摘要: 研究关节测量机优化测量精度问题，目前关节臂测量机在测量技术上还不成熟，对关节臂补偿目前尚难。关节臂测量误差补偿传统的方法是采用最小二乘法求解多个误差项目的最优解、求解角度、杆长、偏置、偏摆微分误差系数矩阵，在工程实践中这样做很难取得理想的效果。为解决上述问题，提出采用 D - H 方法设计关节臂坐标测量机的机械结构进行运动学建立模型并进行仿真，分析了各种运动学参数对关节臂测量精度的影响，并对误差进行分离处理，使得测量精度达到0. 05mm 以内。结果表明满足了关节臂设计的要求。
1 引言
伴随三坐标测量机生产和应用的成熟，以及更多测量需求，对关节臂三坐标的研究越来越多。关节臂测量机，和机器人手臂很类似，主体结构是可旋转的关节和关节连接杆，在这个结构中，使用角度作为基准代替了传统的长度基准。
关节臂三坐标可以进行尺寸检测、扫描造型等多项任务，因其结构相对简单、重量轻、量程较大、携带方便，适用于现场进行检测或者造型的优点，因此引起了很多科研机构或公司的关注、研究。在此主要还是研究关节臂测量机的研制和标定技术，以及关节臂的误差成因和精度控制等内容。由于关节臂的误差控制复杂，因此精度上很难保证。截至目前，关节臂主要还是应用在一些逆向工程设计等对精度要求相对较低的领域内，这就导致它的推广受到了很大的限制。关节臂主要的不足之处为其结构基本为串联，较容易产生误差以及误差传递，精度比桥式结构三坐标低一个数量级[1]。传统的误差补偿使用最小二乘法求解多个误差项目的最优解，但很难取得理想的效果，因此，如何分析关节臂误差成因和如何进行误差补偿是关节臂测量机最重要的技术之一。要想发挥出关节臂的优势，必须从关节臂的测量原理以及系统构成和误差模型的建立开始进行分析。
对于关节臂的研究，目前基本仍在 Denav it 等所提的 D- H 模型上做研究，此处在 D - H 模型基础上，结合新提出的旋量理论，对关节臂进行数据仿真分析，系统的分析了各个误差源对测量精度的影响[2]，对每个关节进行补偿，对误差进行分离处理，可使测量精度轻松达到 0. 05mm 以内，满足关节臂市场化的需求。
2 关节臂测量原理和测量模型
在坐标系的选择上，如图 1 所示，关节臂因为机械结构特性为极坐标( 球型) ，不同于传统桥式三坐标为圆柱( 极坐标) 。
使用这个原理，可构建出下图 2 所示的关节臂测量机模型( 空间六自由度模型) 。
通过圆光栅的角度编码器可以测出 6 个旋转角度，并结合的测量臂行程 ρ1和 ρ2，探头长度 ρ3，再通过奇次转换矩阵，即可导出探头在 中齐次坐标的矩阵表示，见式( 1) 。
根据图 2 的关节臂测量机的测量模型可以设计出如图 3的机械结构，图 2 的测量模型和图 3 的机械结构区别如下:实际生产中的轴线通常不会加工到绝对的垂直和轴线的严格相交，而理论的模型却是绝对的垂直和相交的，因此如果用理论模型去确定最终的测量方程是存在差别的。通过借鉴机器人手臂研究中的 D - H 方法可确定最终的测量方程。
参考 D - H 方法，在关节臂的每个节点上( 即圆光栅安装处) ，建立出一个坐标系，这样就得到一个图 4 示例的关节臂空间坐标系统: 原点 O0为基坐标系，测头末端建立的坐标 系原点为 O6，则: 在 O6坐标系中测头触发齐次坐标是( 0，0，0，1)T，参考 D - H 方法中的 A 变换，进行空间坐标系间的齐次变换，便可以获得被测点 O6在基坐标系 O0中的空间坐标值。其中，通过 D - H 方法中的 A 变换得到的 A 矩阵为:
3 误差仿真与分析
以上是使用 D - H 模型来建立了关节臂，D - H 模型简单并且使用程序控制起来比较方便，但同时也存在了不足，原因是它的相邻坐标系的运动学关系是使用 X 轴和 Z 轴来描述，因此无法描述到 Y 轴的运动。
测量机的技术瓶颈主要是测量精度，误差源目前探索出的分为六类，如下图的表 1 所示。
