摘 要:把约束子结构模态综合法与直接模态摄动法相结合,建立复杂场地三维地震反应等效线性化分析计算方法。应用直接模态摄动原理,可简化各子结构模态分析过程,将特征值求解问题转化为线性代数方程组的求解,从而可有效提高计算效率。算例表明,该方法在提高大规模复杂场地地震反应分析计算效率方面优势明显。
1 引言
随着土木工程基础设施建设规模日益扩大,桥梁的跨度已达千米以上,空间结构的跨度也达数百米。这样目前在地震反应分析中常采用的一致输入模式已与实际情况不相符合。苏通大桥地震反应分析结果[1]表明,多点输入和一致输入两种地震输入模式下,主桥地震反应还是有一定差别的。为了考虑工程场地土层对大跨度结构地震动输入的影响,进一步开展二维或三维土层地震反应特点和空间地震动场分布的研究是十分必要的,这对于深入研究大跨度结构地震反应特征和破坏机理有重要意义。
在工程实际中,土层一般为半无限系统,应采用波动方程来分析土层的地震反应。但由于问题的复杂性,除少数特殊情况(如水平分层均匀)外,一般难以获得波动解析解,有时采用半解析解,但更多采用数值解[2],尤其是不均匀不规则场地的土层非线性地震反应分析一般采用有限单元法。由于土层地震反应是外源激振问题,根据已有研究[3],一些内源激振条件下得出的人工边界并不完全适用,需采用远置边界,建议土层单侧长度取为土层厚度的5倍左右,这样可保持土层有限计算区域解的正确性,不受设置人工边界影响。对于三维土层特别是深覆盖三维土层的地震反应分析来说,此时的计算土域范围将很大,尽管在计算原理和方法方面没有新的变化,但是由于庞大的计算自由度使得实际计算工作变得非常困难。本文在土层地震反应有限元分析方法基础上,探讨把约束子结构模态综合法和直接模态摄动法相结合,建立土层非线性地震反应分析的有效计算方法,提高计算效率,达到工程实际应用的目的。
2 理论基础
2·1 土层地震反应分析的等效线性化方法
在土层地震反应计算中,土介质的动力非线性是通过把弹性模量E(或G)和滞后阻尼比λ视为土的应变状态的函数来表述,即把弹性模量和阻尼均表示为应变幅的函数:Ed= E(εd)和λ=λ(εd),或Gd= G(γd),λ=λ(γd)。采用等效线性化方法[4]计算土层地震反应时,是用一组土介质应变随时间不变的线性地震反应的迭代计算代替土介质应变随时间不断变化的非线性地震反应计算。一般可先根据预估应变幅大小假定G和λ值,据以求出土层的平均剪应变,然后根据上述关系由此剪应变计算相应的G和λ值,再进行线性计算,线性计算完成之后,调整土介质的动力学特性以反映地震作用下土的非线性特征,如此反复迭代,直到协调为止,逐步逼近真实解。由此可见,土层地震反应的等效线性化方法的核心是线性时程反应计算。
2·2 土层线性地震反应分析的子结构模态综合法
由于自由度超常规模,这类土层地震反应除在大型计算机可以实施计算外,一般计算机上是难以实现的。为此考虑采用子结构方法来分析线性条件下的土层地震反应问题。
利用约束模态综合法求解土层的动力反应时,将土层视为整体结构,首先将其分解成若干个子结构,并形成各子结构特性矩阵K,M和C,进而对子结构进行模态分析,以获得各子结构的主模态和约束模态,然后根据频率截断准则将物理坐标转换到模态坐标下,形成土层在模态坐标系中的动力方程,这样就可以利用直接积分法求此动力方程,得出各时刻的广义位移、速度、加速度。最后再将此模态坐标下的动力反应还原到子结构物理坐标下的动力反应,进而求出各单元的应力、应变等参数。其中主要计算工作为每一子结构内部所进行的模态坐标变换,也就是将物理坐标系中的动力反应用模态坐标来描述[5],即
有关子结构模态综合法的具体实施过程,可参见相关专著或文献[5],文中不作详细介绍。
2·3 土层非线性地震反应分析的子结构法把子结构模态综合法应用于土层地震反应等
效线性化计算中的每一次时域线性计算过程中,就构成了土层非线性地震反应分析的子结构方法。很显然,相比于前一次时域线性计算过程,后一次时域线性计算过程中的土层刚度矩阵与阻尼矩阵发生了变化,因此子结构的模态分析、模态坐标变换矩阵和各广义特性矩阵都需要重新计算。由以上约束模态综合法的土层等效线性化反应分析计算原理可见,其在每次迭代中计算量是大体相当的,也就是说每循环一次所需完成的计算环节及所花费的时间是大体相当的。
为了考察各计算环节所需时间在每次迭代总时间中所占的比重,以一共有22869个自由度的均匀土层三维有限元模型为例进行对比计算。在该模型中沿纵向划分成四个子结构,在保留不同模态情况下进行线性反应计算,所得到的各个环节的计算时间列入表1。其中模态分析和还原物理坐标下动力反应两个计算环节所需时间与保留模态数的关系如图1所示,所用计算环境为DELL的GX270商务机,单核单CPU配置。由表1和图1可见,在每次迭代过程中,子结构模态分析所花费的时间会随着保留模态数的增多而近似呈几何倍数方式递增,也就是说对于一个实际的三维复杂场地来说,利用约束模态综合法进行等效线性化反应分析时,子结构模态求解将成为进一步提高计算效率的瓶颈。因此,本文研究工作的重点正是改善这一环节的计算效率。
3 基于模态摄动法的一种改进方法
