摘 要: 神光Ⅲ的光学系统具有高功率密度运行的特点,对光学元件的抗激光损伤能力等提出了很严格的要求。光学元件内部的微缺陷会引起局域场强增强,采用时域有限差分方法对亚波长量级的缺陷进行了电磁场的数值模拟,并对数值计算的参数选取给出了定量的判断。
神光Ⅲ的光学系统由上万件大口径的光学元件组成。这样一个大型强激光系统具有高功率密度运行的特点,因此对光学元件的抗激光损伤能力等提出很严格的要求。目前已经提出的光学材料激光诱导损伤的主要物理机制有:电子雪崩电离、多光子吸收电离、杂质缺陷导致的局域强场吸收等。损伤机制大体上可分为场致损伤和热致损伤两类。但无论是哪一类,损伤都与材料内部的场强有关,场强越大,损伤的可能性也越大。
光学材料在加工的过程中,不可避免地在光学元件内部及亚表面有损伤存在。损伤缺陷在局部区域会产生光场增强效应,因此关于光场分布的理论计算就显得十分必要。已有的散射理论涉及到复杂的理论基础和分析算法,且不能够通用。本文尝试采用时域有限差分方法(FDTD)来进行材料内部微缺陷处电磁场的数值模拟,对计算过程中参数的选取给出了定量的判据,为进一步在元件表面及亚表面缺陷情形下的电磁场数值模拟打下基础。
1 时域有限差分方法(FDTD)
1.1 直角坐标中二维FDTD[1,2]
麦克斯韦旋度方程为
式中:E为电场强度;D为电通密度;H为磁场强度;B为磁通密度;J为电流密度;Jm为磁流密度。令f(x,y,z,t)代表E或H,在时间和空间域中的离散取以下符号表示
对于二维问题,离散化Yee元胞如图1所示。
二维情况下,设所有物理量均与z坐标无关,即 / z=0。于是由(1)式可得TE波的FDTD公式[1]为
式中：
m为格点编号,Δt为时间步长,ε为介电常数,μ为磁导率,σ为电导率,σm为磁导率。由于TM波与TE波存在对偶关系,具体公式可以通过ε与μ,σ与σm,E与H交换得出。
1.2 边界条件
由于计算机容量的限制,FDTD计算只能在有限区域进行。为了能模拟开域的电磁散射过程,在计算区域的截断边界处必须给出吸收边界条件,否则会在计算场区引入反射波。在总场-散射场区的分界面上也必须满足一定的条件才能将入射波只引入到总场区。用FDTD计算散射问题时通常将计算区域划分为总场区和散射场区,如图2所示。
边界条件主要涉及到两个方面:
1.利用二维Mur吸收边界条件[3]及线性插值等关系,离散化后可得TE波吸收边界条件的二阶近似为
式中:δ为空间步长。但对于二维矩形计算区域的角点,吸收边界条件的离散式需要特殊考虑。如对于左上角角点(i0, j0),TE波的情况下,本文采用的离散形式为
2.电磁散射问题中空间场可以写成入射场和散射场之和,这样,在截断边界附近只有散射场,是外向行波。为将入射波引入到总场区,需要在分界面上设置入射波电磁场的切向分量[4]。总场边界的四个角点也要作相应的处理。
1.3 离散间隔及计算时间步的估计
FDTD方法是以一组有限差分方程来代替麦克斯韦方程,即以差分方程组的解来代替原来电磁场偏微分方程组的解。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定的,这种代替才有意义。为了满足数值稳定性,时间和空间步长都必须满足一定的条件。通常来说,时间间隔必须小于波以光速通过Yee元胞对角线长度的1/2(二维情况)所需的时间。空间间隔必须小于λ/12。从理论上说离散间隔越小,目标建模越准确,计算结果也越精确,但为了使计算达到快速稳定,需要对计算时间及计算精度有一个折中。在实际计算中发现计算所需时间步按照电磁波往返穿越FDTD计算区对角线的3~5次来估计,或者说计算时间步为FDTD计算区对角线上元胞数目的12~20倍比较合理。
2 计算模型的选取和计算
入射波采用一维FDTD随时间逐步推进地在总场区引进入射波,这样可以减少散射场区的泄露,以下以3类情况为例对算法进行验证:(1)在均匀的体材料中传输的光波相位分布如图3所示,呈现标准的正弦波形式;(2)熔石英内部有一圆形气泡的电磁场模拟,计算参数为:气泡半径为λ/4,位于计算区域中间。熔石英的介电常数取为2.5,电导率为10-12。电场幅值为1的TM波自左边入射,步长为λ/40,总场边界: 10δ,140δ,吸收界:0,150δ,时间步等于1 200。计算得到电场幅值最大为3.57。同样的计算条件下,改变气泡半径为λ/2,电场最大幅值为4.32,参见图4;气泡半径为λ时,电场幅值的最大值为3·52; (3)熔石英亚表面有一圆形导体的电磁场模拟示意图,参见图5。亚表面问题相对较为复杂,涉及到半无限空间的离散与截断问题,还需要应用到阻抗边界条件[5,6]。
3 结 论
采用时域有限差分方法,模拟了熔石英中存在亚波长量级缺陷时的时谐场场强幅值及相位分布。当缺陷位于元件较深处时,可以不考虑分界面问题。通过计算模型参数的改变可以看出,当均匀材料中存在介电常数大于或小于材料的介电常数的杂质时,无论其形状及大小如何,都会毫无疑问地造成局域光场增大,增大的幅度与介质参数及相对位置有关系。
当光学材料亚表面存在缺陷时问题较复杂,本文初步模拟了熔石英中存在导体时的电场分布,为进一步光学元件表面及亚表面微缺陷二维及三维的数值计算,奠定了理论基础。
总之,时域有限差分方法作为一种数值计算的手段,不仅适用于导体,同样也适用于介质情况,对于光学材料缺陷的电磁场模拟,实际计算结果证明该方法是适用的。
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本文作者：柴立群, 许 乔