误差仿真分析可通过软件建立，关节臂式测量机的仿真流程如下面的图 5 示例。
由于关节臂本身关节影响，因此在不同的转角对关节臂影响是不同的，所以，只有角度确定后，分析它的转角才比较准确，在仿真过程中，将 θ =[180°，90°，180°，90°，180°，90°]作为确定的基本角度进行误差仿真分析，其他的参数及误差均设置为 0，然后依据基准角度设定每个角度的增角为 ，就可以得到仿真结果数据 - 361 个连接的误差分布曲线图[3][4]。
3. 1 长度类运动学参数误差
杆长误差主要是由于加工装配等原因，导致的轴承和轴线上的窜动。杆长误差包含在相邻坐标系之间刚体变幻矩阵中的位移向量里[5]。如图 6，所有杆长的误差都分别只有 0. 1mm，测量误差也是0. 1mm. 这样可以得知，在测量精度的影响上每一级的杆长误差是完全相同的，会直接体现在最后的结果上，而与关节转角无关，没有通常的误差放大现象。
3. 2 转角零位偏差对测量精度影响
测量精度最重要的影响之一，就是光电编码的装配精度，当关节存在 的转角零位偏差时，由此产生的测量误差分布曲线如图 7( a) 所示。当 2、3、4、5、6 的关节转角分别在 0 ～ 360 范围内变化时，生成的测量曲线列于图 7 中 ( b) ~( f) ，当关节旋转角度 1 在 0 ～360 范围内变化，剩下的五个关节旋转角度保持在基本位姿中数值不发生改变。
由图 7 及表 2 可以得出结论: 微小的转角零位偏差会引起测头测量误差的放大，但是不同级的转角误差对各级杆是不同的放大作用。
3. 3 关节旋转轴的倾斜角偏差测量
关节旋转轴误差主要是指各关节坐标系中的 Δαi，Δβi。主要是由于转角的光电编码器安装误差引起的误差，不将绕Z 轴旋转的转角( 因为等同于转角的零位偏差) 计入关节旋转轴的倾斜角偏差里。
如图 8( a) 为各个倾斜角度都分别有转角零位偏差时产生的测量误差分布曲线，当关节转角 1 在 0 ～ 360 范围内变化时，其余关节转角数值基本不变，当关节转角 2、3、4、5 和6 分别在 0 ～ 范围内变化时，产生的测量误差分布曲线见图8( b) ～ ( f) 。
为研究关节坐标系中的各级倾斜角偏差对精度综合影响，将倾斜角度偏差一一单独存在 0. 01°所产生的测量误差，并取平均值列于如下的表 3 中。
由图 8 及表 4 可知: 各倾斜角与各关节的转角零位偏差对测量精度的影响规律是一致的。
3. 4 仿真分析
为了使结果更具有通用性，在关节臂的测量空间，分为八个象限，在每一个象限任意取一个测点( 如表 4 所示) ，然后再通过计算角度运动学参数误差，确定出对测量精度的影响( 如表 5 所示) 。
根据表 5 的仿真结果，可以分析出，角度的转动和表 2表 3 大体趋势是趋向一致的，但是还是稍微有些不一样，从均值来分析可以发现，角度运动参数对最终的测量误差是具有放大作用的[6]，但是长度运动在任何状态下对测量误差是不放大也不缩小的。
4 机械设计部分
对于关节臂测量机对精度的要求，与传统桥式三坐标相同，需要一个变形小、受力均匀的机械系统; 一个测量模型系统; 一个高效的带精度补偿功能的软件系统，软件需要具备人机界面友好、效率高、功能齐全、精度高。通过软件的参数运算才能获得关节臂的测量坐标值，同时关节臂在完成各种元素测量任务的同时，可以进行三维逆向造型，模具检具设计及计算机辅助工程等。因此软件的精确和高效是必须具备的软件条件。
为了测量角度的准确性，必须选择高精度的角度传感器，以便准确接收到各个角度信号的反馈，同时要选择高精度的轴承作为硬件支持，以保证旋转过程中的稳定性。最后数据采集部分的电子电路要准确并具有一定的抗干扰能力。式( 2) 中的 θi就是要测量的各关节的旋转角度值。由式( 2) 可知，在两测量臂和探头的长度已知的情况下，要求出探头的空间坐标值，必须要测量出 6 个旋转的角度数据，所以，在 6 个旋转部位处安装 6 个角度传感器，当测头被触发时，立即将 6 个传感器的角度值进行信号锁存，并使用程序计算获得测点的空间坐标数据。这 3 个部分它们之间是相互共同工作的，如果某一部分出现问题都会影响到整体的测量精度。
