摘要：激光粒度测量中，当样品到透镜的轴向距离较大时，由于透镜口径有限，会因渐晕而降低测量的精度和准确度。针对这种问题，应用灰色系统理论事先检验数据，来判断渐晕点位置，然后通过建模对渐晕点后的衍射光能信号进行灰预测，从而修正渐晕的影响。通过对距透镜不同位置处的粒子板进行测量，用灰色系统建模和无模式算法处理数据验证了该方法的有效性。这种方法可以提高距离镜头较远或覆盖范围较大的样品的测量准确度和精度。
1 引 言
在消防、冶金、燃烧、粉体加工、航空航天等许多领域，需要对喷雾液滴或粉体颗粒进行测量[1-2]。激光粒度仪因其具有非接触性、不破坏样品场分布的特性，成为测量喷雾或粉体粒径的理想仪器。一般来说，粉体或液雾样品场覆盖的范围大，有的甚至覆盖直径达6m以上。如果样品到透镜的轴向距离比较大，由于激光粒度仪的透镜口径有限会产生渐晕现象[3]，使测量结果偏离实际值。由于激光粒度仪工作在前向小角度时，探测器一般是按等比半径连续分段的，测量的粒径也是连续分布，所以在焦平面上探测的衍射光能是一条光滑曲线，具有一定的规律性，而发生渐晕的探测环上光能分布不再满足与其它探测环相同的规律。为此，可以通过一定的方法判断并修正发生渐晕的探测信号。
灰色系统理论是一种研究少数据、信息不确定性问题的方法。以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”的不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控[4]。在激光粒度仪数据处理中，用灰色系统理论对衍射光能数据进行级比检验，找到渐晕点发生的位置，通过使用灰色系统预测模型GM(1,1)[4]对渐晕点后的数据进行灰预测，可以修正渐晕影响。
2 原理
2.1 粒径测量中存在的问题
激光粒度仪通过在焦平面上接收颗粒的衍射光能信号并经过适当的数据处理方法来测量粒径[5]。当被测量颗粒与透镜的轴向距离较远时，由于透镜孔径的有限，必然会造成渐晕现象。如图1 所示，探测器位于焦距为f 的透镜后焦面上，颗粒与透镜的轴向距离为L，透镜直径为Da，入射平行光直径为Db，探测器最外环半径为Sa，探测器能接收到的最大衍射角为θ1，透镜能接收的最大衍射角为θ2，当 θ2≤ θ1时不影响光能的接收，即不会发生渐晕，此时应该满足以下关系。
图2 是将某粒子板置于激光粒度仪透镜前200 ~ 2 000 mm 的不同位置时探测到的光能信号。所使用的激光粒度仪参数为Da= 63 mm，Db= 12 mm，f = 300 mm，Sa= 15.25 mm，探测器共 32 环。由式(1)可得不发生渐晕的条件须满足L ≤ 500 mm。从图2 可以看出，从某个探测环开始信号突然减小，这种信号突然减小的情况随 L 增大越越靠近半径较小的探测环，说明渐晕现象随L 增大而加剧。比如当L = 2 000 mm 时，第19 环以后探测到的光能便迅速减小，在第23 环以后探测信号基本为0。显然，由于探测信号的不准确，直接使用有渐晕影响的衍射信号进行计算会带来误差。
2.2 灰预测方法修正渐晕的原理
灰色系统预测的基本原理是通过GM(1,1)建模序列建立GM(1,1)模型，通过所建模型进行预测。灰预测一般分为级比检验和建模可行性判断、数据变换处理、GM(1,1)建模、检验和预测等步骤[4,6]。在前向小角度范围内，激光粒度仪的探测器一般是按等比半径连续分段的，即每个探测器覆盖的衍射角按等比递增。根据夫朗和费原理计算可知，未发生渐晕时，探测器阵列探测到的光能信号序列是一条离散的光滑曲线，满足灰色系统建模的要求。
应用灰色系统理论修正激光粒度测量的渐晕影响时，首先要判断渐晕点的位置，然后建立模型进行分析和预测。建模中，设实际衍射光能信号序列为x(0)(m)，m = 1,2,…,32。
2.2.1 级比检验和建模可行性判断
级比的计算公式为
其中σ(k)为级比，级比满足覆盖
的序列可作为GM(1,1)建模的序列，其中n 为建模序列中的元素总个数。
2.2.2 渐晕点判断及数据变换处理
设序列x(0)(m)的最大值为x(0)(J)。在激光粒度测量中，位于x(0)(J)两侧的级比是不同的，而且在可操作的测量距离内，渐晕一般发生在第J 环以外的探测环上。为简化建模过程，可从x(0)(J)开始进行级比检验，当第K+1 环以后级比明显发生变化时则K+1 环即为开始发生渐晕的探测环，此时GM(1,1)建模序列为
