1 引言
当流体中安放非流线型阻流体时，在一定的流量条件下，在阻流体两侧会交替地释放出规则的旋涡。涡街流量计就是利用旋涡发生的频率和流量的关系，通过检测旋涡的频率来测量流体流量的。它具有无可动部件，结构简单可靠，测量范围宽，应用范围广等优点，是目前正在快速发展的流量计之一。
采用不同的涡街检测技术可以构成不同类型的涡街流量计，如超声、压电、电磁、光纤和电容等等[1]。其中差动电容式涡街流量计凭其抗振动、耐高温等特性得到广泛应用。但涡街流量计尚属发展中的流量计，其依据的理论基础是卡门涡街理论，而该理论是在均匀流场的气体风洞试验中得出的，该实验条件与实际的涡街流量计使用条件不一样，因此在涡街流量计发展中，还必须开展一些基础研究工作。本文通过对电容式涡街流量计的建模与仿真分析，探求涡街流量计设计中的一些基础准则。
2 电容式涡街流量计原理
斯特劳哈尔在1878年研究发表了关于流体振动频率与流速关系的文章，后来冯·卡门又对圆柱绕流产生的旋涡摆动进行了机理研究[1911]，提出了卡门涡街理论。
当流体流过阻流体时，从阻流体两侧交替地产生有规则的旋涡，如图1（a）所示。旋涡列在旋涡发生体下游非对称地排列。旋涡的发生频率为f与流速有以下关系：
（1）
式（1）中，Sr是斯特劳哈尔数，它表示了旋涡频率与阻流体特征尺寸和流速的关系。Ul是流过阻流体两侧的流速，d是阻流体的迎面宽度尺寸。
上式是表示的是检出频率与流速的关系。频率检出是依靠置于涡街发生区的检测元件来检测的。检测元件的设计会影响到检测灵敏度和检测范围。
电容式涡街流量计是通过检测元件感受旋涡的振动并将其转化为差动电容变化的检测方式。检测元件通常为差动电容的动电极，如图1（b）所示。它与两个静电极构成两个电容。根据涡街原理，作用在检测元件两边的力Fl和Fr交替变化，带动动电极相对两个静电极的距离交替变化，从而将涡街的频率变化转变为差分电容的周期性变化。
图1 卡门涡街及电容检测方式
一种典型的电容式涡街传感器结构如图2（a）所示，主要由阻流体、检测元件和检测电路组成。图2（b）是检测元件的结构图，外部空心的圆柱体作为差动电容中的动电极，内部圆柱体的圆柱面上分布两个静电极。当涡街力作用在圆柱上，会引起外圆柱体的摆动变形，差动电容值就会发生改变，其变化频率与涡街的发生频率一致。检测电路将电容的变化转换为脉冲信号，并通过变送器输出标准的4～20mA模拟信号或某种现场总线的数字信号。
图2 电容式涡街传感器
3 流量计建模
3.1 涡街力与流速模型
根据冯·卡门的研究[1912]，当涡街间的间隔h和涡间的间隔l满足h/l=0.281时，则涡街是稳定的，如图3。
涡街相对于流体向来流方向推进的速度u，可用下式表示[2]：
（2）
根据茹科夫斯基定理，作用在检测圆柱体单位长度上的举力大小L，可用下式表示：
（3）
图3 涡街稳定条件
引入举力系数，并根据式（2）得：
（4）
式中举力系数为流体密度，v为流体流速，d为阻流体迎流有效宽度。
检测元件受力长度为lc，则作用在检测元件上的作用力F（t）可用正弦函数来近似描述：
3.3 检测元件强迫振动模型
根据对漩涡流场特性的研究[3]，在漩涡发生体下游距发生体迎流面的距离约为管径1～1.5倍的位置，漩涡强度强且稳定，检测元件就安装在这个区间。检测元件可以看做是一个质量弹簧阻尼体，当受到交变外力作用，会引起强迫振动。由于检测元件的弯曲变形较小，可以对其进行简化处理，如图4所示，把它当作绕支点小角度转动的系统。根据牛顿定律，写出系统的动力学方程：
（6）
式中，J是检测元件绕支点的转动惯量，为粘性摩擦系数，K为检测元件的等效弹性系数。M是作用在检测元件上的涡街力矩。
根据式（6）可写出检测元件的自由振动方程：
（7）
图4 检测元件的简化模型
则系统无阻尼的固有频率，阻尼系数δ=，阻尼比
根据式（6）写出系统的传递函数：
（8）
3.4 检测电容模型
