摘要：针对大数值孔径旋转抛物面反射镜对倾斜入射光线较大的散焦和离焦问题，本文设计一种用于大数值孔径旋转抛物面反射镜光轴偏角测量的系统，用于对大数值孔径旋转抛物面反射镜光轴与结构轴的校准。该方法根据旋转抛物面反射镜成像原理，采用CCD 作为成像器件，分析轴偏所带来的光斑偏移量。实验结果表明，系统达到偏角角度分辨率0.06′，最大可测角度3.65′，该参数可以满足抛物面反射镜用作接收光学系统的应用。
1 引 言
角度测量是计量科学的重要组成部分，特别是小角度的测量在精密加工、航空航天、军事和通讯等许多领域都具有极其重要的作用和意义。光学测角方法比一般的机械和电磁方法有更高的精度，而且更容易实现细分和测量过程的自动化。高精度动态小角度测试系统在国防科研领域有着迫切的应用需求。旋转抛物面反射镜是一种非球面金属反射镜，它可以在特殊环境条件下保证光学系统基本性能，比如工作环境温度、系统抗冲击、振动等，在军事和空间领域得到广泛应用[1]。小数值孔径(NA)的抛物面镜作为非常好的成像光学器件，已经广泛应用于天文望远镜及通信系统;对于大数值孔径旋转抛物面反射镜的聚焦特性最近已经也有许多研究[2-5]，数值孔径很大的旋转抛物面镜对平行光具有很好的聚焦作用，但是离轴特性比较差[6]，主要应用于军事和航天的光线收集接收光学系统或激光共焦显微镜系统。大数值孔径旋转抛物面反射镜作为光线收集的接收光学系统，对同轴平行光入射具有非常好的聚光效果，但是当入射光与光轴有夹角时，倾斜入射光引起抛物面反射镜的散焦[7]，所以旋转抛物面反射镜对于角度非常敏感;在旋转抛物面反射镜的安装和调试过程中，保证结构轴与光轴的同轴非常重要;本文设计一种旋转抛物面反射镜光轴与结构轴装调过程中角度偏差的测量仪器。
2 偏角测量原理
2.1 理想反射镜的轴角度误差引起的离焦
理想的反射光学系统，当光学系统的光轴与结构轴不平行时，正入射时反射像点在焦平面上偏离焦点位置，当我们以结构轴为转子转动光学系统时，反射像点在像面上划圆，且圆的半径如图1：
其中：β为光学系统的结构轴与光轴夹角;f 为光学系统的焦距;由于光学系统的结构轴与光轴有夹角，则正入射的光在焦面上将反射到R，其中R1、R2是由于光轴偏离水平角β，正入射光对应光轴的入射角加反射角在焦面上的离焦量。
2.2 旋转抛物面反射镜的轴角度误差引起的离焦
当一束平行光倾斜入射到旋转抛物面镜时，聚焦光斑不仅会在焦平面上位移，而且还会出现散焦，反射光的焦移量与散焦情况与入射光的角度不是线性关系，它们与光在旋转抛物面镜上的反射位置有函数关系，镜面不同位置点的反射光会具有不同的离焦量。
在镜子光轴附近区域的点反射光的离轴情况与标准反射镜的是比较一致(另文发表)，R1≈R2。这时我们可以采用上述的式(1)作为测量公式。在同轴反射光学系统中，由于需要将收集到的反射光导出，这种应用环境通常镜子都是环状结构，如图2。镜子的内沿反射光聚焦到离焦量R21处，镜子的外沿反射光聚焦到离焦量 R22处。
将环状结构的旋转抛物面镜通过ZMAX 仿真，可以看出在光线倾斜0.05°时，光斑形状图3。即聚焦光斑的能量密度在离焦量小的地方较大，而这个离焦量基本上是由镜子的内沿反射产生的，所以对于环状镜在系统设计时，不同的镜子参数需要拟合出镜子内沿的离焦量与入射光角度的函数作为测量方程。即函数R21=f(α)。旋转抛物面镜抛物面方程：
对于f 等于40 mm，外径45 mm，内径25 mm 的抛物面镜，当光线偏角αk 时，焦平面上在y 方向的离轴量r[10]。
其中：抛物面上反射点 P 与焦点 F 的连线与 x 轴夹角为θ;根据上面的讨论，我们将θ对应的反射光离焦位置作为光斑检测的基准，则：反射光在焦平面上的离焦随光倾斜角变化规律按照式(3);当θ为确定数时，式(3)简化为
式中k 是加权系数，随θ的不同而有变化。标准反射镜k =1。
如图4 所示，镜子结构与光轴有偏角β，也就相当于平行光以偏角β入射，对于特定的镜子内沿点与焦点F 连线与x 轴夹角θ1，我们可以根据式(4)计算出离焦r(θ1，β)随β变化的数据，将数据作线性拟合，可以得到对于上述镜子的R21：
