摘要：新的图像重建算法一直是 CT 成像前沿研究中的热点问题之一，而实际中常常遇到的有限角度重建问题则是其中的难点。Terence Tao 和他的同事提出了一种稀疏信号恢复理论，为解决这个问题提出了可能的应用策略。我们在本文中介绍了这个理论并给出了在锥束 CT 重建中应用的初步结果。这种理论和策略的实现对很多应用情况都有重要的意义，为该领域的发展开辟了新的方向，也必将对该领域的发展产生重大影响。CT(Computed Tomography)自 20 世纪 70 年代发明以来，被广泛应用于医学诊断、工业无损检测和安全检查领域[1]。作为其关键技术之一的重建算法也在不断发展，推动着 CT设备的更新换代，但是，迄今为止，CT 图像重建仍然是有条件的。1917 年，奥地利数学家Radon 证明了二维或三维物体可以通过 Radon 数据的无限集合唯一重建出来，这成为 CT 重建算法的基础。后续研究表明，投影数据不满足 Tuy-Smith 数据完备性条件[2-3]时，CT 成像不能精确重建断层图像。然而，实际应用中由于考虑到剂量和对比度的因素，可能只扫描部分数据，如医用 CT 扫描病人;或者受条件限制不能完整扫描物体，如工业 CT 扫描大型飞机等不规则物体的情况，这些都属于不完全数据成像[4-6]。而在不完全数据成像中，大部分都涉及到有限角度图像重建问题。
对于有限角度重建算法的研究，不仅是对重建算法应用于实际的一种推动，也会对进一步减少精确重建的数据量有一定的启示作用。目前重建算法大体分为解析型算法和迭代型算法两大类，迭代型算法以 ART(Algebraic Reconstruction TechNIque)算法[7]为代表，三维解析型算法中的近似重建算法以 FDK(Feldkamp, Davis and Kress)[8]为代表，精确重建算法以 PI-线算法系列[9-14]为代表。
在有限角度重建问题中，投影数据很难满足解析型重建算法所需要的数据完整性条件。文献[15]描述了一种近似算法，在有限角度范围内能够稠密采样的情况下，可以重建感兴趣区的图像，而且伪影相对较少。除此之外，大多数情况下通常使用迭代型算法进行重建。有限角度问题的具体重建算法很多，大致也可分为两类：基于变换的迭代-解析重建算法和基于级数展开的迭代-代数/统计重建算法[16-17]。然而，实际应用中，大多使用 ART 方法及改进的代数/统计迭代算法[18-26]，这些方法占用存储空间远大于解析型算法，运算时间也与解析算法存在量级上的差异。也可以说，对于具体的有限角度数据重建问题，至今还没有一个实用的方法，能够在速度和重建质量方面都达到较高的要求[27]。
Terence Tao(陶哲轩)，2006 年菲尔兹奖获得者之一，在调和分析、数论、组合等多个数学分支中都获得了丰硕的研究成果。陶哲轩在从事数学理论研究工作的同时也注意将数学理论与实际问题相结合，他与合作者于 2004 年共同提出的稀疏信号重建理论，在图像重建、解码、误差估计等诸多问题中都有很重要的指导意义，并引起国际上图像重建领域重视，开始进行跟进研究[28-29]。
1 稀疏信号恢复理论与图像重建策略
1.1 稀疏信号恢复理论
2004 年，Terence Tao 等提出了一种稀疏信号恢复的全新理论，在文献[30]中详细阐述了这一理论并给出了严格的证明。这个理论的主要结论为：对一个稀疏的离散信号，只需知道这个信号的部分频域取值，就能以高概率精确恢复这一信号。具体的恢复方式是通过求解一个凸规划实现的，该规划的目标函数为此信号的 l1范数最小，约束条件由已知的频域取值得到。具体形式表示为：
这一理论提出后，Tao 等又对它进行了发展[31-34]，给出了更一般的结论：可以通过求解凸规划从少量的线性测量中重建稀疏信号。有了这样的发展之后，使得这一理论更有利于在各种稀疏信号恢复中应用。对于有限角度的重建问题，只需要知道一定数量的线性测量值，就可以进行精确重建。由于投影过程经过离散化取对数之后就是一个线性求和过程，可以认为有了一定数量的投影数据就可以进行精确重建。
1.2 图像重建中的应用
通常情况下，对于实际的图像函数，往往并不是稀疏的，然而，在一定区域范围内，相邻像素的取值有可能相同或者在统计误差范围内相同，也就是说图像函数沿某个方向(通常是横向或纵向)的一阶差分可能是非常稀疏的。Tao 等[30]指出对于图像函数，使用如下目标函数求解凸规划：
