摘要：针对超薄反射镜径厚比大，自身刚度小，更易受环境变化影响面形精度的问题，本文对一块口径 500 mm超薄实验镜的主动支撑方案进行了有限元分析，并提出了主动支撑方案。本文包括以下内容：1) 利用有限元软件系统建立了 500 mm 超薄镜面的有限元模型;2) 利用 ZerNIke 多项式几个低阶像差来模拟镜面的制造误差和工作环境变化引起的镜面形变，得到超薄镜面上各点的误差值;3) 在分别计算出各个致动器响应函数的基础上，给出了该超薄镜具有最佳主动校正能力的致动器分布的优化方案;4) 通过对比不同厚度的超薄镜的主动校正能力，给出了500 mm 口径超薄镜的最佳厚度。
1 引 言
空间光学的发展要求光学系统主镜的口径增大，体积和重量也越来越大。空间光学系统中光学元件的超轻量化问题已越来越为人们所重视，解决这一问题将为整个航天发射计划节约大量资金[1]。超薄反射镜概念的引入是解决重量问题的最佳方案。超薄是指镜子由传统的厚度、直径比在1:6-1:10之间下降一个甚至两个数量级，其刚度由支撑调节的致动器来保证，精密的调节利用反馈控制技术，主动地改变光学元件的位置、形状或光程来适应外界条件的变化，使镜面面形达到理想的精度要求。目前国内外已越来越多地采用主动超薄镜技术解决这一问题。采用这种光学技术具有以下一些优点[2-3]:
1) 可以有效地减轻镜子的重量，减小自重变形，从而也减少了发射费用;
2) 可以通过致动器有效地校正镜子的镜面误差，改善光学面精度;
3) 对镜面的加工精度要求不高，可以大大地降低了制造成本;
4) 完成安装后只需要对镜面进行定期检测和校正，不需要拆卸返修，能节省时间、降低维护费用，延长主镜的工作寿命。
2 超薄反射镜简介
美国将于2010 年左右发射使用的 NGST(下一代空间望远镜)就将采用超薄反射镜技术。超薄镜厚度仅为几个毫米，而其口径却可以达到数百毫米甚至上千毫米，因此反射镜连同其支撑机构和调节机构的面密度仍然可以保持在一个小的量级上。在 Arizona 大学首先制作完成的一块口径530 mm，厚2 mm 的模型镜中，共使用了36 个致动器，每个致动器的重量仅40g，镜子的全部总重量(包括碳纤维支撑架)为4.73 kg。经过致动器的调整，面形精度rms 值能达到53 nm。图1为亚利桑那大学研制的超薄镜样品。
目前Arizona 大学正在研制口径更大的薄膜型反射镜。有关超薄主动反射镜技术所见报道及文献仅限于美国 Arizona 大学光学中心的研究及我国长春光学精密机械研究所的薄膜型反射镜研究[3-6]。
3 超薄反射镜主动支撑方案优化设计
主动光学反射镜是通过分布在反射镜背面的致动器阵列向反射镜施加轴向作用力进行镜面面形控制及波面误差的校正，其控制和校正能力的大小与致动器阵列的数量和分布，以及装卡定位方式等因素密切相关。本文利用有限元法对光学反射镜在改变致动器数量和分布等多种参数下的有限元模型进行静力学分析，给出了评价主动反射镜镜面控制和校正能力的方法及最优设计方案。
3.1 超薄主动反射实验镜
表1 为口径500 mm 超薄实验镜的参数，根据非球面公式：
其中：C=1/R，可以计算得到超薄镜在口径500 mm(图2 中的 l)处的矢高(图2 中的 h)为3.203 mm。因此有h / l=3.203/500=0.0064，同时由于主动光学中致动力对镜面控制的变形量很小，是微米甚至纳米数量级，而超薄镜的厚度为(2～4 mm)，因此由弹性力学理论可知当h / l<0.1，最大挠度小于镜面厚度时，可以看作求解球扁壳的小挠度问题[7]。
实际工程问题往往比较复杂，在一般情况下解析计算法应用较少。目前在工程结构分析领域中应用最广泛的数值模拟方法为有限元法。有限元的线性静力分析的主要步骤是将问题的求解划分为一系列的单元，单元和单元之间人为仅有一些节点相连接，以这一系列离散的单元集合体近似替代连续体结构。由于单元的形状相对简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程集合在一起形成总体代数方程组，加上界条件后即可对方程组求解[8]。
利用PATRAN的几何建模功能对超薄实验镜进行几何建模，对其进行单元网格划分并定义材料属性。单元类型采用薄壳单元体，共划分了23 375个四节点单元体，23 638个节点。坐标系采用右手螺旋直角坐标系，z轴垂直纸面向外，坐标原点位于镜面中心。
3.2 超薄实验镜面形主动控制、校正方法
文献指出在镜面上各个致动器施加作用力不大，由此引起的镜面变形量很小的前提下，可以认为各致动器引起的超薄镜面总的变形量为其单独作用时引起镜面变形的线性叠加[9]。
