摘 要:大口径凸非球面子孔径拼接干涉检测中的各子孔径之间为离轴形式,各子孔径之间除了平移和倾斜变换外,还含有旋转变换,测量结果中不可避免地会出现参考面未对准的情况,当进行数据拟合处理时,需要把由未对准造成的误差去除。本文在平面检测的最小二乘拟合基础上,对拟合算法进行了改进,从而实现了离轴子孔径的拼接检测拟合。为了验证算法的有效性,采用Matlab对口径为1m的大口径凸非球面的子孔径拼接检测的拟合过程进行仿真实验,实验结果表明,离轴式大口径凸非球面干涉检测的子孔径拼接可采用改进后的最小二乘法拟合而成,且拟精度可达到0.0048λ。
0 引 言
大口径凸非球面的检测一直是光学测量界的难点之一,原因在于凸非球面检测的参考元件需要大于待测元件。国外一些较大的凸非球面反射镜已经采用了全口径方式检测,如欧洲南方天文台的VLT(Very Large Telescope),次镜口径为1.12m,采用全口径非球面测量板法完成检测[1]。但随着待测次镜口径的增大,全口径检测的方式开始变得困难直至不能实现,尤其在国内,参考透镜口径的加工水平停留在0.5m以下,严重地限制了凸非球面反射镜的检测和加工,由此只能采用子孔径测量的方式。子孔径测量就是将整个凸面镜分成若干子孔径进行测量,然后利用数据处理方法对结果进行拟合,得到整个孔径的面形。拟合技术不属于新技术范畴,美国Arizona光学中心、QED技术公司、德国的T Hansel和A NIckel等单位及个人很早就开始了相关的研究[2]。国内浙江大学[2]、四川大学[3]、国防科大[4]、云南天文台[5]、长春光机所[6]等多家单位曾经或正在进行子孔径拼接测量的相关研究,但所针对的拼接拟合对象均为平面或环形子孔径,各子孔径与待测面之间均为共轴形式,因此在拼接结果中只含有平移和倾斜变换。当该方法用于子孔径凸非球面测量时,由于子孔径凸非球面测量中的各子孔径与待测凸非球面镜之间是离轴关系,因此除了典型的子孔径平面检测[4]中出现的平移和倾斜外,还包含坐标轴的旋转,需要寻找新的算法将各类变换从子孔径测量图中移除。
本文参考并改进了平面子孔径拼接拟合的算法,改进后的算法能够有效地剔除离轴子孔径拟合中出现的平移、倾斜、旋转各种误差。为了验证该改进算法的有效性,本文采用Matlab进行了子孔径检测模拟,对1m口径的凸非球面反射镜的子孔径测量进行了仿真。仿真结果表明,采用改进型拟合算法能很好地实现大口径凸非球面的子孔径干涉检测拟合,且在本文的仿真条件下,拟合精度可达0.0048λ。
1 基本原理及运算法则
1.1 平面子孔径拟合算法
大口径凸非球面干涉检测的子孔径拼接原理是由平面干涉检测的子孔径拼接原理发展而来的,平面子孔径拼接的基本原理可参考文献[2],即采用最小二乘法拟合。如图1所示,A和B为两个相邻的子孔径,阴影部分为二者的重叠区域。由于在子孔径移动过程中不可避免地会出现相对位置的移动偏差,故子孔径B的真实位置为B′。子孔径拼接拟合过程,即采用一定的算法,将B′的坐标系通过变换,统一到A的坐标系,即全局坐标系中。
若以A为参考面,则在重叠区域,存在一组系数a,b,c使得两种坐标满足关系Z′B(x,y) = ZB(x,y)+ax+by+c (1)式中a,b,c为变换系数,可采用最小二乘法拟合得到。原则上只要取三个点就能确定a,b,c,但为了最小二乘逼近的平滑性起见,一般选取多于未知数个数的点。在两个子孔径中相应采集n个数据点{ZA(xi,yi)},{Z′B(xi,yi)},(i =1,2,…,n),则根据最小二乘法残差的平方和最小原则可得
方程(2)的问题是求解I(a,b,c)的极值问题,可由多元函数求极值的必要条件得出法方程组:
对于三个未知数只需三组以上数据即可求得a,b,c,完成最小二乘法拟合。
1.2 拟合算法改进原理
以上所述是针对平面最小二乘法拟合的情况,对于更一般的拟合情况,如大口径凸非球面的子孔径拟合,则需对算法进行改进。
方程(2)中的变换方程只局限于倾斜和平移,对于更普遍的形式则可引入变换函数fj(x,y),其中j=1,2,…,L,L为限制方程数。则方程(1)变为
约束条件越多,方程(4)越具备普遍性。kj为拟合系数,需要匹配,仍使用最小二乘法:
vi= ZA(xi,yi)-ZB(xi,yi)为每对数据点的残差,借用MATLAB中元胞数组的概念,构建元胞数组V= [vi](n×1残差数组)、K= [kj](n×1拟合系数数组)、F=[fj(xi,yi)](n×L拟合方程计算值数组),则方程(8)变为
这样即可求得系数矩阵K,然后结合变换方程F和方程(4)可求得拟合后全局坐标系下子孔径相位的分布情况。
2 子孔径检测仿真
2.1 子孔径布局设计
检测原理图如图2(a)所示,非球面参考板比待测凸非球面反射镜小,需要合理设计子孔径的分布方式,以使整个凸非球面都能被检测到。子孔径布局图如图2(b)所示,共分13次子孔径检测,中心一次,边缘12次,边缘各子孔径之间的间隔为30°,子孔径之间存在重叠。这种子孔径分布方式能将整个待测凸非球面全面覆盖,以达成全口径检测。待测镜口径为1m,检测透镜组口径为0.4m,符合国内透镜加工的发展水平。
