摘 要:从圆锥体靠模仿形法加工非球面光学零件的基本原理出发,指出加工凸非球面时无原理误差,但加工凹非球面时,只能用圆弧包络法加工。用实心圆锥体靠模时,必然存在误差。解决方法是减小工具的曲率半径,或增加一维数控进行补偿,或使用空心圆锥体仿形。实际应用中前两种方法只能减小误差,不能消除。而采用凹模仿形时,则不存在原理误差。
0 引 言
1862年以来人们一直研究非球面的加工,发展了多种加工方法[1—5]。但目前非球面的制造仍然面临制造难度大、成本高、加工效率低等难题[6]。由于它可克服传统加工方法的低效率、高成本等缺点,成为当前的关注点[5—9]。
非球面零件加工一般有运动合成法和仿形法两大类,数控加工属于运动合成法[10]。一般,仿形法的加工效率较高,通常靠模仿形加工适用于精度要求不太高的小口径非球面元件。对应用仿形法加工非球面的超精密磨削的研究也应加强。为此,对提出的圆锥体靠模仿形法进行了研究[11]。由于它使用实心圆锥体靠模,加工凸非球面零件无理论误差[11];但加工凹面光学零件,则需采取补偿措施。本文对凹面加工时的补偿公式做了理论推导,并提出使用空心圆锥体靠模仿形,从而无须补偿的凹面加工原理。
1 凹面仿形加工问题的提出
二次曲面具有光轴旋转对称性,可用圆锥体靠模仿形加工。加工原理如图1,砂轮主轴和刀口固联,圆锥体主轴倾斜量调整好后,再与工件主轴固联。二者通过消隙机构保持接触。加工时,刀口在圆锥体上靠模,砂轮在工件上仿形,二者同步联动。同时,圆锥体和工件一起围绕过非球面顶点曲率圆圆心或最接近圆圆心的Z轴摆动。可见,圆锥体倾斜角度不同,则可加工不同的二次曲面,它是一种并联式仿形加工系统[10]。相对于SPDT等数控加工中小口径非球面元件的方法,无须轨迹插补运算,因而可降低对数控系统的要求。
由图1(a)可见,加工凸面时,在消隙机构作用下,直刀口是圆锥体的外切线,柱砂轮柱面母线也是凸面工件的外切线,因此加工时无原理误差。
加工凹面时,必须采用圆弧包络法加工。由图1(b)可见,在消隙机构作用下,圆盘刀口与圆锥体是外切接触,球砂轮与凹面零件是内切接触。因此,圆盘刀口中心点的轨迹是二次曲线的法向外等距线,球砂轮中心点的轨迹是二次曲线的法向内等距线。加工凹球面时,若摆动轴过其顶点曲率圆圆心或最接近圆圆心,则由于它就是球心,因此无原理误差;否则,若摆动轴过其他点,加工凹球面必有原理误差。加工二次非球面时,无论摆动轴过何点,都存在原理误差。
2 凹面仿形加工问题的对策
当使用球砂轮加工凹面二次非球面零件时,要求圆刀口的半径和球砂轮的半径相同(设为r),且不大于二次非球面工件顶点的曲率半径R0。无论是绕顶点曲率圆中心或最接近圆中心或其他点旋转,当半径r为0时,加工凹非球面没有原理误差;不为0时,必然带来误差;且半径越大,误差越大。实际中r不可能为0,必然存在误差。以凹椭球面加工为例,作圆锥体靠模点和工件加工点的水平截面视图如图2。
在起始状态,圆盘刀口的靠模点与球砂轮的加工点处于图2(a)的原点,二者在同一条直线上(在z轴方向对齐),此时无误差。
由于围绕过最接近圆圆心(或非球面顶点曲率圆圆心)的Z轴摆动(设转角Φ),圆盘刀口和球砂轮的位置如图2(b),此时圆盘刀口与圆锥体脱离接触,而球砂轮与工件也未接触。
在消隙机构的作用下,假设圆盘刀口与圆锥体点接触,此时球砂轮与工件干涉如图2(c)。图2(d)是其局部放大图,可见刀口的截取点是P,砂轮加工的是圆弧段P2P3,它超过椭圆标记的切削范围,因此产生过切(对凹双曲面,则为欠切),加工非球面时必然带来误差。
此时可增加径向的一维数控进行补偿。补偿时砂轮补偿量δ的公式如下:
在图3中,为便于计算,假定Z轴绕非球面顶点曲率圆圆心摆动
理论曲线C1
过摆动轴中心的直线P0PC与C2和C3相交,交点间距| P0PC|=2r;过摆动轴中心的直线AB与C2和C3相交,交点间距| AB |=2r+δ。δ与Φ之间的关系即为所求。
当e=0,由(1)~(5)可推出
当摆动轴心通过顶点曲率圆心或最接近圆心时,摆动中心就是(R0,0)。于是,无论Φ为何值, |P0Pc|=2r =| AB|,δ≡0,无需补偿。若摆动中心不是(R0,0),则| P0Pc|=2r, | AB |≠2r,δ≥0,需数控补偿。
当e≠0时,无论摆动轴过何点,都有| P0Pc|=2r,| AB|≠2r,δ不恒为0,可见加工二次非球面需进行补偿。
直线AB与C2相交,有
根据物理意义,矢量AB的内积就是其长度的平方,于是有
其中T表示矩阵的转置。上式即为一维数控补偿的表达式。实际应用中需用数值方法求解,因此差补运算带来的误差不可避免。
3 计算实例
取R0=200mm,r=30mm,取Φ的步长为0.01°,取x的步长为0.01mm,分别对e=0.1μm,0.5μm,0.9μm的三个椭球面进行计算。以误差值为1×10-5为搜索停止的判别条件,经MATLAB计算,得到几个典型值如表1所示。
δ与Φ之间的变化与e有关,大体趋势如图4。
可见,当应用波长在1.0μm内时,摆动轴的转角Φ应该在±10°范围左右,才能在理论上保证加工任意光学二次曲面的面形精度在10道光圈内,此时才具有实用价值。同时可见Φ角较大时数值计算带来的误差不容忽视(如表1中带*者)。
4 凹面仿形加工原理的提出
如果将圆锥体做成壳状,刀口外切改为内切,球砂轮与圆刀口的半径相等,且不大于R0。无论摆动轴是绕顶点曲率圆中心或最接近圆中心或其它点旋转,此时都可保证圆刀口中心的轨迹和球砂轮中心的轨迹是二次曲线的法向内等距线,截取的轨迹和加工的轨迹都是同一条二次曲线,理论上可得到理想凹非球面和凹球面。
5 结 论
用实心圆锥体靠模仿形法加工凹非球面时,理论上必然带来误差,为减小误差而使用小直径工具,则切削线速度低,效率不高。而且加工口径有限,摆动轴的转角通常应该在±10°范围内,此时在理论上才具有实用价值。采用一维数控补偿时,已转化为数控加工,插补运算带来的误差难免。
若将实心圆锥体改为空心圆锥体,用凹模取代凸模,则加工凹非球面时,无论摆动轴的轴心在不在顶点曲率圆圆心或最接近圆圆心,只须圆盘刀口的半径和砂轮的半径相等,则不存在理论误差,可保持加工效率高的特点。
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作者简介:王院生(1973-),男,湖北省人,中国地质大学工程师,博士,从事精密测量加工技术研究。
E-mail:wangyshper@sohu.com
