摘 要:提出一种改进的栅格法网格剖分算法,该算法综合了栅格法和Delaunay算法的优点,生成了四边形和三角形混合单元,保证了整体性能与局部性态最优,满足汽车覆盖件冲压成形模拟软件对有限元网格质量的需求。实践证明,本文提出的改进的栅格法网格剖分算法可行有效,生成网格的质量高,程序容易实现。该算法已经成功集成到商业化冲压成形模拟软件KMAS中。
1 引 言
随着CAD/CAE/CAM技术的日益发展,有限元网格自动剖分技术也受到越来越多的关注,网格剖分的质量直接影响着有限元分析的计算精度和效率,已经成为有限元分析中非常关键的技术之一[1]。根据曲面的参数信息,可以把三维区域映射成一个平面域,因此平面域内的网格剖分是整个网格剖分的基础。目前,比较流行的平面网格生成算
法有:Delaunay三角剖分、波前法[2]及栅格法。每一种方法都有自己的优点,但同时也存在着一些明显不符合工程实际应用的地方。如Delaunay方法只能生成三角形网格,而在有限元分析中四边形网格在计算精度和逼近离散域方面都是要优于三角形网格[3],所以应该优先考虑生成四边形;前沿生成算法虽然能够生成四边形,但是针对汽车冲压件这种边界极其复杂的零件时效率很低,程序实现起来很繁琐,难以满足工程所需的高效和简洁。
本文根据工程实际应用的需要,针对汽车板材冲压成型仿真的有限元网格需求,在“栅格法”的基础上综合运用Delaunay三角剖分、转换法,提出了一种快速平面四边形网格剖分方法,该方法在平面域内部生成大小一致的四边形网格,保证整体性态的最优,而在平面域边界上根据边界的形状生成性态比较好的四边形和极少量的三角形,保证局部的最优。
2 算法概述
根据三维曲面的信息,可以很容易将三维曲面映射到X-Y平面区域上,因此,本文算法只详细讨论平面区域的网格剖分。本文所述的平面区域网格剖分方法大致可以分成三步:
(1)根据平面域边界节点坐标信息计算内部新增加的节点。
(2)在平面域内部生成适当的四边形单元。
(3)在边界节点附近生成适当的四边形和三角形单元。
2.1 节点的生成
利用“栅格法”可以计算出零件内部的节点的坐标,并且保证节点之间的间距能够生成性态良好的四边形。其具体步骤如下:
(1)预生成点:首先计算出零件外边界线段的
水平平均间距和垂直平均间距,然后根据这两个间距值在外边界包围盒区域上布上栅格。为了能更好地说明预生成的点的位置,把这些节点连成纵横交错的栅格,其效果如图1所示。
(2)获取零件内部节点:采用“射线法”,将零件外边界之外、内边界之内的节点过滤掉。考虑到生成单元时应该尽量避免出现单元尺寸相差过大、单元过于狭长等情况,保留下来的内部节点就需要做一些位置调整或删除处理。以水平方向为例,某一条水平射线与边界求交,可以得到一系列的经过排序的交点,该水平射线上的所有内部节点均夹在某一对交点之间。不妨假设其中一个内部节点pt夹在交点spt1与交点spt2之间,并设水平方向的网格尺寸为size,且pt与spt1的距离为dis。若dis< size/2,扔掉该节点;若size/2≤dis< size,则将pt沿着spt1和spt2方向偏移一个合适距离;若size≤dis,表示该点不需要再处理。按照这种方式依次对所有射线上面的节点进行处理。为了更好地说明节点的位置,把这些节点也连成栅格,对靠近边界节点进行调整前和调整后的效果如图2和图3所示。
2.2 生成内部四边形单元的拓扑关系
根据已经生成的节点坐标,可以得出这些节点之间的位置关系,同时根据简单的上下左右关系即可以得出内部网格之间的拓扑关系。这里需要分成两个步骤去实现。
(1)获取内部四边形单元拓扑信息:对于2.1中预生成的点,不妨设其中一点为其中i和j分别表示所在栅格的行号和列号,m和n分别表示总行数和总列数。如果四点均是内部节点,则可以得到一个四边形单元,并将这个单元信息存储在单元链表中,其效果可以参考预生成点后的栅格效果。
(2)获取遗留下来的“自由点”:经过前面的处理之后,预生成点中肯定还会有一些点既属于零件内部节点,又因为周围没有与之匹配的三个点与它构成四边形单元,从而形成一些内部孤立点,把这些点作为“自由点”记录下来,在整体网格生成之后再进行处理。
2.3 生成边界附近单元的拓扑关系
