摘要：根据平行束和扇束 CT 中的主要重建机制与原理，阐述了两种算法在计算机上的实现方法和特点。传统扇束 CT 通常采用的是基于一周 360°的全扫描方式，为了加快扫描速度，提高重建效率，在分析了扇束和平行束在几何上的关联性后，介绍一种不完全角度的扫描方式——短扫描，以及应用于该种扫描方式下的数据重排技术，并完成了算法的实现。通过实验结果我们发现改进后的算法在速度上得到显著提高。
在二维 CT 系统中存在平行扫描和扇束扫描两种扫描模式，而基于平行光投影的重建算法最为简单，运算量最小，但是扫描时间长，仅在第一代 CT 中得到应用。然而基于平行投影的重建算法却是之后的扇束及锥束三维重建算法的基础，它们的核心算法都是滤波反投影(Filtered Backprojection，FBP)，该算法由于其易于理解、便于实现、重建效果好，
在目前 CT 中广泛使用。本文首先分别介绍二维 CT 中这两种不同扫描方式下的重建算法原理，然后分别给出实现方法。在实现过程中，可以看出平行方式的反投影重建比扇束方式的反投影重建要简洁得多，随后从中找到二者投影地址在几何上的联系，设法将扇束投影数据进行重排，获得模拟的平行投影数据。在重排过程中，发现存在大量的冗余数据，由此可以采用一种短扫描方式获取投影，这样不仅扫描时间缩短，重建速度也大大提高。
1 平行投影重建算法
在理想情况下，投影是物体的某种参数沿着透过物体直线的积分[1]。将被测物体表示成二维函数 f(x,y)，通过该物体的一条射线 AB 的直线方程是： t = x cos θ + ysinθ，见图 1，其中 t 是原点到射线的垂直距离，θ是垂线与 x 轴的夹角，通常认为是射线的角度参数，(t,θ)可以唯一确定一条射线。沿着 AB 的线积分为：
这就是成像的理论依据 Radon 变换。t-s 分别是 x-y 轴旋转角度θ后的新坐标。它们具有如下变换关系:
当一条射线透过物体时，P(t,θ)即是在θ角度下的投影值。一个投影由角度相同的一组投影值组成，在产生平行束投影的过程中，射线源与检测器沿着被测物体长度方向进行直线型运动，然后以一定间隔角度旋转直到一周 360°，一个截面扫描完毕后射线源与检测器移动到下一个截面再进行同样的扫描，直到将所有截面扫描完毕[2]。
点发射源 S 可以发射扇形射线束，而物体的另一端有一组探测器来同时收集数据。射线源和一组探测器共同旋转产生所需要的扇形投影数据。探测器小条排列成弧形，则各个单元的角度采样间隔是相等的，形成等角度抽样扇形投影;排列成直线，则在直线上的采样间隔距离是相等的，形成等距离抽样扇形投影，二者的几何表达有所不同，但是基于平行投影的算法推导过程是一样的，以下仅介绍等角度抽样的扇形重建算法[1]。
我们将 Rβ(γ)表示扇形束的投影，β 是光源的旋转角度，γ是其中的射线与扇束中线的偏转角，(β,γ)可唯一确定射线的位置。
从图中可以看出当将扇束中的任意一条射线 SA 看作位于平行束中时，射线 SA 又有了一对新的位置参数(θ,t)，(β,γ)和(θ,t)具备如下关系：
3 重排算法
从表 1 可看出扇束重建的内层循环中的预加权和 L 的计算非常耗时，计算量明显大于平行重建算法。而如果利用射线在平行束中和在扇形束中的位置关系将扇形束的投影数据重新排列，使其等价于平行光产生的投影数据[3]，即使以下关系成立：R ( ) P ( Dsin )β β γγ γ+= ，然后再利用平行反投影算法进行重建，将会大大加快重建速度[4]。
基于这种数据重排思想，在重建之前先进行投影位置的调整，具体实现如下：
1)for β=0:2π
这样扫描矩阵的大小由(2γmax×360)变为(2γmax×(360 + 2γmax))，而由平行束扫描的几何对称性可知，只要获得 θ∈[0,π]内的投影就可完全重建图像。根据 θ=γ+ β 可知相应的扇束扫描角度应满足 β∈[-γmax, π +γmax]，只要保证扫描角度为 π+2γmax就可获得重建所需的完整数据。因此按照圆周扫描投影后所重排的矩阵存在大量冗余数据，为了减少扫描时间，降低内存占用空间，我们只要保证扫描角度达到 π+2γmax就可以完整重建图像。此时的投影矩阵大小仅为(2γmax× (180 + 2γmax))。这种不完全扫描方式相对于 β∈[0,2π]的全扫描，称为短扫描。图 3 为短扫描时测得的数据所在范围，上方为扇束投影的正弦图，下方为平行束投影正弦图，深灰色部分代表冗余数据[5]。
可以看出在短扫描的开始和结束阶段所获得的部分投影数据为冗余数据，且冗余量随着γmax的加大而增加。在我们将数据平行重排后，只需在扫描间隔[0,π]之间采用平行束中的方法进行反投影就行了。
4 实验结果
在 Pentium IV-2.8G，1G 内存的 PC 机上分别采用扇束 360°全扫描、200°短扫描条件下的投影数据重建 Shepp-Logan 头模，最大扇角γmax= 20°，实验结果见图 4 和表 2。
短扫描的投影数据量是全扫描的 60%，而在反投影时只利用了 50%，因此在缩短扫描3 期 马晨欣等：扇束 CT 中短扫描方式下数据重排技术的研究与实现 21时间、降低内存使用空间的同时，滤波操作和反投影次数都减少了一半，结果显示重建一副大小相当的图像，优化后的重建时间减少了 60%。因此扇形束投影的平行重排技术对于加速重建，降低内存占有的效果是非常明显的，而且这种思想对于三维 CT 的快速重建也具有重要的指导意义。
参考文献
[1] Kak A C, Slaney M. Principles of computerized tomographic imaging[M]. New York: IEEE PRESS,1988: 49-93.
[2] 庄天戈. CT 原理与算法[M]. 上海: 上海交通大学出版社, 1992: 2-3.
[3] Zeng G L, Gullberg G T. Short-scan fan beam algorithm for non-circular detector orbits[C]//SPIE Medical Imaging V: Image Processing, TechNIcal Conference. USA, 1991, 1445: 332-340.
[4] Henrik T. Cone-beam reconstruction using filtered backprojection[M]. Link ping Studies inScience and Technology Dissertation No. 672, 2001: 19-21.
[5] Naparstek A. Short-scan fan-beam algorithms for CT. IEEE Trans Nucl Sci, 1980, NS-27.
作者简介：马晨欣(1972-)，女(满)，北京人，1993 年获解放军信息工程学院学士学位，现在本校任教，并在读博士研究生，研究方向为 CT 成像算法及工程应用等，Tel：13613859540，E-mail：plahjj@sohu.com。
