摘 要：介绍一种用于全景成像系统的单个复杂非球面前置元件，从几何光学的基本原理出发，给出了这种非球面的高斯分析和不同情况下的面形方程，利用正交拟合算法得到了便于实现光路计算的多项式表述，并成功地运用于光线追迹和像差计算。
引 言
全景成像系统是一种超半球成像系统，在经济、科技、军事、商业等各领域都具有广泛的应用，这种系统成像信息量大，特别适合用于各类监视器中。从光学上来说，该种成像系统可以分为两大类，即折射式系统和反射式系统。前者一般利用超广角物镜(鱼眼镜头)实现，视场角可达到 200°左右。这类系统结构相当复杂，其中不少应用了 10 片以上的透镜和高质量特殊光学材料，设计难度大，加工、装配要求高，目前这方面的技术已比较成熟，视场再想增大已相当困难，并且不可避免地会存在很大的畸变。后者采用非球面作为前置反射元件以达到全景成像的目的，经过精心设计，可以使它的成像范围大大超过折射式系统，易于构成 fθ系统[1]。随着复杂非球面加工技术的日趋成熟，这种系统以其更大的成像范围、相对简单的结构、低得多的光能损失和更优越的性能价格比吸引了人们的关注。本文首先以单个非球面作为前置元件实现全景成像为目的，从几何光学的基本原理出发，根据所要求的成像角放大率，给出了这种非球面的高斯分析和不同角放大率下的一般面形方程。为便于实现光路计算，本文还利用正交拟合算法得到了这种面形方程的多项式表述，并成功地运用于光线追迹和像差计算。误差分析表明，这种多项式表述可以看成是上述面形方程的准确近似。
1 单个反射曲面的高斯分析与一般面形方程
可以设想以单个反射曲面作为前置元件实现 200°以上的全景成像要求，其基本思想是：以单个反射曲面实现一定的角放大率，从而将与光轴夹角很大的入射光线反射成为与光轴夹角较小的光线，经后继光学系统按常规成像方式成像。如图1 所示，设入射光线与光轴的夹角为 u，经该曲面反射后的光线与光轴夹角为u′，则
式中a 为积分常数，其值为当u′=0 时(即顶点处)的 角，可根据情况取不同的数值。为便于积分，可将(5)式化为 ctg( ku '+ a)du'=drr, 两边积分得[ ]ln sin(ku '+ a)/k=lnr+lnb=ln(br),将(4)式中的 k 代入得
式中b 为积分常数，它的值与a 有关。设顶点处曲面与光轴垂直，则有0b = 1 z,其中0z 为顶点到后继光学系统节点的距离。这样，我们就可以根据不同的角放大率要求和顶点处的曲面形状由(6)式解出其面形方程。这就是以单个反射曲面作为前置元件实现全景成像的理想光学系统模型。
2 单个反射曲面的面形特例
对(6)式，取不同的顶点面形和角放大率，易于得到相应的面形方程。对于旋转对称的面形，可以用它的子午截线绕光轴转一圈得到。下面列出几种a和γ时的子午截线方程
3 非球面的多项式表述和精度分析
上述非球面方程可以准确地描述所需要的非球面，但在应用通用的光路计算程序进行设计时，必须给出如下所示的非球面方程
式中012a , a,a等为各项系数，r 即为子午截线方程中的 y，c 为顶点处的曲率，e 为二次曲面的离心率。从以上两式可以看出，第一式的右边只取第一项时，是一个二次曲面，因此该式是以二次曲面基底加小变形的方法来描述非球面的。从特例中的面形方程可以看出，只有极个别的是二次曲面，而越是高次面形，用方程(7)来描述就越不准确;如果在顶点处曲面与光轴不垂直，就更无法将其写成方程(7)的形式。而方程(8)则可以描述这类非球面，因此作者采用方程(8)对以上特例进行多项式曲面拟合。利用参考文献[3]给出的方法，作者编制了正交多项式曲面拟合程序，对以上各种曲面给出了形如方程(2)的形式。表1 给出了当 1000z =且 a =e2时部分曲面的8 次拟合方程的各项系数。为了检验拟合多项式的正确性，作者对表1 中给出的方程进行精度分析，结果如表2 所示。
4 非球面在全景成像系统中的使用方法与计算实例
根据以上分析，该种非球面作为反射元件具有数倍的角放大率，如果把它放在普通的摄影摄像系统之前，可以将普通摄像机的物方视场放大，从而实现全景成像。由于普通摄像系统是经过精心设计的光学系统，其像差已经得到了良好的校正，而非球面前置元件是一种反射元件，它不会引进新的色差，只会引进单色像差。我们可以以理想光学系统表示普通摄影摄像系统，通过计算来分析该非球面本身带来的像质问题。图2 是对表1 中第一种曲面作光路计算结果。由图中可见，以该类曲面作为前置元件具有相当大成像范围，如果 a ≠e2，还将得到更大的成像范围，从而满足全景成像的要求。由图可见，该元件引进的单色像差以像面弯曲为主。本例中非球面是一个顶点半径为 60mm，离心率为2 的双曲面，物方半视场为100°，后接焦距为 50mm 的摄像系统，像面半径为 35mm，半视场为 5°时像面上弥散斑半径的均方根值为 1.4μm，0.7 视场弥散斑半径的均方根值为16.8μm。
结 束 语
综上所述，本文通过高斯分析，说明文中提到的非球面在全景成像领域具有较大的应用价值，而设计上的难点在于怎样将其表述为通常的光学设计软件能够接受的形式。作者利用多项式拟合的方法成功地将其表示成为常用的形式，精度分析表明这种拟合方法是完全可行的，具有足够高的精度。实例计算表明，将这种多项式输入到一般光学设计商业软件中进行光线追迹和像差计算，结果是可靠的。
参考文献:
[1] Chahl J S, SriNIvasan M V. Reflective surfaces for panoramic imaging[J].Applied Optics,1997,36(31):8275-8285.
[2] 李晓彤.几何光学和光学设计[M]. 杭州:浙江大学出版社,1997.
[3] 易大义，蒋叔豪，李有法.数值方法[M].杭州:浙江科学技术出版社,1984.
作者简介：李晓彤 (1962-)，女(汉族)，江苏连云港人，副教授，博士，主要从事光学系统设计与软件开发。
