摘要：为了减少 X 射线对人体的伤害，局部图像重建成为人们研究的重点之一。本文研究了基于一种特殊窗函数的局部图像重建算法。通常，直接用局部区域的投影数据重建局部图像，会使重建图像产生常数偏移，我们将局部区域边缘的投影数据延拓为相应沿径向未知投影数据的方法，改进了局部重建图像，并给出了基于特殊窗函数重建时，该方法的误差分析。另外，本文将该算法应用于扇形束图像重建，并通过数值实验验证了此特殊窗函数应用于扇形束重建时同样有效。
在医学应用中，为了减少 X 射线对人体的损害，人们考虑局部感兴趣区域(Region ofInterest，ROI)的图像重建。局部重建是使用 ROI 内的投影数据或增加少量 ROI 外的投影数据，重建 ROI 的图像。2004 年，范惠荣等构造出了一种用于整体和局部图像重建的特殊窗函数[1-2]。基于 Radon 变换的小波反演公式[3]，我们得到了图像重建的卷积反投影算法，并验证了特殊选取的小波[3]可用于整体和局部图像重建。上述两种重建方法和本文中使用的方法是近似的。
最近人们发展了精确局部重建算法。2004 年，Zou 和 Pan 建立了扇形束和锥形束反投影滤波公式[4]，该公式对特殊的局部区域有精确重建;Noo 等基于滤波反投影算法的思想，用经典的有限 Hilbert 反演公式导出了相应的局部重建算法[5];张慧滔等将这些算法应用于工业 CT[6]。这两种算法都依赖于特殊的局部重建区域。Ye[7-8]和 Yu 等[9]，指出已知待重建区域中部分子区域的投影信息时，在锥形束扫描情况下可得到精确的重建图像，Yu 等给出了上述算法的稳定格式重建算法。
通常，只用局部区域内(或局部区域加部分局部区域外)的投影数据进行相应区域图像的重建，会使得到的重建图像产生常数偏移[10]。根据已知的局部区域投影沿径向作常数延拓[11]，可以部分地减少局部重建图像的常数偏移，我们将这个方法用于文献[1]中的算法，给出了局部重建的误差分析，并用于相应的扇形束图像重建。数值实验表明，这个特殊窗函数在扇形束重建中也同样能够得到很好的重建效果。
实验结果显示，借助窗的特性，特殊窗在扇形束扫描方式中，也能实现局部重建，并且可以清楚地重建局部区域的基本特性。由重建图像和表 1 的数据不难得出，局部重建时，经边界端点延拓后得到的重建图像效果比直接由投影数据重建的图像效果好。常数偏移使直接重建的局部图像明显发白。表 2 的数值表明，对重建物体的指定区域进行局部重建时，k 值越大误差越小，即使用的局部区域外投影数据越多，局部重建图像效果越好。
7 结论
我们把特殊窗函数应用到扇形束投影数据的情况中，利用扇形束的滤波反投影算法实现了基于该窗的全局和局部重建图像。数值模拟结果显示，此特殊窗函数在扇形束重建中也可以得到很好的效果。
参考文献
[1] 范惠荣, 徐茂林, 邱钧, 等. 关于 CBP 算法的一种新型滤波函数和它的性质[J]. 电子学报, 2004,32(2): 232-235.Fan HR, Xu ML, Qiu J, et al. A new filter function in CBP and its properties[J]. ACTAElectroNIca Sinica, 2004, 32(2): 232-235.
[2] 徐茂林, 邱钧, 范惠荣, 等. 用一种新滤波函数进行 CT 图像的局部重建[J]. CT 理论与应用研究,2004, 13(1): 54-58.Xu ML, Qiu J, Fan HR, et al. Local tomography with a new filter[J]. CT Theory and Applications,2004, 13(1): 54-58.
[3] Qu GR. Wavelet inversion of the k-plane transform and its application[J]. Appl Comput,Harmon. Anal. 2006, 21: 262-267.
[4] Zou Y, Pan X. Exact image reconstruction on PI-lines from minimum data in helical cone-beam CT[J]. Phys Med Bio, 2004, 49: 941-959.
[5] Noo F, Clackdoyle R, PACk J. A two-step Hilbert transform method for 2D imagereconstruction[J]. Phys Med Bio, 2004, 49: 3903-3923.
[6] 张慧滔, 陈明, 张朋. 一种新的针对感兴趣区域的 CT 扫描模式及其重建公式[J]. 自然科学进展,2007, 17(11): 1589-1594.Zhang HT, Chen M, Zhang P. A new CT scanning mode and reconstruction algorithm for ROIimaging[J]. Progress in Natural Science, 2007, 17(11): 1589-1594.
[7] Ye Y, Zhao S, Yu H, et al. Exact reconstruction for cone-beam scanning along nonstandardspirals and other curves[J]. Proc SPIE, 2004, 5535: 293-300.
[8] Ye Y, Zhao S, Yu H, et al. A general exact reconstruction for cone-beam CT via beackproject-filtration[J]. IEEE Trans Med Imaging, 2005, 24: 1190-1198.3 期 宋沛然等：基于特殊窗函数的局部 CT 图像重建算法及其分析 9
[9] Yu H, Ye Y, Wang G. Katsevich-type algorithms for variable radius spiral cone-beam CT[J].Proc SPIE, 2004, 5535: 550-557.
[10] Natterer F. The mathematics of computerized tomography[M]. Wiley, New York, 1986.
[11] Rashid-Farrokhi F, Liu KJR, Berenstein CA, et al. Wavelet-based multiresolution localtomography[J]. IEEE Trans Image Process, 1997, 6: 1412-1430.
[12] Herman GT. Image reconstruction from projections-the fundamentals of computerizedtomography[M]. Academic Press, 1980.Local Reconstruction Algorithm Based onthe Special Filter and Its AnalysisSONG Pei-ran, QU Gang-rong(School of Science, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)Abstract: In order to reduce the harm of X-ray on human body, local reconstruction is becoming one of theimportant studies in image reconstruction. The local reconstruction algorithm based on the special filter is studied.Reconstructing the local image by using the projection data through the region of interest (ROI), generates theunknown constant bias in the reconstructed image in general. By making continuation along the radial direction,the unknown projections are derived from the projections in the ROI. And by reconstructing from the modifiedprojection, the local reconstructed image is improved. The error analysis of this method based on the special filteris derived and this algorithm is implemented in fan beam reconstruction. According to the numerical experiment,the conclusion is obtained that this algorithm is also available to fan beam reconstruction problem.Key words: local reconstruction; error analysis; fan beam; special filter
作者简介：宋沛然(1986-)，女，北京交通大学理学院计算数学专业硕士研究生，E-mail：08122119@bjtu.edu.cn;渠刚荣 (1961-)，男，北京交通大学理学院，副教授，硕士生导师
