摘 要:用张量运算推导了弹性应变梯度轴对称问题的基本公式。建立了应变梯度轴对称不协调元的弱连续条件,进一步建立了满足弱连续条件的应变梯度轴对称18-DOF三角形单元(BCIZ+ART9),其中BCIZ满足线性应变C0连续,用于计算应变ε;ART9满足常曲率C1弱连续,用于计算应变梯度η。数值结果表明该单元通过C0-1分片检验并能体现材料的尺度效应。
1 引言
传统的连续介质理论假定材料均匀、连续。试验[1]表明,当非均匀塑性变形特征尺度在微米量级时,材料具有很强的尺度效应。经典弹塑性理论的本构关系不包含特征长度尺度,它不能预测材料力学性能在微米尺度下的尺寸效应;另外,经典的弹塑性理论也不足以解释岩石和混凝土结构中的应变局部化现象。
偶应力以及在偶应力理论基础上发展起来的应变梯度理论是能够解释上述尺寸效应和变形局部化的有效方法。偶应力理论于1909年由Coss-erat兄弟提出[2],引入了偶应力张量,应力张量不再对称。在偶应力理论基础上发展起来的应变梯度理论同时考虑了旋转梯度和拉伸梯度,更能反映细观材料的尺度效应和变形局部化效应。近年来应变梯度理论的研究很受重视,产生了多种应变梯度理论[3-6]。
应变梯度理论较经典理论复杂,有限元法仍然是有效的求解方法。目前,关于应变梯度理论有两种提法。一种考虑了高阶应变,即应变梯度与位移有关,要求单元函数满足C1连续条件。Zervos[7]用已有的满足C1协调的18-DOF的薄板单元函数研究了厚壁筒的局部化和尺寸效应。另一种提法[8,6]认为应变梯度独立于位移,在有限元描述中只需要C0连续的单元。总的来说应变梯度有限元的研究还处于数值计算滞后于理论的局面,制约了应变梯度理论的发展及其应用研究。现在建立的不协调的单元函数都只考虑分别满足常应变C0连续条件和常曲率C1连续条件。陈万吉[9]提出了同时满足C0和C1连续的应变梯度有限元和C0-1分片检验。目前的应变梯度理论文献,基本公式多建立在笛卡尔坐标系中。
应变梯度理论在轴对称情况下的推导比较困难,不能直接套用笛卡尔坐标系下的表达式。本文按张量运算,推导了轴对称弹性应变梯度问题的基本公式。构造经典力学的薄板C1连续单元已有成熟的模型,可以将其推广到细观力学建立平面应变梯度单元,但是,用于建立轴对称应变梯度单元,会遇到一些新问题。本文应用精化不协调元方法[9],建立了一种新的轴对称应变梯度单元的弱C1连续条件,并依此构造了适用于轴对称应变梯度理论的精化不协调元(BCIZ+ART9)。
2 应变梯度理论基本方程
3 轴对称应变梯度理论公式推导
3·1 推导中用到的张量知识[10]
4 应变梯度轴对称18-DOF三角形单元(BCIZ+ART9)
应变梯度理论中同时出现了位移的一阶导数和二阶导数,对于应变梯度部分,由于单元的边界位移和边界力对两个应变部分的耦合作用,满足常应变梯度C1连续条件必然包含位移的二次项,这就要求传统应变部分满足线性应力C0连续[9]。建立一个同时满足C0线性应力和C1常曲率连续条件的单元是很困难的,所以本文提出使用两种单元函数,即用满足C0线性形应力连续的单元函数计算传统应变,用满足C1常曲率弱连续条件的单元函数计算高阶应变。
4·1 基于应变梯度理论的轴对称有限元的弱连续条件
应变梯度理论有限元的难点在于如何建立收敛准则。应用精化不协调元方法,通过引入公共位移 w~/ n和 w~/ s使单元边界间的连续性要求条件得到放松,建立基于偶应力/应变梯度理论的轴对称有限元的C1弱连续条件如下
式中w*为精化不协调元位移,w0是满足C0连续要求的位移,l和m是单元边界方向余弦。单元的连续性要求在平均意义上得到满足,这样单元边界的连续条件就得到了放松。
4·2 计算应变ε的单元函数———BCIZ
9参数三角形板单元(BCIZ)的单元函数满足C0连续条件,并且包含完备的二次项函数,所以满足线性应变C0连续,可直接用于计算传统应变ε。BCIZ的单元函数为
5 算 例
5·1 C0-1分片检验
目前,对应变梯度单元多采用分别做常应力C0分片检验和常曲率C1分片检验。事实上,对于应变梯度部分,满足常曲率C1分片检验的二次边界位移要求满足C0分片检验的部分有二次精度,也就是说,还要通过线性应变C0分片检验。C0-1分片检验[9]要求检验函数为满足不计应变梯度项的平衡方程的二次函数,并同时通过线性应变C0分片检验和应变梯度常曲率C1分片检验。构造有二次项且满足轴对称平衡方程的检验函数:检验结果表明,本文建立的(BCIZ+ART9)单元通过C0-1分片检验。值得注意的是,能分别通过常应力C0分片检验和常曲率C1分片检验的(CST+ART9)单元不能通过C0-1分片检验。
5·2 孔边应力集中问题
孔边应力集中问题可以用来检验尺度效应与单元精度。图1所示为一含半径为a的半圆环状凹口的圆柱,作用在z方向的均匀分布拉力p。由于问题的对称性,可采用如图1所示的网格划分。采用96个单元,117个节点就可以得到较高的精确度。变化le/a可以检验应变梯度理论的尺度效应。文献[12]给出了传统弹性理论下应力集中系数的解析解k=2·35。应变梯度按式(17)计算,取μ=0·3,用(BCIZ+ART9)单元的计算结果见表1。这个问题表现出很强的尺度效应。在细观尺度下,随着le/a逐渐增大,小孔的应力集中趋于消失,这是经典弹性力学不能解释的。
6 结 语
应变梯度理论的提出是建立在直角坐标系上,在应用到轴对称问题时,不能直接套用,不可避免地要用张量运算来推导。本文按张量运算,推导了轴对称弹性应变梯度问题的基本公式,并提出了基于应变梯度理论的轴对称有限元的C1弱连续条件。现在建立的不协调的单元函数都只考虑分别满足C0常应变连续条件和C1常曲率连续条件,本文提出的轴对称单元是同时考虑C0线性应变连续条件和C1常曲率弱连续条件。算例表明该单元通过C0-1分片检验,保证收敛。
为了验证本单元(BCIZ+ART9)的可靠性,文中算例分析了有半圆环形凹口的圆柱在单轴拉伸状态下的应力集中情况,与传统弹性理论相比,由于应变梯度的存在,随着材料特征长度le的增大,应力集中系数趋于缓解。算例分析表明该单元213第2期赵杰,等:轴对称弹性应变梯度理论公式推导及有限元实现能够体现出材料的尺度效应,适用于轴对称应变梯度理论的计算。