相对待测次镜而言,除中心子孔径外,其余12次子孔径测量均为离轴方式,在进行测量时,每个子孔径都需要进行平移、倾斜和旋转。当待测镜和检测镜都是理想情况的时候,将得到理想的检测干涉图,相反,当任何检测镜或是待测镜偏离正确位置时都将导致干涉图发生变化。
2.2 拟合方程
待测镜与检测镜组之间存在的位置偏离包括x,y方向的平移和旋转,以及z方向的平移,如图3所示,图3(a)为z方向的平移,图3(b)为x,y方向的旋转,图3(c)为x,y的平移。由于检测镜组是旋转对称的球面,故z方向的旋转可不予考虑。这些偏离反映在像面上就是波像差,波像差可采用幂级数展开的形式来描述,由于Zernike多项式与光学检测中观测到的像差多项式形式是一致的,因而Zernike多像差常用来描述波前的特性。像差与Zernike多项式之间存在对应关系,其中前九项Zernike项与像差的对应关系及表达式见表1。
可见,子孔径测量中各子孔径的相对位置偏离均可通过Zernike多项式及系数来表示。则方程(10)中的相位变换方程为
F中的每一项均为n×1维元胞数组。
2.3 拟合过程及结果
大口径凸非球面子孔径检测的Matlab仿真过程流程图如图4所示。
根据流程图,本文进行了相应的仿真,仿真结果如图5所示。其中图5(a)为全口径非球面表面数字相位分布模拟图,光程差RMS值为0.2195λ;图5(b)为采用本文改进后的算法进行图像拟合得到的全口径相位分布,光程差RMS值为0.2239λ;为了说明算法改进的效果,本文给出了采用传统平面拟合算法的拟合全口径相位分布图,如图5(c)所示,光程差RMS值为0.2358λ。由于在检测中会出现不可预计的随机误差,故在每幅相位图中都加入了平均值为3nm的正态分布随机误差。
对比图5(b)和图5(c)的拟合效果可以看到,采用改进后的算法进行相位拟合,得到的画面平滑流畅,能反映镜面的实际面形。而采用简单的平面检测拟合算法,各子孔径之间有明显的边界,拟合效果不佳,且镜面的实际面形被扭曲了。
从光程差的角度而言,改进后的拟合算法所得到的拟合图与原始相位分布图光程差RMS值之差Δp1≈0.0044λ,而在用平面检测拟合算法后的Δp2≈0.0163λ。图6为各子孔径相位分布图,该图是以图2所示的子孔径划分方式对全口径相位分布图进行划分得到的,并在每个子孔径中引入了一定的调整误差(平移、倾斜、旋转)。
3 拟合精度计算
拟合精度就是在子孔径通过拟和以后,重叠区域的各个数据点的剩余残差大小,可用RMS值表示:
式中:v′i(i =1,2,…,n)为拟合后的剩余残差;n为参加拟合计算所采集的数据量;k为拟合参数的个数。从上式可以看到,拟合采用的数据点必须多于待求参数,且采用的数据点越多,拟合的精度越高。在本文的计算过程中,每个子孔径的拟合均采用了50组数据点,在这种情况下计算得到的拟合精度σ=0.0048λ。
4 结 论
本文针对大口径凸非球面子孔径拼接干涉检测的离轴特点,在平面检测的最小二乘拟合的基础上,对拟合算法进行了改进,改进后的拟合计算方法能够消除离轴式子孔径在测量过程中出现的未对准误差。为了验证改进后拟合算法的有效性,本文利用Matlab对改进后的算法及平面拟合算法分别进行了模拟,对1m口径的凸非球面反射镜的子孔径测量进行了仿真,仿真结果表明,采用该子孔径拼接的拟合方式能很好地实现大口径凸非球面子孔径检测的相位拟合,且在本文的仿真条件下,拟合精度可达0.0048λ。本文的结论可为大口径凸非球面拟合的工程化提供理论借鉴。
参考文献:
[1] Reiner Barho, Steffano Stanghellini, Geory Jander. VLT sec-ondary mirror unit performance and test results[J]. Proxed-dings of SPIE, 1998, 3352:675—686.
[2]侯溪,伍凡,杨力.子孔径拼接干涉检测技术现状及发展趋势[J].光学与光电技术,2005,3(3):50—53.
[3]张蓉竹,石琪凯,蔡邦维,等.子孔径拼接干涉检测试验研究[J].光学技术,2004,30(2):173—175.
[4]杨靖,陈善勇,戴一帆.子孔径拼接测量基本算法与迭代算法的性能比较[J].航空精密制造技术,2008,44(5):13—16.
[5]李新南,张明意.大口径光学平面的子孔径拼接检验研究[J].光学技术,2006,32(4):514—517.
[6]王孝坤,张学军,王丽辉,等.环形子孔径拼接干涉检测非球面的数学模型和仿真研究[J].光学精密工程,2006,14(4):528—532.
[7]葛哲学.精通MATLAB[M].北京:电子工业出版社,2008.
收稿日期:2009-06-22;收到修改稿日期:2009-09-11 E-mail:wangzhaoq@163.com
作者简介:王曌(1981-),女,浙江湖州人,博士研究生,主要从事超大口径光学系统及元件检测方面的研究。
导师简介:张伟(1962-),男,教授,博士生导师。
