摘 要: 通过对微机械薄膜变形镜影响函数矩阵的奇异值分解,构建了变形镜可以校正的像差模式空间,分析了变形镜对正交基模式的校正能力和校正范围,提出了一种变形镜闭环迭代控制算法。通过对影响函数矩阵低秩近似的方法滤除校正性能较差的基模式的影响,实现了对畸变像差的有选择校正。以人眼出射波前为对象进行实验,通过比较不同模式项数校正时的效果,确定了最优校正模式项数的范围,通过设置残差容限的方法,消除了人眼晃动和眨眼的影响。实验结果表明:控制算法能通过选择合适的校正项数,提高变形镜的校正性能,并获取到了高清晰度的人眼视网膜图像,为眼科疾病诊断和治疗提供了一种新的观察手段。
变形镜是自适应光学系统核心部件之一,在外加电压控制下,它可以通过镜面形变改变入射波前的相位,从而改善系统成像的质量[1-2]。随着微机电系统(MEMS)技术的发展,变形镜在制造成本和性能上都得到很大改善使得开发民用像差校正系统成为可能[3-4]。其中,微机械薄膜变形镜(MMDM)以其小型化、响应快和低成本等优点得到广泛应用[5-6]。但是,由于驱动电极之间耦合严重,薄膜只能单向变形且变形量较小,变形控制非性因素比较多等缺点,也使得MMDM的控制算法较其它变形镜复杂[7-8]。目前,常用的变形镜控制算法有最速下降法[9-12]、本征模法[13]和随机并行剃度下降算法[14]等。其中,最速下降算法应用最为广泛,它根据波前像差减少的方向(负梯度方向)设计求解每次的迭代电压信号,算法较稳定,但缺点是不能对待校正的像差模式实现有选择的校正,应用于MMDM控制时,很难发挥变形镜的最大校正能力。本文以OKO公司37通道MMDM为例,借助对影响函数的奇异值分解,建立了变形镜可以校正的像差模式空间,研究了变形镜对正交基模式的校正性能,并以此为基础,提出了一种可以实现模式筛选的变形镜控制算法,提高了变形镜的校正性能,通过人眼像差校正实验对算法进行了验证,成功获取了高清晰度的人眼视网膜图像。
1 变形镜对正交基模式的校正性能
影响函数用来表征变形镜校正像差的性能。当仅有一个驱动电极加单位电压,而其它电极仅由弹性力约束时,镜面的形变称为该电极的影响函数,镜面形变可以借助波前探测器得到,整个变形镜的影响函数矩阵F可由各个电极的影响函数组合确定。变形镜镜面形变若用7阶35项ZerNIke模式系数表示,不考虑平移项,则对于OKO公司37通道微机械薄膜变形镜[4,15]而言,影响函数F是35行37列的矩阵。变形镜各个电极的影响函数之间不是正交的,这给变形镜校正特性的分析带来了不便。
根据矩阵论中奇异值分解的原理,对于F∈R35×37,存在正交矩阵U∈R35×35,V∈R37×37和广义对角矩阵Σ∈R35×37,使得F=UΣVT,其中Σ=Σr00 0,Σr=diag(λ1,λ2,…,λr),λ1≥λ2≥…≥λr>0,r是矩阵F的秩,λ1,
λ2,…,λr是矩阵F的非零奇异值。矩阵F的奇异值分解F=UΣVT也可表示为
式中:ui,vi分别是U,V的第i列,且u1,u2,…,u35是矩阵F列向量空间的一组正交基,根据影响函数的物理意义可知,u1,u2,…,u35可看作是一组正交的像差模式,且每一模式都是7阶35项Zernike模式的线性组合。正交的像差模式可以分为两类,一类是变形镜可校正的像差模式,即非零奇异值对应的正交像差模式u1, u2,…,ur,它们构成了变形镜可校正的像差模式空间,等价于标准正交基u1,u2,…,ur张成的子空间span(u1,u2,…,ur)。另一是变形镜不可校正的模式,即零奇异值对应的正交像差模式ur+1,ur+2,…,u35,变形镜对这些模式没有校正能力。
