摘 要: 对横向剪切干涉仪和哈特曼波前传感器的波前探测和复原进行了类比推导和仿真计算。结果表明,在相同输入波前、相同探测面元、相同拟合函数及阶数的情况下,横向剪切干涉仪的波前复原能力比哈特曼波前传感器强。主要原因是前者对波前的间接采样所包含的波前信息大于后者,并且前者比较容易增大对波前的采样。
在激光自适应光学系统[1,2]、光学元件的表面检测、激光的光束净化[3]等领域中波前传感器得到了广泛的应用。常用的波前传感器有横向剪切干涉仪(Lateral shear interferometer,LSI)与哈特曼波前传感器(Hartmann wavefront sensor,HWS)。传统的剪切干涉仪由于装置简单但波前复原繁琐,一般用来检测光学仪器的象差。本文讨论结合现代电子及计算机技术利用LSI测量光波波前的方法。并与HWS方法进行比较。
1 LSI波前复原
LSI的原理是将光束波前在某一方向上剪切后与原光束进行干涉,形成干涉图样。令待测光束波前为W(x,y),其光场E(x,y) =Aexp[ikW(x,y)]。若在x方向上剪切干涉,剪切量为s,则干涉图样为
I(x,y) = Aexp[ikW(x,y)] +Aexp[ikW(x-s,y)] 2= A 2{2 + 2cos[kΔWx(x,y)]} (1)
其中,ΔWx=W(x,y)-W(x-s,y)为波前在(x,y)点上的x方向差分值,k为波数。若干涉时在x方向上引入一倾斜量δx=θkx(θ为倾斜角),则干涉图样为
令没有剪切时的等厚干涉条纹为x方向剪切的标准条纹,即
通过对(2),(3)式条纹极值位置的处理,可以分别得到极值条纹满足kΔWx(x’,y) +kx’θ=nπ;kxθ=nπ,n∈Z。其两式的差即是波前W(x,y)在标准条纹极值位置处的x方向差分值
(x’i),yi,(xi,yi)分别为剪切干涉条纹和标准条纹上的极值位置坐标,即为W(x,y)上的采样点。i= 1,2 …,Nx,Nx=nfx×ns,nfx为标准条纹数,ns为每条条纹上采样点数。同理,可以得到波前W(x,y)在标准条纹极值位置上的y方向差分值ΔWyi(xi,yi)。i= 1, 2,…,Ny,Ny=nfy×ns,nfy为y方向剪切的标准条纹数。
假定待测波前可以由一组正交多项式拟合[4],
其中Pl(x,y)为拟合多项式,如ZerNIke多项式;Cl为展开系数。则待测波前W’(x,y)在LSI上x,y方向的差分值分别为ΔW’x,ΔW’y。对x方向
其中Xl(x,y) =Pl(x,y) -Pl(x-s,y)。记ΔW’xi(i= 1, 2,…,Nx)为拟合波前差分值在标准条纹上的采样值。定义优值函数
其中,σi为第i个数据点的测量误差。令 χ2/ Cl=0,可得
其中
对于(8)式的求解,一般可以有正规方程组法和奇异值分解法(SVD),但由于正规方程组法对舍入误差十分敏感,故利用SVD法从(8)式求得Cl。x方向剪切时,由多项式的性质可知,(6)式中Xl(x,y)比Pl(x,y)的阶次低一阶,使Cl不完备。通过对y方向同样处理后,两次系数平均求得Cl,代入(5)式便可复原出待测波前。
2 HWS波前复原
HWS原理是将光束波前在Nh个子孔径上将波前分割为Nh块,在各个子孔径的焦平面探测出各自的光斑重心。设待测光场如(1)式,则第n个子孔径对应的光斑重心为
其中xcj(j=1,2)代表光斑重心坐标(xc,yc);xfj(j=1,2)分别为子孔径对应焦平面坐标rf=(xf,yf);An、Afn分别为第n个子孔径及其焦平面对应的积分区域;F为子孔径的焦距;i为虚数标识符号。
利用Fourier变换的性质,导出第n个子孔径上的波前平均斜率为
其中xj(j=1,2)为子孔径平面坐标r=(x,y);A为子孔径面积。易知待测波前在HWS第n个子孔径上的平均斜率,即将(5)式代入(8)式得
定义优值函数,其中,σn为第n个子孔径上的测量误差。令 χ2/ Cl=0,可得
其中,11hou
同样,利用SVD方法对(11)式求解,求得Cl后即可复原出待测波前。
3 数值仿真与分析
数值仿真所用的物理模型装置如图1。图中W(x,y)为待测波前,HWS实现了对W(x,y)的测量,CCD1用于测量各个子孔径对应焦平面的光斑重心,从而计算出波前倾斜Txj(n),n=1,2,…,Nh;两个LSI实现了两个方向的剪切干涉,CCD2和CCD3用于测量波前两个方向的剪切干涉条纹,进而计算出波前的差分值ΔWxi,i=1,2,…,Nx、ΔWyi,i=1,2,…,Ny。利用上述测量值,结合(8),(11)式即可复原波前。仿真时,取测量误差σ=1。
