摘要：针对传统光栅干涉仪中测量范围和分辨率难以同时提高的问题，提出利用单根大长度、低线数光栅实现大量程、高分辨率位移测量的方法。首先利用长度 400mm，栅距 10μm 计量光栅的±5 级衍射光生成条纹图，实现了条纹的 10 倍光学细分。然后提出一种基于傅里叶变换时移特性的条纹细分新方法，利用相邻两帧条纹图同位置处相位的变化实现了高达 1000 倍的条纹电子细分。在此过程中，针对能量泄漏对傅里叶变换法相位提取精的影响，提出条纹图整周期裁剪的方法，使条纹细分精度至少可达到 1/1000 条纹周期。仿真和实验结果表明，系统具有纳米级的分辨率和优于 10nm 的测量精度。
1 引 言
纳米测量技术是解决目前和未来许多高精度、高分辨率问题的先决条件之一，是纳米科技领域的先导和基础。作为能够实现纳米级位移测量的技术之一，光栅干涉位移测量技术具有激光干涉仪不具备的独特优点，在诸如微电子、超精加工、材料科学等众多领域有广泛的应用前景。在传统的测量方法中，量程和分辨率一直是两个互相矛盾的量，或者是在较小的量程内达到较高的分辨率，或者是以较低的分辨率来换取较大的量程[1]。但是，在一些实际应用中，对量程和分辨率的要求都比较高，因此大量程纳米测量技术的研究是一项重要而迫切的工作[2]。
本文利用单根大长度计量光栅，合理选取光束入射角，利用光栅的两束高级次衍射光形成莫尔干涉条纹，构成具有高光学倍频数的光路系统。通过条纹图整周期裁剪的方法，提高了傅里叶变换法的相位提取精度。在此基础上，提出了一种基于傅里叶变换时移特性的条纹细分新方法，实现了条纹的高倍数高精度电子细分。实验比对表明系统具有纳米级的分辨率和优于10nm 的测量精度。
2 系统光路
光栅干涉位移测量系统的光路如图1 所示。激光器 L 出射波长为λ的单色相干光被分光镜BS 分成强度相等的P 光和Q 光，它们分别被反射镜M1和M2反射后入射光栅 G 的同一位置。仔细调整P 光和Q 光入射光栅的角度i，可以使两束级次为 m 的衍射光(P，m)和(Q，-m)沿光栅法线方向出射，经光阑和透镜后在光电探测器 D 表面形成莫尔干涉条纹。其中光阑用于阻挡其他级次的衍射光束入射到光电探测器上。当光栅G 沿垂直法线的方向向上位移X 时，由于多普勒效应，P 光和Q 光的光程变化P 和Q 为
由式(4)可知，当光栅位移量 X 等于光栅栅距 d 时，相位差变化 4mπ，光电探测器输出的电信号变化 2m 个周期，因此对光栅栅距 d 实现了 2m 倍光学细分。若移动过光电探测器的条纹数为N，则光栅位移量X 为[4-5]
由式(5)可知系统灵敏度与光栅栅距 d 成正比，与衍射光级次 m 成反比。要提高系统灵敏度，可使用细栅距光栅或高级次衍射光。但是，当光栅栅距 d 小于入射光波长λ时，将只存在零级衍射光，因此系统中光栅的最小栅距只能为 d=λ。从理论上讲，虽然可以使用任意高级次衍射光，但由于衍射光功率随衍射级次的增加迅速减小，m 的选取必须满足系统信噪比要求。很多文献中使用±1 级衍射光[3-4]，光学倍频数为 2;文献[5]中使用了±10 级衍射光，光学倍频数高达20。
3 条纹细分