考虑到变形镜电极变化范围有限,则变形镜对可校正模式空间标准正交基u1,u2,…,ur的校正能力和拟合范围是不同的。在影响函数矩阵F的奇异值分解中,每一个非零奇异值λi都和像差空间的基模式ui、电压信号空间的vi相对应。λi的大小表征了变形镜对基模式ui的校正特性,校正基模式ui需要的变形镜电压信号为vi/λi,即奇异值λi越小,变形镜校正基模式ui需要的电压信号vi/λi越大。因此,随着模式数i的增加,变形镜对基模式ui的校正能力和拟合范围都下降。
变形镜校正性能和控制算法验证系统如图1所示,波长为785 nm的信标光源同时作为校正时的畸变波前光源。验证变形镜的校正性能时,用平面镜代替人眼。系统工作时,首先利用波前探测器检测输出的光束,精确校准准直系统和孔径匹配系统,使系统的波前接近平面波,然后利用最速下降算法控制变形镜,对可校正模式空间正交基u1,u2,…,ur进行拟合,用拟合残差的大小表征变形镜对对应基模式的校正能力。图2是拟合均方根值为0.5个波长的基模式ui时,残余像差均方根值的对比图,图3是变形镜能够拟合的基模式ui的最大均方根值的对比图。通过图2和图3可以看出变形镜对正交基模式校正性能的差异,根据性能差异可优化变形镜的控制算法。
2 基于低秩近似的闭环控制算法
考虑到校正较小奇异值对应的基模式不仅存在较大的校正残差,而且需要较大的电压信号,会使大量的电压信号超过允许范围[-sallow,sallow],这增大了每次迭代后的残差。另外,奇异值越小,对应的基模式对噪声越敏感。设计算法时,采用对影响函数矩阵寻找低秩近似的方法,滤除以上基模式像差,可提高变形镜的校正性能。在式(1)中只选取前k(k≤r)项求和,并令其为Fk,作为矩阵F的低秩近似,即
显然,Fk的秩为k,且Fk的广义逆Fk+可表示为
设入射畸变波前的Zernike模式系数为C=[c1,c2,…,c35]T,校正此波前需要施加的控制信号为S=[s1,s2,…,s37]T,则根据相位共轭原理,有
考虑到影响函数矩阵F测量时存在误差,同时为消除校正性能较差的基模式的影响,用Fk代替F,求解式(4)得
采用闭环校正的方法可降低误差即
i=1
式(6)就是MMDM闭环控制算法的模型,实数μ∈[0,1]为校正步长,每次计算得到的电压信号Sm+1都要校准到信号允许范围[-sallow,sallow]内,对于超出允许范围的信号用最大或者最小允许值代替。参数μ的选取与算法的稳定性和快速性有很大关系,μ取较大值,可减少算法迭代的次数,但收敛性不好,μ取较小值,可增加算法的稳定性,但迭代次数会变大,不能满足实时校正像差的需要。在实际应用中,μ取值一般应综合考虑系统速度和稳定性,通过实验获取。
参数k值确定后,相当于利用影响函数矩阵F的低秩近似,滤除了模式uk+1,uk+2,…,u35的影响,此时,矩阵Fk对F的近似程度Δ(F,Fk)可以通过范数度量
式中:‖·‖F表示Frobenius范数。理论上,参数k可以通过近似矩阵与原矩阵的范数比确定,即要求
式中:α是接近1的阈值。在实际应用中,参数k的选取应综合考虑待校正像差的基模式分布、变形镜对基模式的校正能力以及校正精度的要求,具体值可通过实验获得。
3 人眼像差校正实验与讨论
