摘 要:针对正态变量具有相关性的可靠性灵敏度分析问题,给出了线性极限状态情况下的解析方法及可靠性灵敏度的通用数字模拟算法,并提出了一种高效的矩方法。在所提的矩方法中,相关变量首先被等效转换为不相关的变量,利用转换的不相关变量空间中均值与方差、相关性特征参数的非耦合性,得到了失效概率对相关变量均值的灵敏度,并且通过利用基本变量方差相同时,相关性描述参数与均值、方差的自然解耦,得到了失效概率对相关系数的灵敏度。在所提方法的适用范围内,其精度和效率令人满意。
1 引言
在实际结构系统中,各基本变量往往是相关的,并且这种相关有时对可靠度指标及失效概率会产生显著的影响。因此,研究基本变量具有相关性时的可靠性及可靠性灵敏度分析方法显得十分有必要。本文着重研究变量相关情况下的可靠性灵敏度问题。与变量独立时的随机可靠性灵敏度问题类似,相关情况下可靠性灵敏度同样定义为失效概率对基本变量分布参数及变量之间相关系数的偏导数,它反映了基本变量分布参数及变量之间相关系数对失效概率影响程度。在目前的情况下,解决相关变量下的可靠性灵敏度问题往往是将相关变量转换为独立正态变量,通过前后变量之间的转换关系,使用现有的随机可靠性灵敏度分析方法,就可以得到变量相关情况下的可靠性灵敏度。因此,转换前后变量之间的相互关系成了解决问题的关键。
本文就采用这种思路,将变量相关情况下的可靠性灵敏度分析转换为变量独立下的随机可靠性灵敏度分析问题。目前关于随机可靠性灵敏度分析已有许多成熟的方法[1],如基于一次二阶矩的随机可靠性灵敏度分析方法[1,2],基于原始或改进的Monte-Carlo数字模拟的随机可靠性灵敏度分析方法等[3,4]。基于一次二阶矩的随机可靠性灵敏
度分析方法是一种解析方法[1,2],方法简洁易于实现,但其局限性是只适用于线性功能函数的情况。数字模拟基础上的随机可靠性灵敏度分析方法具有通用性,实现起来也较容易,但其显著缺点是计算量大,计算效率低。针对相关正态变量的可靠性灵敏度分析问题,本文将在给出线性极限状态情况下的解析方法及一般情况的通用数字模拟解之后,提出一种高效的矩分析方法。在详细阐述了所提方法的基本思路和实现步骤后,采用数值算例对所提方法的精度和效率进行了验证,同时也对其局限性进行了说明。
2 变量具有相关性时的随机可靠性灵敏度的精确解法
2·1 线性功能函数情况下可靠性灵敏度分析的解析解法
考虑变量具有相关性时,将式(8)分别对随机变量的参数求偏导,并在右边乘以h(x)/h(x)(h(x)是任意n维基本变量的密度函数),可得以下由数学期望E[·]表示的可靠性灵敏度
式(9) ~式(11)的数学期望显然可以通过样本均值求得,大数定律可以保证当样本数很大时,样本均值是趋于总体的数学期望的。因此可以通过抽取大量的随机变量的样本,来求得可靠性灵敏度的近似准确解,以考证下文中提出的变量具有相关性时的随机可靠性灵敏度分析的矩方法。数字模拟方法虽然可以求出变量相关时可靠性灵敏度的近似精确解,但其所要的计算量非常大。
3 独立变量的随机可靠性灵敏度分析的矩方法
4 变量相关时随机可靠性灵敏度分析的矩方法
本节将研究一种基于矩方法的变量相关时的随机可靠性灵敏度分析方法。变量相关时可靠性灵敏度分析的矩方法首先要求将相关变量x转换为独立变量y,利用复合函数求导法则得到相关变量空间x中的可靠性灵敏度与变换的独立空间y中的可靠性灵敏度关系;然后利用x空间与y空间的线性关系及独立空间中可靠性灵敏度分析的矩方法求得x空间中的可靠性灵敏度。
4·2 相关变量空间x与独立变量空间y的灵敏度之间的关系
由式(28)可知相关的n维正态随机变量x与不相关的正态变量y存在下式所示的关系:
式中y空间分布参数名义值处的 PF/ μyi、 PF/ σyi可以通过在第4节中作者建立的变量独立情况下的可靠性灵敏度分析矩方法求得。而PF/ ρyiyj则无法采用已建立的矩方法求得,所幸的是ρyiyj与μxk是非耦合的(下节给出推导),即 ρyiyj/ μxk=0,因此采用矩方法很容易求得变量相关时失效概率对基本变量均值的灵敏度,当然还
4·3 y分布参数对x分布参数偏导数的求解
由式(28)可知,变量y与x之间具有线性关系,假设在x分布参数名义值处y的分量yi,yj与x的各分量(x1,x2,…,xn)之间存在如下式所示的线性关系:
5 所提方法的适用范围及计算效率
(1)适用于正态基本变量,非正态变量需要等价转化为正态变量。
(2)适用于变量相关失效概率对基本变量均值的灵敏度求解,对中低维问题的计算效率高且结果准确。
(3)适用于二维情况下基本变量方差完全相等时失效概率对基本变量相关系数灵敏度的求解,且此时对于中低维问题具有高的效率和精度。
(4)目前还不适用于基本变量方差不全相等时,失效概率对基本变量相关系数的灵敏度的求解;也不适用于失效概率对基本变量方差的灵敏度求解。对这两种灵敏度求解建议采用数字模拟法或近似线性极限状态函数后的解析求解。
7 结 论
在将相关变量转换为等效不相关变量的基础上,建立了相关变量随机可靠性灵敏度分析的矩方法。通过相关变量的等效不相关转换,将相关变量情况下的参数灵敏度分析问题转换为变量独立下的随机可靠性灵敏度分析问题,进而用矩方法解决了失效概率对相关变量均值的灵敏度。由于本文所提的方法无法解决对相关变量标准差和相关系数的灵敏度,在本文的算例中只给出了数值解。在所提方法能解决的范围内,所提方法的精度和效率是令人满意的。