用傅里叶变换来分析条纹图首先是由Takeda[6]等人提出来的，它是利用快速傅里叶变换首先将条纹图由空域正交变换到频域，在频域中进行滤波处理，然后取出一阶谱再逆变换回空域，最后求解出条纹图的相位分布。在对条纹图的实际采样过程中，由于线阵光电探测器尺寸的限制，条纹图总是被限制在有限的空间范围内，条纹信号产生截断，从而使条纹的谱加宽并引入额外的高频分量(由于能量泄漏)，导致提取的相位与真值之间产生误差。为了抑制能量泄漏引入的测量误差，文献[7]中采用了对条纹图采样数据进行加窗处理的方法，但该方法对测量精度的提高有限，且进一步加大了计算量，不利于动态测量;而文献[8]中则采用了对条纹图数据进行周期延拓的方法，应用数值外插将条纹图延拓为条纹周期的整数倍以提高相位测量精度，但是外插数值的计算首先必须要有准确的条纹图数学模型才能有好的效果，否则仍不能提高测量精度。
3.1 条纹图整周期裁剪与傅里叶变换相位提取精度的提高
针对光栅干涉位移测量系统中条纹的细分，我们只需要准确提取条纹图中某一固定位置处的相位，而不需要提取条纹图中所有位置的相位。因此，我们对采样条纹图进行整周期裁剪，使条纹图数据内截为条纹周期的整数倍。当用傅里叶变换法对裁剪后的条纹图进行相位提取时，不仅数据量少，计算速度更快，而且能够保证每个位置都有较高的相位提取精度。不失一般性，设在任意时刻t 条纹图沿 x 轴的强度分布为
若线阵光电探测器的像素总数为 100，对式(6)表示的条纹图空间等间距采样后如图 2(a)，整周期裁剪后如图2(b)。
图3 是对整周期裁剪前后的条纹图 2(a)和 2(b)用傅里叶变换法计算得到的相位误差曲线，其中横轴表示条纹图沿 x 轴的空间位置或光电探测器的像素序号，纵轴表示相位。图3(a)是从图 2(a)计算得到的误差曲线，可以看出相位提取精度在条纹图内部只能达到 10-1rad 量级，在条纹图的边缘则有较大的误差。图3(b)是从图 2(b)计算得到的误差曲线，可以看出对于整周期裁剪后的条纹图，相位提取精度大大提高，不论在条纹图边缘还是内部，误差都在10-15rad 量级。因此，对条纹图的整周期裁剪，可以减小甚至忽略能量泄漏的影响，大大提高傅里叶变换法相位提取的精度。
3.2 基于傅里叶变换时移特性的条纹细分新方法
在采样时刻t0，若条纹图经线阵光电探测器空间离散采样，模数转换后为 (),0(1)0I n≤ n≤N，N 为采样点数，则其傅里叶变换为
与传统傅里叶变换法相比，基于傅里叶变换时移特性的条纹细分法计算相邻两帧条纹图间的相移只需经过两次傅里叶变换，而不需要在频域中截取条纹图的基频再逆变换回空域，因此计算量至少减少了一倍，计算速度得以大大提高，从而更适用于莫尔干涉条纹的动态测量。
4 实验和讨论
4.1 系统分辨率和电子细分精度的数值验证
不失一般性，设在测量起始时刻t0，两束单色平面波干涉形成的条纹图沿x 轴的强度分布为
数值计算中，设一个条纹周期代表的位移当量 p=1μm。条纹图在每个采样时间间隔 t 内均沿同一方向移动0.001个条纹周期，即相邻两帧条纹图间相位变化 0.002π。条纹图共移动1000 次，即移动一个条纹周期。此外，计算过程中每帧条纹图首先都经过整周期裁剪，裁剪位置由0t 时刻的条纹图决定。图4 是对式(12)表示条纹图的细分和误差曲线，其中，横坐标为条纹图序号或帧数，纵坐标为位移。可以看出，细分曲线与理论曲线完全重合，它们之间的误差为10-12量级。