结合MMDM的实际应用,采用人眼出射畸变波前为被校正像差,以验证算法的效果。在变形镜工作之前,用哈特曼-夏克波前探测器测量人眼的波前像差,分析组成特点。图4所示为ZHY(年龄26岁,女性,瞳孔大小为6.0 mm,屈光度+1.00D)人眼像差的正交基模式系数绝对值的分布图,由图4可以看出人眼像差的组成特点,即随着模式数i的增加,基模式像差的均方根值(等于系数的绝对值)呈下降趋势。图5是完全校正前i项正交基像差后剩余项的均方根值统计图,由图5可知,完全校正前22项低阶基像差,人眼像差即可达到衍射极限(0.071 3λ)。
图6是利用式(6)模型校正ZHY人眼像差,μ取0.5,当选择不同的k值时,在闭环校正30次过程中,最低均方根值随k的变化情况。由图6可以看出,当k取不同的值时,变形镜对同一人眼像差的校正结果有明显差异,其中k取19~27时,效果比较理想,这说明算法设计中采用滤除部分模式的方法确实提高了变形镜的校正性能。图7是k取25,μ取0.5时,人眼像差闭环校正30次过程中均方根值的变化情况,从图7可以看出,经过5次迭代,的均方根值就下降到0.1λ左右,接近衍射极限,校正时间为2 s,校正频率是15 Hz。图8,图9分别是在像差校正前(均方根值为0.569λ)、后(均方根值为0.086λ)控制成像CCD拍摄的ZHY人眼视网图像,可以发现,经过变形镜对像差的校正作用,视网膜图像清晰度显著提高。
在人眼像差测量校正过程中,每次对残差的准确测量是保证闭环校正稳定运行的关键。如果校正时间太长,人眼难免会出现眨眼、晃动等不自主调节情况,此时对残差的错误测量必然导致电压信号计算不准确,校正后像差的均方根值会出现意想不到的较大波动。为此,在校正算法中增加一个控制环节,校正开始时,记录未校正的人眼初始像差的均方根值r0,作为后面校正比较的标准,同时记录校正过程中残差均方根值最小时对应的电极信号Smin,预设一个残差容限T,在第m+1次校正时,如果r0-rm≤T,视为像差测量不准确,令Sm+1=Smin;否则,Sm+1用式(6)计算。实验证明,设置残差容限的方法,可消除由于人眼眨眼、晃动等导致电压信号计算严重偏离最优解的情况发生。
综上所述,根据变形镜的校正特性和待校正像差的模式分布特点,实现对像差模式的有选择校正,是式(6)模型控制变形镜进行像差校正的思路。实验结果表明,人眼像差的组成具有明显的特点,低阶基模式像差占比例较多,高阶模式占比例较少。使用微机械薄膜变形镜对其进行校正时,通过控制算法滤除部分难以校正的高阶基模式的影响,让变形镜有限的校正能力应用到更多的低阶模式像差的校正上去,这不仅能提高校正的速度和精度,而且还有利于光学系统的稳定。
4 结 论
本文研究了一种基于微机械薄膜变形镜影响函数,构造可校正像差模式空间和分析变形镜校正性能的方法,提出了一种通过影响函数的低秩近似实现对待校正像差进行模式筛选的闭环校正算法,并用人眼像差校正实验,验证了不同校正项数对校正效果的影响和变形镜控制算法的有效性。对变形镜校正性能的研究方法和对变形镜控制算法的优化思路,虽然都是在37通道微机械薄膜变形镜上分析和得到的,但是其应用范围可以拓展到更多通道甚至是其它类型的变形镜上去。另外,变形镜的控制方法仅须知道变形镜的影响函数即可,而且响函数可以在自适应光学系统校准结束后在线测量,因此具有简洁和方便的特点。本文的研究能使低成本、个体积的微机械薄膜变形镜高效的发挥作用,提高了自适应光学系统的性价比。
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本文作者：李邦明, 沈建新, 廖文和, 张运海