用等效线性化方法对土层进行动力反应分析时,每迭代一次相当于对一个线性系统进行分析,也就是在该步迭代中,系统的固有特性不随时间的变化而变化,只是在本步迭代完成后,根据土的动力本构的等效线性化模型来调整土层的力学特性矩阵(阻尼和刚度)以得到下一次迭代时线性系统的力学特性矩阵。由于前后两次计算中土介质的动力特性变化有限,可以认为等效线性化中后续迭代过程中的土层系统均由对初始系统的某些固有特性(剪切模量或阻尼比等)摄动而来,因此相邻两次迭代中各子结构的模态特性会改变,但变化有限。一般来说,在土层地震反应计算中,土层系统的单元和子结构划分保持不变,这样后续迭代过程中各子结构的模态特性可应用直接模态摄动法进行求解[6]。
根据等效线性化原理,在后续迭代过程中,子结构的质量矩阵不变,而刚度矩阵和阻尼矩阵可表示为K=K0+△K,C=C0+△C,其中K0和C0为该子结构初始刚度矩阵和阻尼矩阵。由直接模态摄动法的思想知道,每一子结构的第i阶主模态可表示成该子结构初始状态时的前n阶主模态的线性组合:
这样,应用直接模态摄动法可把子结构的特征值计算转换为弱非线性代数方程组的求解。有关直接模态摄动法的详细计算过程可参考文献[6]。
综上所述,在整个等效线性化计算过程中各子结构只需对初始系统进行一次特征值求解即可,以后的迭代过程中的子结构模态分析可用弱非线性代数方程组的求解来完成。为了保证摄动解的精度,在初始系统特征值求解计算中要求得出的主模态数应比要求保留形成模态子空间的主模态数多8个,即一般要求取n=k+8,k为子结构应保留的主模态数。当求得各子结构的主模态和约束模态后,在每次迭代过程中的其他计算步骤是完全相同的。显然对于大规模土层反应分析问题来说,这将显著提高整体计算效率。
4 算例分析
利用动力子结构方法提高解题规模的思想虽很成熟,但将其应用到土层反应分析领域尚属首次。因此,首先来验证一下未经改进时一般的土层反应分析的子结构模态综合法的精度。选取一深30米的均匀土层模型,沿水平方向划分成四个规格相同的约束子结构,如图2所示。
图中A点为需要输出动力反应结果的考查点。人工边界的设置满足相关要求。场地土的剪切波速为240 m/s,密度1800 kg/m3,剪切模量103.68 MPa,泊松比为0·35,设阻尼比为0·1。在基岩输入角频率为4rad/s的正弦波,分别用波动法与约束子结构模态综合法(保留模态数满足频率截断准则)求解地表中点A处的动力反应,所得结果的对比如图3所示。
由图3可见,由子结构模态综合法求得的动力反应时程与波动法所得解析解相比,除在最初时刻由于模态截断的原因略有差别外,其他处相差很小。从而证明了将动力子结构方法引入到土层反应分析领域是可行的。下面检验本文所提改进方法的计算效率和精度。分别选取不同大小规模的土层有限元模型沿Y向划分成四个约束子结构,在正弦波输入下进行了等效线性化计算(迭代控制误差取为5%),并与按常规约束模态综合法所得结果进行了对比,计算时间的差别列入表2(计算硬件环境与2·3中相同)。由不同方法得出的小模型的地表处的绝对加速度时程与绝对位移时程对比如图4所示。
从表2中可以看出,当模型自由度较少时,由本文提出的改进方法进行等效线性化计算时所需的时间反而多于常规约束模态综合法所需时间,其原因在于对于小模型尤其是当保留的模态数较少时,其特征值求解时间在整个计算时间中所占比例很小(表1),使得本文方法的优势无从发挥。同时,从本文第三部分的公式推导中可看出,本文方法在后续的迭代过程中是以弱非线性代数方程组的求
解代替特征值求解的,对于小规模的计算问题来说,两者所耗计算时间变化不大,有时弱非线性代数方程组的求解所耗时间会超过特征值求解运算所花费的时间。但随着研究对象划分单元的增多也就是系统自由度的增加,特别是保留模态数较多时,特征值求解时间在每次迭代中所占比例会急剧增大。此时,由本文改进方法进行等效线性化所花
时间将明显少于常规方法,这一点可从表2中反映出来。由于对实际的复杂场地进行三维建模时,其自由度动辄几十万,可以预见,采用改进后的方法通常都会大幅度提高计算效率的。由图4等效线性化后地表绝对加速度时程与绝对位移时程的对比可看出,采用两种方法所得结果相差很小,只是在绝对加速度时程的初始阶段稍有差别,这主要是由于利用模态摄动法时舍去了初始参考系统(第一次迭代时的系统)的一些高阶模态所致,考虑到等效线性化本身的近似性,这一误差在工程上是可以接受的。
5 结 论
常规的子结构模态综合法总是通过模态分析,并基于频率截断准则截断部件的高阶模态,进而把有限元的运动方程变换到模态坐标空间进行求解。因此,从原始系统的物理坐标转换到保留部件的模态坐标是一切模态综合法的必要步骤。本文利用直接模态摄动法的思想,对常规的基于约束模态综合法的复杂场地等效线性化反应分析方法进行了改进,也就是在等效线性化分析的后续迭代过程中,以初始参考系统主模态的线性组合作为进行坐标变换的Ritz基,以弱非线性代数方程组的求解代替了原来耗时很多的特征值求解运算,使得在整个计算过程中各子结构只需对初始系统进行一次特征值求解即可。通过算例分析表明,对于实际的大规模土层反应分析问题,采用改进后的方法可显著提高计算效率,且具有良好的精度。