式( 2) 中 li、di、ai均由测量机机械结构决定，机械结构的稳定对系统的测量精度起着关键作用。因此必须使用合适的机械制造材料和合理的设计结构，关节部分可以选择铝合金材料，因为它密度小，可以有效减小热变形，并且导热性好，易加工，价格也不贵，同时还不会锈蚀; 在测量臂的材料选用上则可以使用刚度大、密度小、热变形小的钛合金材料。
5 高精度误差修正与标定技术
误差补偿是针对关节臂三坐标机器由于材料或者力学结构出现的缺陷，而开发出来的一套针对修改、补偿测量软件( 也就是上位机) 数学模型的成熟的理论[7][8]。
众所周知，关节臂采用的是一种串联的机械结构，因此和传统的桥式三坐标相比，它最大的不足之处还在于精度偏低。因为串联的机械结构本身决定了它的误差在传递中会被放大。因此需要建立一个科学的误差模型，使用误差标定技术加补偿软件对关节臂整个测量系统进行修正。
要正确的补偿关节臂的系统误差，必须建立合适的误差补偿数学模型，数学模型会影响到系统的补偿效果，由关节臂结构测量方程为:
通过式( 3) 可以看出，整个测量系统中有 24 项系统误差，由于误差标定在要求精度、完整、一致、简易和溯源性，并且补偿是一种对于数学模型的修改，是对于空间矩阵的有规 律的修改，所以做出的修改一定是要有规律的，也就是说只有有规律的变化才能够用单纯的修改矩阵来补偿，在这里所说的有规律的变化具体说就是变化规律是一元的。另外误差补偿是一套理论，是一套方法，而怎样获取有规律的变化的方法却是多样的。激光只是其中的一种手段，步距规、水平仪等都是可以取得这些规律变化的工具。
可采用两种标定方法: 方法一是使用激光，加上高精度多面棱体和自准直仪和角度传感器比对的方法，将多面棱体和角度传感器同轴安装，获得角度传感器在多个角度处的误差值，再运用插值拟合方法获得其误差曲线，长度误差值可采用高精度测量仪器分别测出。方法二: 只要进行试验获得24 组以上的( Δx，Δy，Δz)T( 由式( 3) 可知) ，再利用迭代算法即可算出 24 项误差值。使用这两种方法分别从硬件和软件来实现标定并互相校核标定结果。
至此，已经知道了影响关节臂的测量机精度的环节比较复杂，国内没有形成实用的产品。要获取较高的精度，需要妥善解决处理多个环节部分。机械结构必须要精确，还要便于测量，并能精确定位，有较好的刚性和重复性。在硬件上，需要有高质量的编码器、运行平稳精确的角度信息采集系统。要合理建立空间数学模型，更要具备简便可行的有效的补偿方法，这样才能保证最后的精度。
而在测量完关节臂各项误差数据后，关节臂的的误差补偿就很容易了，根据式( 2) 计算坐标时修正掉系统误差值就可实现关节臂的误差的补偿和修正，经试验证明这样处理过之后，，测量精度完全可以达到 0. 05mm 内，这样就可以满足市场化需求了，从而大大提高关节臂的测量精度。
6 结论
关节臂测量机如果要提高精度，则建立一个科学的数学模型并利用误差修正来提高精度是必不可少的一步。并且，①长度误差在关节臂测量机中不放大也不缩小，角度运动误差有放大作用。②在采用角度编码器以及装配时需要保证精度，并且各级轴承等相关零部件在加工和装配时应参考倾斜角对测量精度的影响权重来决定加工和装配的精度。这样可以减小角度类运动的误差放大作用。
参考文献:
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[作者简介]
姚旭东( 1959. 2 - ) ，男( 汉族) ，河南省洛阳市人，副教授，硕士研究生，主要研究领域为计算机控制技术。