上述目标函数(2)式，通常被称为 TV(Total Variation)，在图像处理中应用很广，在图像重建中也有很多应用[35-39]。而 Tao 等利用稀疏重建理论，从理论上说明了以 TV 最小为目标进行重建的有效性。同时，Tao 等利用这一目标进行有限角度数据的精确重建，由图2 的重建结果可以看出重建效果非常理想。因此这一思路是非常值得借鉴的。2005 年，Tao的合作者 Candes 等利用小波变换和 TV 最小处理少量投影角度下的数据，得到了很好的结果[40]。随后又有一系列初步研究利用 TV 最小求 X 射线变换的逆[41-45]。
传统的 Fourier 变换重建方法[46-47]，就是通过足够多的投影数据结合插值方法，得到整个 n 维离散 Fourier 域所有点的取值，再通过 Fourier 逆变换得到原始的图像函数。然而，在离散情况下，频域的全局振荡特性，使插值带来的误差经过 Fourier 变换后将扩散到整个原始图像函数，造成较大的误差。其他解析型算法从本质上讲都会出现这样的问题，所以对数据完备性的要求都比较高。对于有限角度数据问题，特别是缺失的数据并不是均匀分布在各个角度上，而是在一个角度范围内整体缺失的情况，数据完整性的要求更难以满足。因此不能直接应用解析算法得到精确的重建结果，需要提出新的重建策略。
1.3 图像重建策略
在 Tao 等提出的理论中，对频域值的具体位置并没有要求，只要求达到一定的数量，这种全新的理论对于解决有限角度的精确重建问题有着很重要的指导意义。美国芝加哥大学的 Pan 教授等利用这种思路进行了衍射 X 线断层成像的有限角度重建[28]。Pan 等[29]指出利用中心切片定理的 Fourier 变换 TV 重建只适用于平行束重建，因此对扇形束和锥形束的重建还需要考虑插值或其他途径。除了利用中心切片定理外，也可以考虑利用扩展后的稀疏重建理论。一种简单的做法是：选用与 ART 算法相同的方式得到投影方程，以此方程作为约束条件，将图像函数看作一维信号，用其 l1范数最小作为目标求解线性规划[48]。这种想法，主要是对迭代型算法的一种改善，由于引入了目标函数，将问题转化为求解凸规划，使得原有迭代算法每次迭代过程中效率不高的问题得到有效改善。
2 初步研究结果
我们针对扁平物体进行了锥束 CT 有限角度重建的初步仿真研究。沿用文献[48]的重建3 期 王林元等：稀疏信号恢复理论在 CT 图像重建中的应用 25方式，对规模较小的扁平物体进行三维重建。待重建物体大小为 256×256×5，物体冠状位的 5 层切片完全相同，采用标准 Shepp-Logan phantom，见图 2(a)。模拟锥束圆轨迹投影方式，以投影方程作为约束条件，将物体的图像函数看作一维信号，用其 l1范数最小为目标求解线性规划，在[0,π)范围内均匀选取 150 个角度进行投影。考虑到扁平物体重建问题的特殊性，在重建过程中不使用 [2π/5，3π/5)之间的投影数据。重建结果各体素的误差平方和为 0.0123，单个体素值最大误差为 0.0071，重建结果的冠状位第 3 层切片见图 2(b)。
作为对照，使用[0,π)范围内 180 个投影角度的数据，利用 FDK 算法进行重建，重建结果的冠状位第 3 层切片见图 2(c)。重建结果各体素的误差平方和为 6.3698×105，单个体素值最大误差为 1.0371。在重建过程中，不使用[2π/5，3π/5)之间的投影数据，利用 FDK 算法得到重建结果的冠状位第3层切片见图(2d)。重建结果各体素的误差平方和为8.0442×105，单个体素值最大误差为 1.0416。
3 总结
Tao 等关于稀疏信号恢复的理论是对稀疏信号恢复的一个全新认识，也是对求解代数方程的全新认识。Tao 等[30]说明了该理论在图像重建方面的应用思路，相信必将指导其他研究者将这一理论深化为具体的算法。我们认为这一理论会对图像重建算法的发展产生深远的影响，可能主要存在于以下几个方面：
1)对传统的 Fourier 变换型算法的影响
改变原有 Fourier 变换型算法需要 Fourier 域完整数据的要求，可以考虑从 Fourier域的部分采样来重建图像。这一思路转化为算法的关键在于怎样从投影数据经过变换得到精确的频域采样数据。
2)对经典的迭代型算法的影响
在利用投影过程或投影数据的变换，得到比较简明的线性方程组后，将原有的求解线性方程组问题转化为求解凸规划问题。在迭代求解过程中利用目标函数给出了有效的指示，使得迭代下降的速度更快。这将使得迭代型重建算法以一种新的形式出现。但是对这类方法的制约性因素仍然是大规模数据的存储和运算。
