摘 要: 在较大孔径放大系数( >4) 的情况下，结合实验结果，从拼接模式、被测面形、测量误差和不同孔径放大系数的角度出发，分析了各种因素对目标函数拼接技术精度的影响，为高精度检测和控制大口径光学元件表面形( 波前) 提供了依据。
0 引 言
多孔径扫描波面恢复技术保留了干涉测量的高精度，避免了检测困难和空间分辨率低的问题，降低了检测成本。此项技术的基本原理就是分别测量大口径面形的一部分( 孔径扫描) ，然后利用孔径重叠的数据得到各子孔径的安装向量，消除子孔径测量时带来的不同倾斜、旋转、离焦，从而恢复出全孔径波面。以往的多孔径拼接技术是两孔径拼接的不断重复，这样往往会造成误差传递和求解的不稳定性; 而通过建立目标函数，寻求使目标函数达到最优时的解，可实现多个子孔径的拼接，减少传递误差的积累。
现代光学系统对光学元件的加工质量提出了越来越高的要求，本文从建立波面恢复技术的评价标准出发，结合实验结果，分析了各因素对综合误差的影响，为精确测量和控制光学元件的表面面形( 波前) 提供了依据。
1 波面恢复技术精度评定参数
在波面恢复精度评价中，往往涉及以下参数:
( 1) 综合误差
式中: M 为采样点数; Wcm为恢复波面第 m 点的位相值; Wrm为真值波面第 m 个检测点的位相值，由于真值波面无法准确得到，通常用多次测得的波面平均值 来代替真值波面位相值 Wr。波面恢复技术综合误差反应了在波面恢复的整个过程中各项因素( 采样，拟合，拼接，波面处理) 的综合作用。
综合误差均方值反映了综合误差的置信程度，ΔW'rms，n表示第 n 个波面的综合误差。
( 4) 孔径放大系数 Kr = 全孔径直径/子孔径直径。
( 5) 重叠率 Kc = 参与组成目标函数的点数/恢复波面的总点数。
( 6) 数字干涉仪的分辨率 Kv，即对应于单位面积数字干涉仪测得的波面位相点阵的大小，数字干涉仪的分辨率也就决定了恢复波面的最大分辨率。
2 拼接模式
在多孔径扫描时，要涉及到孔径扫描路径和扫描顺序，即拼接模式的问题。在传统的拼接方法中，拼接模式的选择会对系统设计和拼接精度产生重要的影响。
在假定没有子孔径测量误差和定位误差的情况下，对两种拼接模式下的波面恢复精度进行仿真，从图 3 可以看出，两种扫描路径在不同重叠率的情况下互有优劣，在达到一定重叠率( 40%) 的情况下差别不大。图中反应了在没有其他因素的影响和不同扫描路径情况下的拼接误差的大小。由于目标函数拼接法并不是两子孔径拼接的不断重复，它是在全孔径下建立的目标函数，综合了所有重叠区的残差，不会由于孔径的增多而使误差不断传递，理论和实验证明恢复精度与扫描顺序无关。对镜面的同一圆形区域( φ230mm) 用如图 1 和图 2 所示的两种扫描路径实现检测，恢复波面各参数与原波面的对比结果见表 1，发现与图 3 所示的仿真结果相似。因为实验结果还包含其他误差的影响，所以综合误差偏大。表中并行模式方案综合误差占优，主要是重叠率高的结果。
若用同样的子孔径数量对方形区域进行检测，则平行模式因子孔径有效区域大、重叠率高，所以适合检测方镜，同时有利于简化软硬件系统设计，可保证良好的恢复精度; 而对于圆形区域检测，同心模式可使用较少的子孔径，提高了检测效率。表 2 为全孔径坐标下求得的各子孔径的安装向量( 不同拼接模式) 。在平行模式下，某个方向的倾斜系数明显要偏小，在实验手动的过程中可以明显地感觉到这一点。
采用并行模式检测，在同行或同列情况下只需一维移动，而同心模式需二维移动，但从表 2 中可以看出，并行模式下的安装向量的值和变化往往大于同心模式，其沿一维方向的移动容易受导轨的影响; 在一维移动误差为0.02mm的二维移动架上，移动误差远小于中心定位误差。在 PV =0. 77λ，Kc = 4，安装向量 p < 7，Kx < 0.01，Ky < 0.01，D ≈2.8 × 10-7的情况下，由于手动和空回，当移动误差在 0. 05 ～0. 1mm时，对综合误差的影响小于 λ/1000; 当中心定位误差在0.2 ～0.5mm 时，对综合误差的影响小于 λ/500。
从另一方面考虑，引入定位误差相当于引入测量噪声，中心定位误差在 0. 2 ～0. 5mm 时，相当于引入峰谷值为0. 004 ～0. 01λ 的噪声项，从图3 所示的测量误差对综合误差的分析中也大致可得到这个结果。
所以，对于移动误差为 0. 02mm 的二维移动架，移位误差和中心定位误差的影响容易控制( < λ/500) ，检测圆镜可用如图 1 所示的同心拼接模式，而在考虑到工程可行性时，直角坐标更容易设计，检测方镜可用如图 2 所示的并行拼接模式。
3 被测面形和测量误差
在全孔径坐标下，目标函数可表示成为
式中: M 为重叠区域数; N 为子孔径数; W 为位相值;P 为平移系数; K 为倾斜系数; D 为离焦系数; A 和 B代表目标函数重叠区域和子孔径区域两部分的权重。目标函数拼接法就是要求待定的子孔径安装向量使上式达到最小。
