随着科学技术的不断进步,摄影测量技术获得飞速发展,快速强大的计算机可以开发更为复杂精密的算法从而提高了测量精度并简化了测量程序;大像敏面高分辨率的CCD和高分辨率的图像采集设备的开发,使得摄影三维曲面或三维轮廓测量分析技术以其结构简单、非接触、数据采集速度快、操作方便、成本低等优点在工业、科学研究、国防等领域得到了日益广泛的应用。由于在设计时设计的工件表面的面形参数都是标准方程面形参数,而我们由摄影测量获得物体表面点的三维坐标值,它们的坐标系是由定标靶确定的,如何来获得物体的面形参数并把它与面形的设计参数进行比较呢?在近场摄影测量在工业中的应用课题的研究中,我们提出了首先用被测点的坐标值,由最小二乘法获得测量坐标系下的一般三维二次曲面方程的参数,然后经过平移变换和旋转变换得到标准方程的参数,再把它与设计的参数相比较,并可以由获得的标准方程重构出被测物体的曲面图形。
1 摄影测量原理
尽管不同的摄影测量系统采用的数学模型有所不同,但所有模型的原理都是由小孔成像的原理发展而来的,如图1所示。
空间任何一点P在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表示,即任何一点P在图像上的投影位置p为光心O与P点连线OP与图像平面的交点。由比例关系有如下关系式:
其中,(x,y)为p点的图像坐标;(Xc, Yc,Zc)为空间点P在摄像机坐标系下的坐标。用齐次坐标与矩阵表示上述透视投影关系:
由于摄像机可安放在物空间的任何位置,我们在物空间选择一个基准坐标系来描述摄像机的位置,并用它描述物空间中任意位置,该坐标系称为物空间坐标系。它由Xw, Yw,Zw轴组成。摄像机坐标系与物空间坐标系之间的关系可以用旋转矩阵R与平移量t来描述。因此空间中某点P在物空间坐标系与摄像机坐标系下的齐次坐标如果分别是(Xw, Yw,Zw)T与(Xc, Yc,Zc)T,于是存在如下关系:
其中,R为3×3正交单位矩阵;t为三维平移量;O=(0 0 0);M1为4×4矩阵,将式(3)代入式(2),我们把Xw, Yw,Zw用X, Y,Z代替,经过变换整理可以把物像坐标关系写成如下矩阵:
式中C=[a1,a2,…,a11]T,这是11个线性定标参数,包括角度变量和投影中的坐标值,对于单个摄像机,我们由6个以上点的物空间坐标和像面平面坐标得出12个以上的方程,利用最小二乘法就可以求得参数矩阵C。但只用一个摄像机我们利用式(4)无法求出物点的空间坐标,这样我们就需要两个摄像机(如图2所示)分别解出参数矩阵C,然后分别代入式(4),就可由此确定物点的空间位置。
由于成像系统中主光线的球差随视场角的改变而不同,因此在一对共轭的物像平面上放大率随视场变化,不再是常数,因而光学系统产生畸变。把径向和切向畸变考虑进去,引入透镜畸变补偿模型式[1](5):
设像面坐标中心在透镜主光轴与像面的交点,式中r=(x2+y2)1/2,是像面上的点到光轴的距离,k1,k2,k3代表径向畸变因子,p1,p2为切向畸变因子。补偿后的x′=x+Δx,y′=y+Δy,将其代入式(4),经整理得下述方程组:
上式中共有16个参数,需要8个以上的点解出,然后利用已知参数就可以求解物点在物空间的三维坐标。
2 曲面面形分析方法
我们由摄影测量法得到被测物的三维坐标点的坐标值,其测量坐标系是由定标靶确定的,而被测物设计是按二次曲面的标准方程设计的,应该满足于如下的三维二次曲面的一般方程:
把测量得到的点的坐标值
代入式(7)中,令
则方程组写成矩阵形式为:
对于关于未知向量A的方程组的求解,如果所测得的点在三维二次曲面上分散分布,M的行数远远大于10时,矩阵M的秩为10,向量A中的所有元素都为0,就得不到二次曲面的方程。从测量试验实际出发,考虑到在测量时定标靶坐标系的z轴方向与被测物体设计坐标系的z轴方向基本一致,a3≠0,那么就可以假设a3为1,把方程(7)中2z移到方程的右边。这时令：
把方程组写成矩阵形式为:
这样我们就可以按照最小二乘原理求得向量A,即:
求出方程(7)的所有系数之后,就可以求出其所确定的二次曲面坐标变换的不变量[2]l1,l2,l3,l4,K1,K2,其中：
]
方程(7)所确定的曲面面形就可用不变量l1,l2,l3,l4,K1,K2判别,判别方法如表1所示:
解出以坐标变换不变量l1,l2,l3为系数方程(7)的特征方程的特征根,我们就可以写出方程(7)的标准形式,即中心型曲面方程经过坐标变换后可化为:
无心型曲面方程经过坐标变换后可化为:
多心型曲面方程经过坐标转化后可化为:
3 椭圆抛物面微波天线三维测量面型分析
我们用摄影测量法测量小型微波天线,得到其表面1 429个点的三维坐标值,把它们代入式(10)中,得到A=[-0.0045 -0.0045 -0.00002 -0.00003 0.0002 -0.00021 0.6389 0.9170 -311.7226]T,a33=1,由于事先知道微波天线的面型为椭圆抛物线型,只需求出坐标变换的不变量l1,l2,l3和l4。我们求出l1=-0.0089, l2=1.9944e-005,l3=0,l4=-1.9301e-005,把得到的坐标不变量按照表1进行对照,也可以判断出被测曲面为椭圆抛物面型。把l1, l2和l3代入方程(11),解出方程的特征根分别为λ1=-0.00447,λ2=-0.00441,λ3=0。由方程(13)经整理得出被测物体椭圆抛物面的标准方程为:
被测微波天线的设计的表面曲面方程为:
考虑到天线制作过程的误差因素和测量过程中的误差因素,我们认为该分析方法是可行的,由得到的抛物面方程进行三维重构,得到天线的三维重构图如图3所示。
4 结论
本文提出的三维二次曲面的面形分析方法,用以解决摄影测量中测量坐标系和工件设计坐标系不一致的情况下进行面形参数比较的问题,并在实验中验证其可行性。由于该方法具有普遍性,可以解决各种三维测量方法中类似的问题,具有广泛的应用领域。
参考文献:
[1]张靖瑜.近场数字摄影测量技术的应用基础研究[D].北京:北京机械工业学院电子信息工程系, 2001.
[2]蔡倩倩,徐履瑚,梁在中,等.实用数学手册[M].北京:科学技术出版社,2000.
作者简介:桑新柱(1977-),男,山东菏泽人,北京机械工业学院电子信息工程系硕士研究生,主要从事光电信息技术研究。