根据零件外边界和内部已经生成的网格外边界,可以得出一个狭长的边界带区域,这些区域的面积占零件总面积的比例很小,但是其形状却极其复杂,对于多连通域的情况,尤其如此。因此,如何顺利且高效地在这个边界区域划分网格对于整个网格生成是极为关键的。考虑到这个边界区域已经事先设定好了“节点”的位置,不需要在网格生成
中增加或者减少节点,而且,这些边界的形状信息对于汽车冲压件是至关重要的,目前通用的四边形网格剖分算法并不能保证这些形状信息的完整性。因此,采用简化的Delaunay三角形网格生成算法,首先把边界区域进行三角剖分,然后采用分级转换法把这些三角形单元合并成四边形单元,从而保证了整体上的最优和局部性态的最优。这里也分为两个步骤去实现。
(1)首先在边界狭长地带利用边界信息和前文所述“自由点”信息通过简化的Delaunay方法生成三角形网格。如图3所示,根据原始边界与新生成的内部四边形网格边界的位置关系,可以得到一系列的一个外边界环与多个内边界环的组合,对每一对组合通过Bowyer-Watson逐点插入算法[4,5]生成三角形网格。逐点插入算法的基本思想是在Delaunay三角形网格中插入一点P ,找到外接圆包含点P的三角形集合S (破坏的三角形集合) ,去掉集合S中的三角形,构成插点空腔H ,连接点P和H的顶点而形成新的三角形网格[6]。依次将外边界环、内边界环和“自由点”插入边界狭长地带的三角形网格中,并在必要的时候通过“最近点连线法”对所有边界环进行边界修复[7]。除了内外边界上的节点和“自由点”,不需要在三角形网格中插入任何其他节点,因此,这里使用的Delaunay方法是一种很简化的实现方式。将边界三角形单元与内部四边形单元组合在一起,可以初步得到完整的网格信息,其效果如图4所示。
(2)把边界狭长地带的三角形网格采用分级合并算法生成四边形网格[8]。为了避免从平面网格转化成三维曲面网格时因曲面变形引起网格质量变差,分级合并算法需要在三维空间上进行。三维空间的分级合并算法的思路是通过计算相邻三形公共边所组成的四边形的质量因子β,不妨将此四边形的质量因子β视为该边β,按照所有公共边的β值的大小进行排序,依次进行四边形合并。
三角形ABC的质量α可用三角形的面积与三边长的平方和之比来衡量:
nABC是三角形△ABC的单位法向。对于四边形ABCD,对角线AC,BD将其分割成四个三角形△ABC,△BCD,△CDA和△DAB。设α1,α2,α3和α4是四个三角形的α值,如果三角形法向与四边形方向相反,则计算得到的α值应该取α=-α;对四个三角形的α值进行降序排列,不妨设为α1≥α2≥α3≥α4,则可得四边形ABCD的质量因子β=α3×α4/α1×α2。对于凸四边形有β∈(0,1],对于凹四边形有β<0,当四边形退化成三角形时有β=0。图5显示了一些典型四边形的β值。
将所有β值大于零的公共边进行排序,然后按照从大到小的顺序依次进行四边形合并,这样就能保证优先合并生成质量好的四边形。按照三维曲面网格分级合并算法,最终可以得到四边形/三角形的网格如图6所示。
3 算 例
为了验证前文所述算法的正确性和通用性,用Visual C++7. 0将算法编制成程序,并借助KMAS软件平台,对大量的实际汽车覆盖件曲面进行了有限元网格剖分,测试结果显示此算法是通用且高效的。如图7~图9所示为某汽车前底板分别采用三种网格剖分方法进行有限元网格剖分分析得到的结果列入表1。通过表1数据可以看出,在同等单元尺寸情况下,改进的栅格法相对传统的Delaunay法具有剖分速度更快、单元数量更少的特点;与波前法相比,改进的栅格法生成的四边形单元比例更大;改进的栅格法拥有的特点能够有效地减少冲压模拟数据的准备时间。因此,改进的栅格法是一种满足汽车覆盖件冲压成形模拟需求的网格剖分方法。
4 结论
有限元网格剖分的方法很多,本文就是针对大型汽车覆盖件,根据工业应用的实际情况,将多种网格剖分方法的优点结合起来,实现了一种高效、简洁、实用的有限元网格剖分方法。在处理过程中,尽可能地生成了矩形四边形单元,由于边界情况复杂,为了保持边界的完整性,也生成了极少量的三角形单元。通过后续的有限元模拟分析计算,表明这种方式得到的网格是满足汽车覆盖件冲压模拟要求的。