为了便于比较,仿真计算中三个CCD的分辨率均为128×128。其中,HWS的子孔径数为Nh=52,呈六角形排布,每个子孔径对应象素为16×16;LSI剪切量约为波前直径的1/10,约占12×128象素,标准条纹选取20条,平均每条条纹占6×116象素。拟合函数取Zernike多项式[5],模阶数Nz分别选取21、36、45阶。待测波前分别选取随机波前与模式波前。随机波前(波前1、2)采用平面波通过湍流模型[6]构造,见图2(a)、(b)。模式波前(波前3、4)为慧差和球差,见图2(c)、(d),模阶数分别为8和13,波前函数分别为W3(x,y)=x(x2-3y2)和W4(x,y)=6(x2+y2)2-2(x2+y2)-1。
对于这两种波前复原方法的评价标准我们采用波前拟合方差σr(复原波前与原始波前在对应网格点相位残差的均方根误差),与原始波前各网格点的均方根误差σs之比σr/σs。
在上述条件下,仿真结果如表1。图3给出了波前1的HWS和LSI的复原波前等高线图(Nz=45)。
由图3直观比较和表1的仿真数据比较我们可以看出, LSI的波前复原能力比HWS强。LSI的波前复原能力强的主要原因是:HWS和LSI都是对波前的间接测量,但LSI对波前的采样远大于HWS(Nx+Ny 2Nh)。尽管不是直接采样,但LSI测量所携带的波前信息还是大于HWS。另外虽然大量的采样点会带来测量误差,但最大似然估计的x2拟合还是大大消除了这些误差。
另外,对于LSI来说,加大采样点数是比较容易的,只要改变等厚干涉的倾角就可增加标准条纹数从而增加采样点数,但对HWS而言,要增加采样点数却要困难得多。
从表1中还可以看出,随机波前的复原一般随拟合阶数的增加而改善。对模阶数一定的模式波前(Nz=8,13),采用多项式拟合时在多项式模阶数接近波前的模阶数的情况下,拟合精度比较好,两者模阶数偏离越大,误差也越大。
从以上比较来看,LSI在波前复原能力上比HWS有优势,并且实现装置简单。不足的是:从(8)和(11)式中可以看出,在α提前计算的情况下,LSI的运算量比HWS大,主要在于数据点和β的计算。这样若将LSI应用于自适应光学,会影响适应光学系统的带宽。
最后,必须指出本文的仿真计算中没有考虑HWS和LSI的自身测量误差,即为理想条件的假设。实际条件下的比较还必须考虑各种测量条件和自身测量的限制。
4 结论
通过对横向剪切干涉仪和哈特曼波前传感器波前探测和复原仿真计算,在相同输入波前、相同面元、相同拟合函数及阶数的情况下,结果表明横向剪切干涉仪的波前复原能力要大于哈特曼波前器。其主要原因是横向剪切干涉仪对波前的间接采样所包含的波前信息要多于哈特曼波前传感器接采样。
致谢 仿真中随机波前的构造采用王英俭博士论文中湍流模型的部分程序,在此表示衷心感谢!
参考文献:
[1] Rimmer M P, et al. Evaluation of large aberrations using a lateral-shear interferometer having variable shear[J].App Op
1975,14(1):142~150.
[2] Welsh B M, et al. Fundamental performance comparison of a Hartmann and a shearing interferometer wavefront sensor[J].Optics,1995,34(21):4186~4195.
[3] 张 强,许 冰,姜文汉.环形激光光束的波前复原算法比较[J].强激光与粒子束, 1999,10(4):513~516.
[4] Rimmer M P. Polynomial fitting of interferograms [R]. ITEK technical report, 1972, appendix A.
[5] Malacara D. Optical shop testing[M]. John Wiley &Sons,Inc.,1978,appendix 2.
[6] 王英俭.激光大气传输及其相位补偿若干问题研究[D].中科院安徽光学精密机械研究所,1996.
本文作者：许晓军,陆启生,刘泽金