本文作者通过计算机仿真的方法验证了单个致动器响应函数的镜面变形量线性假设及多个致动器同时作用时的综合作用的面形变化函数为各个致动器单独作用时引起镜面变形的线性叠加假设对于径厚比远远大于传统光学零件的超薄镜同样成立。建立了超薄主动镜面形控制与校正的数学模型：用Wi(x，y)表示第i 个致动器所引起的镜面变形，则镜面总的变形量W(x，y)可表示为
3.3 超薄主动实验镜面形误差的校正能力的评价
由于镜面的制造误差和工作环境变化引起的镜面形变是随机产生的像差模式，我们无法确切知道超薄镜面的面形误差情况，从我们制造镜面的经验可知，镜面的制造误差主要为低阶像差，约占总误差的80%以上，而 Zernike 多项式各项之间满足正交条件。因此可以通过有限元仿真得到超薄主动镜面分别校正多个低阶Zernike 多项式的基元波面(如初级球差、初级像散，初级慧差的基元波面、上述三种初级像差基元波面的组合，由于 PATRAN 软件中长度单位为mm，为方便计算，基元波面单位为μm)的镜面残余误差(以RMS 值来表示)，来评价支撑方案的主动校正能力。超薄镜是在空间失重的环境下工作，但考虑到主镜地面上的检测与调整均受到重力的影响，仅对重力场下超薄实验镜检测与调整状态(即竖直放置)重力卸载和支撑进行分析。
3.4 超薄主动镜支撑方案优化设计
主动反射镜的校正能力与致动器的数量及其分布密切相关[7]，因此通过优化设计主动反射镜致动器阵列的数量及其分布,可使主动反射镜以较少的致动器数量达到尽可能高的校正能力。超薄实验镜主动支撑优化设计方案的具体步骤如下：
1) 给出一个超薄主动反射镜初步支撑方案，利用有限元法计算各致动器的响应函数。
2) 针对给定的需校正的多个超薄镜面像差模式，分别通过最小二乘法来获得各致动器对超薄镜应施加的校正力。
3) 获得主动校正后镜面各离散点的变形量，计算出残余面形的PV 值，RMS 值。
4) 根据致动器排布方式的参数，改变其中某些参数的数值，建立起与这些参数相对应的超薄主动反射镜有限元模型。并重复步骤 1)，2)，3)，分析和评价主动反射镜的校正能力，从中确定主动反射镜的优化设计方案。
经分析对比，亚利桑那大学的超薄主动样镜材料也为ZERODUR。口径与本实验镜相仿，超薄镜模型厚度设为2mm，先仿照亚利桑那大学的超薄主动样镜致动器排布方式，排布了37 个致动器，再以此排布方式为基础对超薄镜的主动支撑方案进行优化设计。
7 种排布方式主动校正各初级像差基元波面下超薄镜以RMS 值表示的镜面残余面形误差如表3 所示。由表3 可知排布方式4 的主动校正能力相对较强。从减轻镜子的重量来说超薄主动镜的厚度越小越好，但是厚度变小，一方面镜面很难加工，而另一方面镜面更容易因环境变化而改变面形，相对也更易受控变形，因此下文针对校正能力较强的方式4 通过计算机仿真找出超薄主动镜合适的厚度。
对超薄主动反射镜厚度从1 mm 到4 mm 每隔0.5 mm，7 个厚度的超薄镜对初级球差基元薄面的校正能力进行了计算机仿真。表4 表示了不同厚度的超薄反射主动镜的校正能力，以RMS 值和PV 值表示。由表4 可知，当超薄主动镜厚度为1 mm 时，校正能力较差。超薄镜厚度在2 和2.5 mm 的残余误差较小，而且两者很接近;镜面后两个口径范围内，2.5～4 mm 厚度范围的残余误差较小，而且四个厚度非常接近。综合超薄镜质量，校正能力等要求，超薄主动镜的厚度为2～2.5 mm，超薄镜具体该采用的厚度将在考虑其对其它像差模式的校正能力后确定。
表5 给出了不同像差模式下两种厚度超薄主动反射镜以RMS 值表示的镜面残余面形误差。由分析可知，对于初级球差和三叶慧差，两种厚度的超薄镜主动镜校正能力相仿，而对其它三种像差模式，2.5 mm厚镜子的校正能力明显优于2 mm 厚的超薄主动镜。
3.5 超薄反射主动镜对模型镜面竖直放置时重力卸载能力的计算机仿真
虽然超薄镜是在空间失重的环境下工作，但由于主镜地面上的检测与调整均受到重力的影响，有必要对重力场下超薄主镜检测与调整状态(即竖直放置)重力卸载和支撑进行分析。
图3 给出了2.5 mm 厚超薄主动镜在地面上竖直放置和空间失重环境下对不同像差模式基元波面主动校正后以 RMS 值表示的镜面残余面形误差。由图3 可知，两者的面形残差相差不大。由此确定了该超薄镜的主动支撑方案，致动器排布方式为图4。
4 结 论
通过对500 mm 超薄实验镜多个主动支撑方案校正能力的计算机仿真，确定了超薄镜主动支撑的优化设计方案，该主动超薄镜的达到最佳校正能力的厚度为 2.5 mm。本文提出的主动支撑方案无论在空间失重状态还是地面竖直放置状态都能达到加强的主动校正能力。
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基金项目：江苏省高校自然科学研究计划项目(05KJA14003)
作者简介：倪颖(1977-)，女(汉族)，江苏苏州人，助研，博士，主要研究工作是非球面加工与检测。E-mail: ny_wd_sz@yahoo.com.cn