3)对速度较快的解析型算法的影响
解析型算法速度快，运算量小。比如其中的 PI-线算法实现了每个投影角度内的最小数据量重建，但对投影角度的数量仍有较高的要求。应用稀疏信号恢复理论，可以使得所需投影角度数量有效减少，弱化数据完整性的要求，使解析型算法更容易适应实际应用的条件限制。这一思路要最终形成具体的算法，关键是需要找到足够数量的含有较小误差的方程组。将稀疏信号重建理论应用到重建算法中，给出了解析型算法的速度和迭代型算法的精度方面一个新的平衡点。这种理论和策略的实现对很多应用情况都有重要的意义，也为重建算法的发展开辟了新的方向，必将对该领域的发展产生重大影响。而对有限角度重建问题的较好解决，将使得实际应用中对投影数据采集的要求相对降低，照射剂量也可能随之减少，这些又将会对 CT 设备的发展产生深远的影响。
参考文献
[1] 包尚联. 现代医学影像物理学[M]. 北京: 北京大学医学出版社, 2003: 191-200.Bao SL. Modern medical imaging physics[M]. Beijing: Peking University Medical Press, 2003:191-200.
[2] Tuy H. An inversion formula for cone-beam reconstruction[J]. SIAMJ Apply Math, 1983, 43(3):546-552.
[3] Smith BD. Image reconstruction from cone-beam projections: necessary and sufficientconditions and reconstruction methods[J]. IEEE Trans Med Imag, 1985, 4(1): 14-25.
[4] Sato T, Norton SJ, Linzer M, et al. Tomographic imaging reconstruction from limitedprojections using iterative revisions in image and transform sPACe[J]. Opt Soc Amer, 1981,71: 582-592.
[5] Nassi M, Brody WR, Medoff BP, et al. Iterative reconstruction-reprojection: An algorithmfor limited data cardiac-computed tomography[J]. IEEE Trans Biomed Eng, 1982, 29: 331-341.
[6] Reeds JA, Shepp LA. Limited angle reconstruction in tomography via squashing[J]. IEEE TransMed Imaging, 1987, 6: 89-97.
[7] Gordon R, Bender R, Herman GT. Algebraic reconstruction techniques (ART) for threedimensional electron microscopy and X-ray photography[J]. Theor Biol, 1970, 29: 471-481.
[8] Feldkamp LA, Davis LC, Kress JW. Practical cone-beam algorithm[J], Opt Soc Am, 1984, 1:612-619.
[9] Zou Y, Pan X. Exact image reconstruction on PI-lines from minimum data in helical cone-beam3 总结Tao 等关于稀疏信号恢复的理论是对稀疏信号恢复的一个全新认识，也是对求解代数方程的全新认识。Tao 等
[30]说明了该理论在图像重建方面的应用思路，相信必将指导其他研究者将这一理论深化为具体的算法。我们认为这一理论会对图像重建算法的发展产生深远的影响，可能主要存在于以下几个方面：3 期 王林元等：稀疏信号恢复理论在 CT 图像重建中的应用 27CT[J]. Phys Med Bio, 2004, 49: 941-59.
