Coriolis力，Coriolis力使测量管产生图中虚线所示振型的副振动。该副振动反对称于测量管的中点，其幅值为被测质量流量的函数（一般可表示为线性关系）。我们通过检测两路副振动的幅值比或者相位差，即可确定被测流体的质量流量。
2 弹性直管的有限元模型
图2给出了弹性直管的单元模型及其工作时的振动位移示意图。振动以法向位移w为主，同时伴有很小的扭转位移φ。于是弹性管的弹性势能为：
其中：Rf=RT-0.5h，为管子的内半径。
对于弹性管的自由振动，法向位移和扭转位移可写为
基于式（1）~（5），沿弹性弯管的轴线方向划分单元，见图3。引入无量纲长度：x=（s-Sj）/1，1=0.5（Sj+1-Sj）；s∈[Sj，Sj+1]将变换为：x∈[-1，+1]。对于第j个单元，引入Hermite插值。
由式（7），（9）可以得到总的单元刚度矩阵，由式（8），（10）可以得到总的单元质量矩阵。进而可以组合整体刚度矩阵K和整体质量矩阵M。弹性管系统的有限元模型为：
（K-ω2M）a=0 （11）
其中总体节点矢量a由所有的aj组成。
结合测量管结构特征和实际端点固支的边界条件，由式（11）就可以求解它的一、二阶弯曲振动固有频率和相应的振型。
3 模拟计算实例
表1~3给出了直管长度、管截面壁厚、管截面平均半径取不同值时，其一阶、二阶弯曲固有频率。管的弹性模量、质量密度、泊松比分别为1.6×1011Pa，7.9×103kg/m3，0.32。
表1 L取不同值时一、二阶频率（RT=12.5mm h=1.0mm）
L/mm
800
700
600
500
400
f1（Hz）
221.1
288.6
392.7
565.2
882.2
f2（Hz）
608.0
793.5
1078.6
1549.8
2412.0
表2 h取不同值时一、二阶频率（RT=l2.5mm L=500mm）
h/mm
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
f1（Hz）
565.4
565.6
565.9
566.2
566.5
f2（Hz）
1550.3
1551.0
1551.7
1552.6
1553.5
表3 RT取不同值时一、二阶频率（L=500mm h=1.0mm）
RT/mm
10.5
11.5
13.5
14.5
f1（Hz）
475.2
520.2
610.2
655.1
f2（Hz）
1305.0
1427.6
1671.7
1793.1
从表1~3可知：直管长度L对一，二阶振动频率的影响最显著；管截面平均半径RT对一，二阶振动频率的影响次之；管截面壁厚h对一，二阶振动频率的影响非常小，可以忽略不计。
从上述三个几何参数对弯曲固有频率的影响来看，管长是我们必须优先考虑的一个因素，其优化设计是整个流量计设计中的一个重点。RT虽然对频率也有影响，但是影响不如L强，同时RT选择余地不大，因为在某个应用场合，被测流量的大小是一定的。h对于频率的影响十分微弱，我们可以不必考虑它。事实上管壁厚可以从管内被测流体的压力和流体密度的测量灵敏度来考虑，本文不做详细讨论。
参考文献：
[1] 刘广玉等.新型传感器技术及应用[M].北京：北京航空航天大学出版社，1995.
[2] 樊尚春，刘广玉.载有流体的弹性管频率特性的有限元分析[R].中国航空科技报告HK97014，北京：中国航空工业总公司，1997.
[3] GiovanNI Adiletta et a1.A twin rigid straight pipe Coriolis mass flowmeter.[J].Measurement，1993，11（6）：289-308.