检测元件变形角很小，可以将电容变化简化为极板间距离的改变Δd，Δd=lc·sinθ≈lc·θ。圆柱薄壁间的电容可用以下公式求得：
则差动电容变化可写为：
（9）
式中R是静电极的半径，d是在静止条件下静电极和动电极之间的距离，ε是极板间介质的介电常数，ld是极板的高度。
图5 电容简化模型
3.5 检测电路模型
小电容检测采用充放电法，其原理框图如图6所示。电荷电压转换电路的输出可以表达为[4]：V=Rf·C·Vref·f，则差分放大输出可表示为：
图6 检测电路框图
（10）
式中Rf为转化电路的反馈电阻，Vref为参考电压，f为开关控制频率。滤波整形可以当作一个带死区的比较环节来处理。它反应了电容检测电路的灵敏度，现在的电路检测技术可以检测出飞法（fF）级的电容变化[5]。
4 仿真分析
电容式涡街流量计的模型可由上述的模型来共同描述，按照上述建立的数学模型在Matlab/Simulink中进行仿真分析，其系统仿真模型如图7所示。仿真条件选取如下，被测流体为空气，管道选用DN50，阻流体宽度d=0.02m，取斯特劳哈尔数Sr=0.2，Cl=3.66，检测元件R=0.02m，d=0.001m，ld=0.01m，材料密度为7.8×103kg/m3。
图7 系统的仿真模型
根据弹性力学对检测元件进行模态分析，可得到检测元件的固有频率和阻尼比为：ω0=5294×2π=33246.32 ζ=0.01425。设电容检测电路最小分辨率为0.01pF。
图8和图9分别是空气流速在5m/s和25m/s的条件下，差动电容输出波形和脉冲输出波形。
图8 流速为5m/s的输出波形
图9 流速为25m/s的输出波形
从仿真结果知道，当流速由5m/s增加到25m/s，差动电容的最大输出增加的约25倍；在给定的电容检测灵敏度下，当空气的流速低于5m/s时，检测电路就无法检测出电容的变化，这就是测量的最低流速限制。
对检测元件传递函数进行分析，其幅频特性曲线如图10所示。实线的是ω0=33246.32，ζ=0.01425的曲线，点划线的是ω0=33246.32，ζ=0.0255的曲线，虚线的是ω0=28284，ζ=0.01425的曲线。从仿真结果可以看出，降低检测元件的固有频率，可以提高系统的检测灵敏度，但同时会降低系统的检测范围。保持检测元件的固有频率不变，适度提高系统的阻尼比（图中点划线）可以在不降低检测范围的前提下提高系统的检测灵敏度。
通过仿真，按照上述的电容检测阈值，当适度提高阻尼比后，可将最低可测流速从4.9m/s扩展至3.8m/s。
图10 检测元件对涡街力响应的幅频特性曲线
5 结论
根据仿真建模分析的结果可以得到以下结论：
1）最高工作频率最好小于检测元件固有频率的三分之一，以保证增益基本不变。
2）差动电容的最大输出值近似与流速的平方成正比。
3）由于最小可检测电容阈值的存在，当流速小于某值时，测量电路无输出。因此应尽可能提高电容检测电路的分辨率，降低最小可检测电容阈值。
4）降低检测元件固有频率可提高系统检测灵敏度，但同时缩小了检测范围。在设计检测元件时，满足最高工作频率的前提下，尽量降低检测元件的固有频率。
5）保持检测元件固有频率的前提下，适度提高阻尼比，可提高统检测灵敏度。在检测元件设计时可适度的同时降低转动惯量和刚度，这样可以保证固有频率不变的前提下，提高系统的检测灵敏度。
参考文献：
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[2] 夏文学.涡街流量计旋涡上举力系数的研究[J]，润滑与密封，2004，1（19-20）.
[3] 孙志强，张宏建，黄咏梅.涡街流量计流场特性的数值仿真研 究[J]，自动化仪表，2004，5（10-13）.
[4] 李锻炼，向平，何明一.抗寄生干扰的小电容测量电路研究[J]，仪表技术与传感器，1997，7（29-32）.
[5] 张玉艳，王玉田，王莉田.用于差动电容传感器的高分辨率电路的研究[J]，传感技术学报，2002，3（51-54）.