2.2.4 检验
为保证预测效果的可靠性，需要根据计算得到的模型值进行残差检验和级比偏差值检验，其中残差为
2.2.5 预测
本文的主要目的是通过没有渐晕的光能信号序列(4)预测得到发生渐晕的信号值 (x)(0)x k+(k ≥ K)，从而达到修正信号的目的。
根据式(8)，当 k ≥ K 时可得到发生渐晕时的预测信号 (x)(1)（ k+1），经累减还原得 (x)(0)（ k+1）。
3 实验及分析
对图2 的实测光能数据应用灰色系统理论建模并进行预测，得到修正后的数据如图3 所示。表1 是建模和预测序列及变量a、b 的值。
图4、5 分别是对图2、图3 的数据采用无模式计算后得到的粒径分布。表2 是将粒子板等间隔分别置于透镜前 100 ~ 2 000 mm 的20 个不同位置测量，用GM(1,1)模型得到预测值后用改进共轭梯度法[8]的无模式算法计算，得到的结果平均值和变异系数(COV)，图6、7 是测量结果的相对偏差分布。由于该粒子板际上符合 Rosin- Rammler(RR)分布[9]，故在图6、7 中取L = 100 ~ 500 mm时，即没有发生渐晕时的5 次测量值，采用 RR 模式计算[3]得到的参数平均值作为参照值，将无模式计算结果与之比较，得到相对偏差分布。表2 中 D50、D10、D90分别表示累计体积含量为50%、10%、90%时的粒径，SMD 为索太尔平均直径，VMD 为体积矩平均直径[9]。
由图3 可见，经灰预测后，光能信号序列得到了很好的修正，表现为L 不同时的光能信号曲线基本重合。同时，从表1 的数据可以发现，预测序列一般比根据式(1)计算的渐晕环数多出几环，这与样品摆放位置不在光轴中心或偏离光轴一定角度造成渐晕加剧等因素有关。
图4 中，对于原始的测量数据，当L 值增大时，计算得到的粒度分布变窄，分布曲线形状也有很大差别;图5 中，经灰预测后的数据经无模式计算得到的粒度分布形状基本一致且位置基本重合，不存在分布变窄的现象。
表2 中数据可见，对于实际测量的信号，计算结果D50和D90变异系数分别为2.56%和3.79%，重复性精度较好，但D10、SMD、VMD变异系数较大，尤其是D10的变异系数达到13.64%。从图2 可见，造成这种误差的原因主要是因渐晕使半径较大的探测环上，即代表小粒径方向的信号减小所致。在 GM(1,1)模型预测后的数据处理结果中，代表粒径平均值的参数D50、SMD、VMD 均小于3%，而代表粒径分布范围的参数D10和D90均达到4%以内，说明这些粒径分布参数均具有较好的重复性精度。同时，比较两种情况下的数据处理结果，D90的差别不大，这是因为采用GM(1,1)模型预测，没有改变未发生渐晕的内环光能信号，而这些信号是大粒径的有效信号。图6 数据说明，使用实测光能信号计算粒径分布时，随着L 的增大，D50和D90与参照值的相对误差变化很小，而 D10、SMD、VMD 的相对误差逐渐增大，在L = 2 000 mm 时 D10、SMD、VMD 分别达到10%、20%和 45%左右，已经不能满足实际测量需要。这些参量都是向数值增大的方向发展，与上面分析中渐晕损失小粒径信息是一致的。
从图7 中可以看出，经灰预测修正后，粒径参数与参照值的误差都明显减小，D50、SMD、VMD 的相对误差均小于3%，D10和D90均小于6%，具有较好的准确度。
4 结 论
在激光粒度测量中，当样品距离透镜的轴向距离较远时会产生渐晕现象，影响测量的精度和准确度，并且渐晕越严重则测量结果越向大粒径方向偏离。通过应用灰色系统理论对渐晕点进行判断并使用 GM(1,1)模型建模，经灰预测可以有效地修正渐晕影响。在激光粒度测量中，采用这种方法可以扩大可测样品区的覆盖范围，提高精度和准确度。
参考文献：
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基金项目：国家自然科学基金(60527002)资助项目
作者简介：魏永杰(1971-)，男(汉族)，河北唐山人，博士研究生，主要研究工作是粒子场测量理论与技术等。E-mail: yj.wei@163.com