旋转抛物面反射镜，当光学系统的光轴与结构轴不平行时，反射像点在焦平面上偏离焦点位置，反射光路如图5，当镜子倾斜β平行光入射时，相当于反射镜的光轴与平行光之间有了夹角αk =β，对于镜子反射的θ1光线，在像面上得到圆半径随入射偏角β的函数：
即只要将抛物面镜以结构轴旋转，在焦平面上光斑划圆的规律，遵循上面式(6)。
3 轴偏角测量系统
3.1 硬件系统
由上面的分析我们知道，当抛物面镜光轴与结构轴偏离时，采用平行光入射抛物面镜，以结构轴为轴心旋转抛物面镜，在镜子的焦平面上测量离焦光点的运动轨迹 R，就可以通过式(6)计算出抛物面镜结构轴与光轴之间的夹角。
抛物面镜轴偏角测量系统由以下几个部分组成：平行光发射系统，接收光学系统，成像光学系统，CCD图象传感器，计算机控制与图象处理系统，如图5(a);测量光路图如图5(b)。平行光管发出高质量平行光，经45°部分全透部分全反镜后，垂直入射到待测抛物面镜上，会聚成一微小光斑;如果抛物面镜光轴与结构轴重合，则旋转抛物面镜聚焦光点不动;如果抛物面镜光轴与结构轴偏离β 时，则旋转抛物面镜聚焦光点将按照式(6)的半径划圆;采用CCD 作为聚焦光电的探测器，我们可以通过CCD 观察到反射聚焦光斑的运动轨迹;当镜子转动时，聚焦光斑的轨迹经物镜成像到CCD 上，计算机对CCD 上的光斑进行采样处理，即可获得所成像点的运动轨迹，并可计算出反射镜光轴的偏心角。
3.2 处理算法
通过最小二乘法拟合圆算法确定像点运动轨迹的半径;最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小[11]。最小二乘法通常用于曲线拟合;很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵，用最小二乘形式表达。
由此，可以根据任意给定的几个坐标点来确定由这几个点构成的圆的半径大小。即当转动主镜的结构轴时，CCD像平面上的光点会以半径R，沿着机械轴心的投影划圆。所以，只要通过CCD采集的图像信息，便能通过上述算法找出圆心位置及光斑轨迹圆的半径R。
3.3 实验研究
通过VC6.0 编程，操作选CCD 帧率为 15 帧/s，在屏幕上可实现像点运动状态的实时显示，在屏幕上实时显示真实像点的运行状态，并显示出所采集像点中心的运行轨迹;准确计算出像点在被测系统焦平面上的扫描圆直径和像点大小，根据被测系统焦距，计算出光轴偏心量;根据被测系统焦距，由公式：
可计算出光轴偏心角。其中：R 为拟合圆半径，m 放大倍率，f 为焦距。采用40 倍放大的成像光学系统作为 CCD 传感器的镜头，CCD 传感器采用大恒图像系列数字摄像机DH-SV1310FC/FM。该CCD 技术指标：分辨率：1 280×1 024(1 310 720 pixels);光学尺寸：2/3 英寸;像素尺寸：6.45 μm×6.45 μm。焦面上可以被CCD接收到的最大面积就是物镜的最大物面尺寸：0.22mm×0.17 mm;当旋抛物面镜焦距 40 mm，旋转时光斑划圆，所能得到的最大半径：R1=0.017/2=0.085 mm;可测量的最大偏角：β =R1/2.3 f= .18′;位置分辨率(最小 10pixels)： d = 10 ( pixels) ×6.45×10-3/40=0.001 6mm;角度分辨率： β= d /2.3 f=0.06′。
运用本实验系统，对上述焦距 40 mm 抛物面反射镜的轴偏进行校准实验，图6 为实验结果输出界面，实验达到角度分辨率0.06′;最大可测角度3.5′;该可检测的分辨率数据，达到高精度旋转抛物面镜作为光线收集器件的要求。
4 总 结
本文根据斜入射光旋转抛物面反射镜的离焦特性，给出了抛物面反射镜的离焦特性及实用的函数拟合方法;设计了抛物面反射镜轴偏测试系统;研究了 CCD 成像拟合圆算法;通过实验对特定的抛物面反射镜进行了轴偏校准实验，达到偏角分辨率 0.06′;最大可测角度 3.5′，该参数可以满足高精度抛物面反射镜用于光线收集的接收光学系统应用。
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作者简介：王英(1962-)，女(汉族)，河南郑州人，副教授，博士，主要研究工作：激光检测,激光器件与技术，光通信器件。E-mail: wy@mail.hust.edu.cn