[10] Zou Y, Pan X. Image reconstruction on PI-lines by use of filtered backprojection in helicalcone-beam CT[J]. Phys Med Bio, 2004, 49: 2717-31.
[11] Pan X, Xia D, Zou Y, et al. A unified analysis of FBP-based algorithms in helical cone-beamand circular cone- and fan-beam scans[J]. Phys Med Biol, 2004, 49: 4349-69.
[12] Pan X, Zou Y, Xia D. Image reconstruction in peripheral and central regions-of-interestand data redundancy[J]. Med Phys, 2005, 32: 673-684.
[13] Zou Y, Pan X, Sidky E Y. Image reconstruction in regions-of-interest from truncatedprojections in a reduced fan-beam scan[J]. Phys Med Biol, 2005, 50: 13-27.
[14] Zou Y, Pan X, Sidky EY. Theory and algorithms for image reconstruction on chords and withinregions of interest[J]. J Opt Soc Am A, 2005, 22: 2372-84.
[15] Yu L, Zou Y, Sidky E Y, et al. Region of interest reconstruction from truncated data incircular cone-beam CT[J]. IEEE Trans Med Imaging, 2006, 25: 869-81.
[16] Rangayyan R, Dhawan AP, Gordan R. Algorithms for limited-view computed tomography: Anannotated bibliography and a challenge[J]. Appl Opt, 1985, 24: 4000-12.
[17] Verhoeven D. Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences[J]. ApplOpt, 1993, 32: 3736-3754.
[18] Lange K, Carson R. EM reconstruction algorithms for emission and transmission tomography[J].Comput Assist Tomogr, 1984, 8: 306-16.
[19] Andersen AH, Kak AC. Simultaneous algebraic reconstruction technique (SART): A newimplementation of the ART algorithm[J]. Ultrason Imaging, 1984, 6: 81-94.
[20] Sauer K, Bouman C. A local update strategy for iterative reconstruction from projections[J].IEEE Trans Signal Process, 1993, 41: 534-48.
[21] Guan H, Gordon R. A projection access order for speedy convergence of ART: A multilevelscheme for computed tomography[J]. Phys Med Bio, 1994, 39: 2005-22.
[22] Manglos SH, Gagne GM, Krol A, et al. Transmission maximum-likelihood reconstruction witordered subsets for cone-beam CT[J]. Phys Med Biol, 1995, 40: 1225-41.
[23] Mueller K, Yagel R, Cornhill J F. The weighted distance scheme: A globally optimizingprojection ordering method for ART[J]. IEEE Transaction on Medical Image, 1997, 16(2):223-230.
[24] Elbakri IA, Fessler JA. Segmentation-free statistical image reconstruction for polyenergetic x-ray computed tomography with experimental validation[J]. Phys Med Biol, 2003,48: 2453-77.
[25] Kole JS. Statistical image reconstruction for transmission tomography using relaxed orderedsubset algorithms[J]. Phys Med Biol, 2005, 50: 1533-45.
[26] Zbijewski W, Defrise M, Viergever MA, et al. Statistical reconstruction for x-ray CT systemswith non-continuous detectors[J]. Phys Med Biol, 2007, 52: 403-18.
[27] 高河伟, 张丽, 陈志强, 等. 有限角度 CT 图像重建算法综述[J]. CT 理论与应用研究, 2006, 15(1):46-50.Gao HW, Zhang L, Chen ZQ, et al. Reviews of image reconstruction from limited-angle[J].CT Theory and Applications, 2006, 15(1): 46-50.
[28] Pan XC, Sawa K, Tsuda I, et al. Accurate image reconstruction from few-view and limited-angledata in diffraction tomography[J]. J Opt Soc Am A, 2008, 25(7): 1772-82.
[29] Pan XC, Sidky E, Kao C. Image reconstruction from limited or incomplete data[J]. WorldIntellectual Property Organization, 2007.