用线阵光电探测器对干涉图空间采样时，由于像素总有一定的大小，一个条纹周期宽度很难恰好覆盖整数个像素，因此不能完全保证裁剪后的条纹图宽度刚好是条纹周期宽度的整数倍。但是，由于线阵光电探测器像素的离散性，这种偏差最大只能为±1 个像素。图 5 所示为当条纹图裁剪偏差一个像素时细分值与理论值的误差曲线。可以看出，当不能实现条纹图的整周期裁剪时，在一个条纹内的细分误差具有周期性，其频率是条纹频率的两倍。此外，细分误差还随一个条纹周期宽度内覆盖的像素数 M 的增多而减小，原因是单位范围内的像素增多，即每个像素本身尺寸所占据的空间比例减小，裁剪后的条纹图更加接近条纹周期宽度的整数倍。在图5 中，一个条纹周期被 1000 倍细分，当一个条纹周期宽度内覆盖 M=16 个像素时，最大细分误差约为0.7×10-3;而当M=128 时，最大的细分误差降低为0.2×10-3。
4.2 实验比对
系统光路如图1，光源为半导体泵浦全固态激光器，波长λ=532nm，输出功率约 20mW。光栅为 100l/mm 的计光栅，栅距 d=10μm，长度为 400mm。系统中选用±5 级衍射光的位移当量 p=1μm。在用基于傅里叶变换时移特性的条纹细分法进行 1000 倍电子细分后，系统的分辨率为 1nm。比对传感器为美国 MTI 公司的 Accumeasure 9000系列电容传感器，量程50μm，分辨率5nm，不确定度0.51%。线阵光电探测器为128 像素，像素尺寸56μm×200μm，最高工作时钟可达 5MHz，相应像素的电信号以电压形式串行输出。比对过程中，线阵光电探测器和电容传感器输出的电压信号由计算机控制采集卡同步采集，再经相应的计算后进行比对。
图6 是条纹图经线阵光电探测器沿 x 轴空间采样后的强度分布，可以看出条纹强度呈周期分布，但由于各种噪声源的存在，条纹光电信号的形状是不规则的，直流和噪声电平在不同位置也不同。对这种非理想的条纹光电信号，若用以两路正交信号为基础的条纹细分法[9-10]细分，会存在一定的细分误差。且噪声电平越大，细分误差越大。而在采用基于傅里叶变换时移特性的的条纹细分法时，由于条纹图首先被从空域正交变换到频域，在频域中进行滤波处理，然后再取出一阶谱再逆变换回空域，因此重新得到的空域信号是一个不含噪声的正弦波形，所以可进行整周期裁剪和高精度细分。
图7 是实验系统与 MTI 电容传感器的两组比对曲线。可以看出，在电容传感器的量程内，两套系统的比对位移曲线完全重合，测量数据的差值基本上在 10nm 范围内，这已经是比对电容传感器能够达到的最高精度。由于没有更大量程和更高分辨率的比对设备，因此比对实验没有能够扩展到整个 400mm 量程范围，这是本文的缺憾。
5 结 论
本文实现了一种大量程、纳米分辨率、高精度的光栅干涉位移测量系统。系统采用单根 400mm 的计量光栅，通过合理选取光束入射角，使两束±5 级的衍射光干涉形成条纹，实现了 10 倍光学倍频。采用条纹图整周期裁剪的方法，提高了傅里叶变换法的相位提取精度。提出了一种基于傅里叶变换时移特性的莫尔干涉条纹细分新方法。与传统傅里叶变换法相比，该细分法计算相邻两帧条纹图间的相移只需经过两次傅里叶变换，而不需要在频域中截取条纹图的基频再逆变换回空域，计算速度得以大大提高，从而更适用于莫尔干涉条纹的动态测量。实验结果表明，系统具有纳米级的分辨率和优于 10nm 的测量精度。
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作者简介：楚兴春(1972-)，男(汉族)，云南昆明人，博士后，主要研究工作是光电精密测量与光纤激光技术。E-mail: kejdcxc@sohu.com