在软件里，波面位相用点阵表示，在计算目标函数时，如果重叠点越多，样本容量越大，在最小二乘的意义上更有利于准确求得各子孔径的安装向量，达到使残差更小的目的，实现精确拼接。重叠率和数字干涉仪的分辨率决定着重叠点的多少。在数字干涉仪分辨率不同的情况下，为兼顾精度和效率，需选择不同的重叠率。而在面形误差不同时，拟合误差在不同重叠率的情况下受到的影响程度也会不同。
如图 4 所示，单从减小拟合误差的角度来看，检测面形误差较大的光学表面时应适当提高重叠率。而在测量误差较小时，提高重叠率却得不到明显的效果。比如实验用到的 ZYGO 干涉仪，在未消倾斜的情况下，干涉仪对同一子孔径进行多次检测，误差均方值约为 0. 084λ，消倾斜后变为 0. 008λ。
实验表明: 对于 φ230mm、PV =0. 77λ 的镜面，用同心模式实行拼接，在 Kr = 6、重叠率 Kc 为 36.5% 时，综合误差为 0. 038λ，在重叠率 Kc 为99. 8%时，综合误差降低到0. 034λ，在 Kc =8 时，从0. 037λ提高到 0. 033λ。
在不同测量误差( 未消倾斜) 的情况下，重叠率对综合误差的影响如图 5 所示。测试相关参数如下: PV =0. 77λ，Kr = 4，安装向量 p < 7，Kx < 0. 01，Ky < 0. 01，D≈2. 8 × 10- 7。
曲线1 为实验结果，ΔWm= 0. 134λ，干涉仪的分辩率为1. 13/mm，而曲线2、3、4 为模拟的结果，ΔWm分别为 0. 1λ、0. 08λ、0. 01λ，ΔWm表示数字干涉仪测量的最大误差。从图中可以看出，提高干涉仪精度对提高波面恢复精度有显著作用。如果从曲线 1的 ΔWm= 0. 134λ 提高到曲线 3 的 ΔWm= 0. 08λ，在重叠率为 91. 3% 时，综合误差 ΔWrms可从 0. 0317λ提高到 0. 0187λ。
实验表明，如果干涉仪的分辨率提高到2.239mm，综合误差可以提高( 1/500) λ ～ ( 1/150) λ。所以，高精度检测需确保数字干涉仪的高分辨率，保证移动机构的良好的抗震特性和外界气流的扰动。
4 不同孔径放大系数
为了能用有限孔径的干涉仪检测更大孔径的光学表面，需要进一步提高孔径放大系数; 孔径放大系数越大，所需测量的子孔径数就越多。传统的基于两两拼接的方法造成误差的逐步积累，所以离基准孔径越远精度损失越大。目标函数拼接法的一个很大的优势在于测量更大孔径的光学表面。
如图6 所示，R 为多孔径系统的半径，圆弧 A 表示子孔径所在的理想拼接位置，圆弧 B 表示子孔径因轴向移动 L 所到达的位置，C 是以 O 为圆心、R-L为半径的圆弧，由 O 发出的射线交三段圆弧于 N、T、H。
由图 6 可知，ΔTHF ∽ ΔOO'T ( 近似) ，并利用内接弦的知识易得
式中: 表示波面误差; L/2R2为所要求的离焦系数。孔径越小，三角形相似程度越高，对离焦引起的波面误差的拟合就越精确。
本文利用 GPI 检测系统，对同一方镜的内接圆区域进行多孔径检测拼接，采用同心扫描路径，孔径放大系数可从 4 倍、6 倍到8 倍，把由 WYKO 数字干涉仪( 其最大检测口径为 600mm × 600mm，10 次重复测量精度为 0. 008λ) 测得的结果作为全孔径的真值波面，建立如下目标函数:
消倾斜后的波面如图 7 和图 8 所示。在 6 倍和8 倍孔径放大系数情况下恢复的波面结果如图 9 和图 10 所示。
表 3 列出了在不同孔径放大系数情况下的综合误差。孔径放大系数从 4 倍、6 倍到 8 倍，综合误差有小幅度的下降，一方面是因为最外围子孔径占有的区域变小，对总体精度的影响变小; 另一方面就是因为子孔径变小，如上所述，对离焦引起的波面误差的拟合就越精确。
5 结 论
影响目标函数波面恢复精度的各因素都是互相相关的，在工程化条件下，为达到高效和高精度，参考上面的分析，在不同的情况下可选择合适的测试方案。对于不同孔径放大系数和拼接模式，目标函数拼接法在软件上有很好的适用性，在工程设计上也简单易行。对于孔径放大系数要求较大( >4) 的情况下，目标函数拼接法更能避免误差传递，具有较高的精度。
在精度分析的基础上，针对各项影响因素，需要探求抑制和消除各种误差和补偿的方法，更精确标定各因子和改善干涉图的条纹对比度，进一步确保子孔径测量和拟合的精度。
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收稿日期: 2010-12-15; 收到修改稿日期: 2011-03-15 E-mail: liujun0571@ 21cn. com; lj@ hxdi. com
基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10076017)
作者简介: 刘军( 1978-) ，男，硕士研究生，主要从事光学检测和光学系统仿真方面的研究。
