摘要:焦面板是大天区面积多目标光纤光谱天文望远镜的一个重要部件,它是一个球面孔群结构,孔的位置精度直接影响到系统的成像质量。建立焦面板孔群中心点位置的数学模型并进行仿真不仅是进行优化孔群分布的需要,也是进行后续数控加工的需要。空间球坐标投影算法,解决了在球面上近似均匀分布孔群的难题,并利用科学计算工具MATLAB进行了数学建模与仿真。最后给出了仿真结果和孔群中心点位置的三维坐标,并提出了其他的改进方案。结果表明,该算法能有效地提高焦面板的孔位精度,满足了LAMOST的需要。
1 引言
大天区面积多目标光纤光谱天文望远镜(LAMOST)是一架横卧南北方向的中星仪式反射施密特望远镜。由于它的大视场,在焦面上可以放置四千根光纤,将遥远天体的光分别传输到多台光谱仪中,同时获得它们的光谱,成为世界上光谱获取率最高的望远镜。这个系统是由光学系统、主动光学和支撑机构、机架和跟踪系统、望远镜控制系统、焦面仪器、圆顶、观测控制和数据处理系统、输入星表和巡天战略等八个子系统组成的。本文研究的是其中焦面仪器子系统中的焦面板的设计计算。焦面板是一个球面的多孔结构,为了后续的数控加工需要,需要得到满足一定程度近似均布的4000个孔中心点的空间三维坐标值。而我们知道在一个球面上理论上不可能完全均匀分布4000个孔。这样,我们必须提出一种近似均匀分布的方法。本文正是在这样的前提下,提出了利用空间球坐标投影的算法近似均布球面上多孔。仿真结果表明,该方法有效地提高了点在球面上的均匀分布程度,误差达到了预期的目标。
2 焦面板子系统结构及精度要求
焦面板是一个形状约为φ1. 75m球半径19. 88m的球冠,在焦面板上呈蜂窝状地加工4000个轴线朝向球心的孔(如图1所示)。满足在直径1750毫米的焦面内均匀分布的要求。每个孔中安装一个有两个自由度的双回转光纤定位单元。每个单元的端部装有一根光纤,由两个步进电机驱动。在定位过程中光纤一方面随偏心支架作中心回转运动,另一方面又在偏心支架上绕偏心回转轴作偏心回转运动。
每根光纤的有效覆盖面为Φ33mm的圆,而焦面处每两个邻接圆面的中心距位25. 6mm,这样就没有盲区(见图2)。
理论上在球面完全均匀地分布4000个孔不太现实,所以本文借助MATLAB仿真,实现对4000个孔在球面上近似均匀分布,即近似满足相邻孔间距为25. 6mm。
3 焦面板孔位计算的数学原理及其实现过程
3.1 焦面板孔位的数学建模原理
知道对一个平面的圆用等边三角形进行划分不仅能绝对准确,而且也很简单。所以先在一个平面上将一个圆用边长为25. 6mm的等边三角形均匀分割,然后按照一定的投影方法将这些三角形的顶点投影到球面上,得到的这些投影点就是需要在焦面上加工的孔的中心位置。通过选择合适的投影方法,可以使球面上的投影点近似满足均匀分布。通过对一系列投影方法的分析和验证,选择如下的空间球坐标投影算法(见图3):
3.2 算法的实现过程
程序的流程图如图4。
球面投影的MATLAB程序关键部分如下:
3.3 计算结果与其他方案
有了各投影点的坐标,可以通过MATLAB很方便地算出相邻各点间的间距。得出的计算结果是孔中心的中心距范围为25. 6mm~25. 592mm,误差范围为8μm。最后通过这些孔中心向SR19880的球面作孔。
由于理论上球面内完全均分这些孔中心无法实现,可以看到经该投影算法投影过后的孔中心间距与25. 6mm的理想值有一定误差,最大误差达到0. 008mm。另外,这些孔中心间距误差的分布也有一定的规律。由于孔中心位置的对称性,取出其中四分之一研究,发现位于30°和90°区域内的误差最大(如表1),最大误差达到0. 008mm。而0°区域和60°区域范围内误差最小(如表2),最大误差为0. 001mm。
孔中心间距误差的大小大致以30°为周期呈周期性变化。且随着孔中心点半径的增大,误差也增大,即边缘区域误差最大,误差分布示意图见图6。焦面板相邻孔间距分别与孔中心极径和极角的关系如图7所示。可见,随着极径的增大,孔间距的误差呈增大趋势。另外,孔间距大小随孔中心极角的变化也近似地呈周期性变化。
另外,通过使用其他的投影算法也获得了不错的计算结果,如变球心投影。下面简单的介绍下这种投影方案。变球心投影方案是将平面上各三角形的顶点按图8所示投影到焦面上。当平面距投影中心距离L变化时,焦面上得到的投影点M(' x,' y,' z)'的位置也不同,得到的各孔中心距也不一
样。经试验计算,当L取75000mm时孔中心距误差最小,此时中心距范围为25. 594mm ~25. 605mm,误差范围达到11μm。另外该投影得到的投影点孔中心距误差多集中在焦面边缘,误差较大区域面积比较大。而球坐标投影算法得到的孔中心距误差分布相对均匀,误差范围也相对较小,因此选择这种投影算法。
4 结论
焦面板的形状、结构、尺寸以及材料特性对于整个望远镜系统的正常运行影响极大。如何合理地排布光纤单元的位置对于望远镜系统的观测质量至关重要。我们提出的空间球坐标投影方案在一定程度上很好地解决了这个问题。试验结果表明利用了这种算法计算出的孔的位置均匀性好、误差小,有效地保证了整套系统的成像质量。
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