摘 要:用扩展有限元法XFEM(Extended FiNIte Element Method)解决夹杂问题时,夹杂与基质的界面把单元分成若干部分。求单元刚度矩阵时,需要分别在这各个部分求积分。找到便于程序编制的描述各积分区域几何形状的方法是亟待解决的问题。本文把各积分区域的形成过程看成是圆对四边形的多次切割。考虑切剩区域与圆的关系时,把不完整的边仍看作完整的边,把切剩区域看成是四边形或是切去一两条边的四边形。采用排列组合的方法,把它们与圆的所有位置关系列了出来。
1 引 言
采用扩展有限元法[1,2]解决夹杂问题[3]时,单元的划分不需要考虑夹杂与基质之间的界面,这给计算带来了很大的方便。这样,夹杂的界面往往把同一单元分成若干部分。由于夹杂与基质的物理力学性质不同,在计算单元刚度矩阵的时候,就需要考虑单元内部夹杂和基质的界面,由此来确定四边形处于夹杂内部的部分和处于夹杂外部的基质部分,从而形成不同的积分区域。在平面问题中,四边形单元比矩形单元能更好地表达计算区域的不规则外边界,因此,扩展有限元法采用四边形单元要比矩形单元更加实用。在工程实践中,夹杂的形状是不规则的,把夹杂的形状抽象成圆形,会大大降低计算的难度,多数情况更能反映问题的本质。因此,圆形夹杂与四边形单元的位置关系是用扩展有限元法解决平面夹杂问题必需解决的问题。圆形夹杂与四边形单元位置关系的描述方法很多,本文提出的方法能方便地实现程序编制,为扩展有限元的工程应用作准备。由于这个工作琐碎而费时,所以整理出来以避免有同样需要的读者的重复劳动。
除特别指出,下文提到的圆即是夹杂,四边形即是凸的四边形单元,点是指四边形的顶点,它们同处于同一平面内。
2 点和边与圆的位置关系
点、边与圆的位置关系是描述四边形与圆位置关系的基础。点与圆的位置关系有三种:点在圆外,点在圆内及点在圆上,它们分别用代码0、1、2来表示,见表1。
边与圆的位置关系有四种:相离、交于一点、切于一点、交于两点,它们分别用代码0、1、①、2来表示,见表2。
两端点位置与边的位置关系见表3,这是下文中把边型作为点型的子类型的依据。
3 切剩区域的特点与分类
多个圆同时存在时,两两之间是相离的。四边形被一个圆分成若干区域,称为圆对四边形的一次切割。圆内的部分称为切除区域,圆外的部分称为切剩区域。四边形被多个圆切割,可看成是一系列圆先后对切剩区域的切割,初始切剩区域就是四边形本身。图1左边是五个圆与一个四边形的相对位置,右边是这个四边形经过五次切割后的切剩区域。
在切剩区域中,原四边形的边或是完整的,或是被切成若干段,或是被完全切除。没有被圆完全切除的边,称为留边;被圆完全切除的边称为去边。留边中,被圆切除的部分称为切除段,其余部分称为切剩段。有的留边没有被圆切割过,自身就是切剩段。相邻留边之间的四边形的顶点称为留点。切除边的端点和被圆切除的留点,称为切除点,其他留点称为切剩点。圆与四边形内部的交线称为切口弧段,切口弧段向区域内部凹陷。切剩区域是由切剩段与切口弧段首尾相连形成的封闭区域,如果被四边形内部的圆切割,则形成内部圆孔,如图1所示有一个内部圆孔。
圆与圆是相离的,所以圆与切口弧段也是相离的。圆与切剩段相切或相交,则只能与该切剩段所在的其他切剩段相离。因此,切剩区域被再次切割时,只考虑切剩区域中各留边和各留点与圆的位置就足够了,不必考虑切口弧段的位置和个数。因此,在下文的示意图中,没有画出留边上的切口弧段。图1中留边数是3,留点数是2。留边与留点是划分切剩区域的依据。按留
条数,把切剩区域分成三大类,留边条数分别是4、3、2,分别用代码D、C、B表示。每一大类按照留点列与圆的位置关系分成若干点型;每一点型按照留边与圆的位置关系分成若干边型。
4 留边数是4时的情况
表4 4留边点型边型代码表
留边数是4时,留点数一定也是4。表4列出
了留边数是4时的点型与可能边型。点型代码的各位数分别表示各留点与圆的位置关系。可能边型是根据各留边两端的留点的位置得出的各边与圆的可能位置关系。留点和留边都是逆时针排序。1号留点与2号留点中间的留边是1号留边,以此类推。这一约定下文相同。以序号为7的类型说明表4含意。4种点型代码都可以归为该类点型,其中第一行的点型代码为标准点型,其他3种可通过选择合适的开始点化为标准点型。该标准点型的含意是,前两个留点在圆上,后两个留点在圆外。1号留边与圆没有交点和切点,代码是0;2号留边和圆可能有一个交点也可能是相离的,代码是0和1;3号留边和圆有相离、相切及相交两点三种可能;4号留边和圆一定有一个交点。表5列出的是留边数是4时,切剩区域与圆的位置关系。切剩区域在忽略了切口弧段时,可以看作是四边形。
6 留边数是2时的情况
留边数是2时,分为邻留边和对留边两种情况。表8列出了邻留边情况的点型代码和可能边型代码。
7 结 论
根据以上切剩区域与夹杂之间的几何关系,就可以方便地在扩展有限元程序编制时把四边形单元沿每个夹杂边界切割开,形成不同的积分区域,为进一步积分计算做好准备。
