摘 要:由于设计、建造以及测量等诸多不确定因素的影响,通常的有限元力学分析模型只是原型结构的一种均值近似,采用随机结构模型是更为合理的。本文应用随机矩阵模拟不确定线性动力系统有限元模型中质量阵、阻尼阵和刚度阵的随机不确定性,并进一步建立此类非参数概率系统在平稳随机外载作用下动力响应的虚拟激励高效求解算法。数值结果表明,均值有限元模型和随机矩阵模型的动力响应具有很大的差异。对于精细制造,模型的随机性是不能忽略的,本文提出的算法为此类问题求解提供了一条有效途径。
1 引言
实际工程结构不可能实现绝对精确的建造,对于建成的结构也不可能实现完美无缺的观测。因此,通常采用的有限元力学分析模型作为一种均值确定性模型只是原型结构的一种近似。为提高结构响应预测的可靠性,采用随机结构模型是更为合理的[1-4]。由于问题的求解难度,以往进行的研究大多只集中在某一个层面,如模型确定、激励作为随机过程或者模型存在不确定、激励为确定性过程。如何综合上述两种随机因素来建立更接近于真实结构动力行为本质的力学模型,并提出有效的分析理论和数值方法具有更为现实的意义。处理好此类问题在未来的结构设计方法论中也将变得越来越重要[5]。一般来讲,实际结构模型的不确定性来源于两种基本类型:数据不确定性和模型不确定性[6-12]。其中,数据不确定性主要表现为结构某些特性参数的不确定性,如结构几何尺寸、弹性模量和材料密度等等。数据不确定性可以采用参数概率模型进行描述。随机有限元和其他一些理论、数值方法构成了处理这一类问题的有效手段[11-12]。对于另外一种不确定性———模型不确定性,主要是由于复杂结构系统在力学分析模型化过程中,一些细节未知或不精确地已知,从而不可避免地引入一些近似和简化处理。由于这种不确定性是非参数的,故采用参数不确定性模型并不合适,而随机矩阵理论为此类不确定性描述提供了可靠的数学基础。文献[6-10]应用随机矩阵理论进行模型不确定性的非参数概率描述,研究了结构受确定性荷载作用下的动力响应性态,取得了一系列有意义的研究成果。很多情况下结构处于复杂的工作环境,其所受载荷具有明显随机性(如地震、燃气喷射等),本文在已有文献研究工作的基础上,考虑非参数随机结构受随机外载的情形,首先应用随机矩阵理论模拟不确定线性动力系统有限元模型中质量阵、阻尼阵和刚度阵的随机不确定性,进一步采用虚拟激励法求解此类非参数概率系统在平稳随机外载作用下动力响应。本文的研究工作为随机结构受随机荷载的动力计算提供了一条新的有效途径,为进行大型复杂实际工程结构双随机动力问题分析打下良好基础。
2 不确定动力系统的随机矩阵模型及平稳随机响应
2·1 随机矩阵的概率统计特性[6-9]
对于式(19)和式(20)高维积分的计算,普遍方法是Monte Carlo方法[14]。尽管Monte Carlo方法一般计算量很大,然而随着数字计算机发展水平的不断革新,这种不利情形已获得极大改观。多CPU内核、并行计算和网络计算等高性能计算技术的应用,使Monte Carlo方法在实际工程领域中取得了愈来愈令人瞩目的重要位置[15]。特别是,在本文随机振动分析中采用了高效、精确的虚拟激励算法,对于Monte Carlo方法的高效进行更具极大优势。为进行非参数概率系统随机荷载作用下系统动力响应的Monte Carlo数值计算,需生成概率密度满足式(5)的随机矩阵的样本矩阵。对一般随机矩阵[A]进行讨论,假设式(5)中参数λA为正整数,引入参数mA,即
式中{u}j(j=1,…,mA)是相互独立的随机向量,而各向量中的每一元素均为标准高斯随机变量(零均值和单位方差)。对于随机质量[M]、随机阻尼阵[C]和随机刚度阵[K]执行式(22)和式(23)过程生成相应的样本矩阵,进一步应用Monte Carlo方法实现非参数概率系统随机响应功率谱和方差的数值计算。
3 算 例
如图1所示为25杆空间桁架,杆件各性质参数分别为:弹性模量,横截面积,结构非支座节点分别附加质量20 kg。考虑系统受平行于y轴的平稳随机水平地面加速度作用,分析两种荷载工况:(1)地面激励加速度功率谱为白谱,强度为（2)地面激励加度功率谱为过滤白谱,表示为
分析均值模型和非参数概率模型在上述平稳随机地面加速度激励下功率谱密度和方差响应,频率范围为ω∈[0,800]s-1,频点间隔为0·2。对于均值模型,运动方程为(13),直接应用虚拟激励法进行随机振动分析;对于非参数概率模型,运动方程为(12),考虑偏差参数δM=δC=δK=0·02和δM=δC=δK=0·2两种情况,应用虚拟激励法结合Monte Carlo法进行结构动力响应计算,分析时结构各阶振型阻尼比均取为0·02。
随机矩阵样本数选取的考虑。分别计算50,150,250,500,750和1000个随机矩阵样本,并做统计平均。经比较250个样本的统计结果已能够满足要求。对于进一步的模型分析比较,采用500个样本,此时计算时间分别为2230 s(偏差为0·02)和930 s(偏差为0·2)。以上计算均在主频为3·0 GHz的PC机上完成。
空间桁架节点1的y方向位移响应功率谱计算结果分别如图2和图3所示。其中,图2为白谱激励下不同计算模型功率谱响应比较;图3为过滤白谱激励下不同计算模型功率谱响应比较。从图2和图3中可以看到对于较小偏差控制(偏差为0·02)时非参数概率模型动力响应计算结果同均值模型动力响应计算结果基本一致,但是对于较大的偏差
表1列出了均值模型和非参数概率模型动力响应方差比较。与上面的分析有相似的结论,对于较小的偏差控制(偏差为0·02),白谱激励时非参数概率模型方差响应相对均值模型误差为0·595%,过滤白谱激励时误差为0·041%,误差之小基本可以忽略不计。对于较大的偏差控制(偏差为0·2),白谱激励时非参数概率模型方差响应相对均值模型误差为14·265%,过滤白谱激励时误差为10·091%。
4 结 论
对于不确定非参数概率模型受平稳随机激励的动力响应进行了理论分析,提出了有效的求解算法。利用均值信息生成结构动力有限元模型中的随机质量阵、阻尼阵和刚度阵,应用随机振动高效、精确的虚拟激励方法进行非参数概率模型动力响应的数值计算。本文的研究工作为非参数随机结构在随机荷载作用下的响应分析提供了一条新的有效手段,为进行大型复杂实际工程结构,如桥梁、飞行器等的随机可靠性分析打下良好基础。
