摘要:介绍了到目前为止的几种任意步距步进相移算法,并针对相移干涉仪的两种主要误差———移相误差和探测器非线性误差进行了计算仿真,进而比较分析了它们对这这些误差的抑制能力,其结果可为实际应用合理地选择算法提供理论依据。
一、引言
步进相移技术作为定量获取干涉信号相位信息的有效方法之一,已被广泛地应用于光学检测与计量中,并能使干涉计量的精度高达λ/100[1]。其基本原理是基于干涉信号的三角函数性质,当干涉仪中两波面相遇发生干涉时,干涉条纹图中一点的光强可表示为
式中In是第n次相移的干涉图中一点的光强;I0是平均光强;γ是条纹调制度;Δφ是被测相位,即干涉图中被测点处的两波面的相位差;δn是可控的附加相位调制项。当使可控相移δn步进变化,利用几个不同相位下探测到的强度值In便可解算出被测相位Δφ。
步进相移技术的一般算法是N点标准算法[2],实际上,在一切条件都是理想的情况下,只需步进2次得到3次光强记录就可确定出被测相位,采样点数的增多只增加信息余量,同时也增加计算量。但是,实际计量中总是存在电噪声、探测器非线性及相位控制不准确等因素,适当地增加计算余量,对于提高计量精度是必要的。所以就出现了各种各样的算法,如通常所谓的三幅[3]、四幅[4]和五幅算法[5]等,其中五幅算法由于充分利用了5次相移记录,相当于两次四幅算法的扩展平均[6],故对移相误差有较好的抑制作用而在各种商业相移干涉仪中得到了广泛应用。五幅算法的相位计算公式为
式中I1, I2, I3, I4和I5对应的相移分别为0°,90°,180°,270°和360°。
以上算法的共同特点是:可控相位(必须以确定值步进。这就要求移相器必须精确地控制步进相位,否则会引入较大误差。而另一类任意步距步进相移算法则从原理上取消了对确定性步进相位的要求,它只要求可控相位δ等间距步进即可,这使得任意步距步进相移算法在实用中具有极大的优势与前景。但椐现有文献还没有单独对此算法的系统的探讨,本文正是针对这一点,就目前的几种任意步距步进相移算法进行了系统的误差分析与对比,并进行了计算仿真,以期为合理选用提供依据。
二、任意步距步进相移算法
目前,任意步距步进相移算法大致有三种:Carre算法[7]、Schwiders算法[8]和Stoilov算法[9]。为表述方便,令任意步距为Δ,由公式(1),在五步相移分别为-2Δ、-Δ、0、Δ和2Δ时得到五幅光强记录分别是:I0、I1、I2、I3、和I4。
则著名的Carre算法的相位求解公式为φ
从公式(3)可以看出Carre算法其实是属于四幅算法,只需三步相移。其中常数相位Δ/2对于测量来说并不重要。
Schwider算法的相位求解表达式则是
从上面公式看出,最终的相位结果也都是以反正切函数的形式给出的,与传统的三幅、四幅及五幅算法相比,它们的计算公式复杂,计算量大。但是可由它们各自的相位计算公式看出,相移量Δ不包括在公式中,即它们从原理上消除了对相移量Δ的确定性限制。这也正是不惜加大计算量所要达到的目的。
三、误差分析与计算仿真
对传统的三幅、四幅等步进相移算法的研究已经很完善,在此基础上运用扩展平均技术得到的改进算法又大大提高了它们对各种误差的抑制能力[6]。其中要求相移步距为π/2的五幅算法[见公式(2)]因为计算简洁而又对各种误差具有显著的抑制,所以在当前的商用相移干涉仪中得到广泛应用。但五幅算法对相移步距的标定误差,即步距对π/2的偏离,却无能为力,而这种误差是相移干涉仪的主要误差源之一。前面所述的任意步距步进相移算法能从原理上消除这种误差对测量的影响,所以在对测量精度要求较高的情况下,任意步距算法具有无可比拟的优势。但任意步距算法对这种误差的免疫能力却是用牺牲计算量和复杂程度换来的,而且它们同样会受到其他误差源的影响。下面针对相移干涉仪中的两个主要误差:移相误差和探测器非线性误差,将五幅算法与三种任意步距算法进行比较分析,通过它们对这些误差响应的计算仿真,评定出各种算法的优劣。
1·移相误差响应
移相误差分为标定误差和非线性误差,也就是移相器的一阶和二阶误差。无论是压电陶瓷移相器还是光电晶体移相器都会存在这种误差。移相误差可以表示为
式中α′是相移器的实际相移;α是理想相移;e和η分别是归一化一阶和二阶误差系数。对于五幅算法,一阶误差的影响会随着测量次数的增加而减小。一阶和二阶移相误差引起的测量误差的频率都是干涉条纹频率的2倍,而测量误差的相位和幅度则取决于所用的解算算法。下面以π/2步距、γ=1和2π范围的归一化误差系数对这4种步进相移算法进行计算仿真。
(1)η=0,e≠0,即移相器只存在线性误差。
图1中横轴是被测相位(单位为度),纵轴是测量误差的幅度(单位为弧度)。可以看出五幅算法在存在线性移相误差时,其响应是被测相位2倍频的正弦曲线。而Carre算法、Schwider算法和Stoilov算法则不受其影响。图2是e从-50%到+50%变化时误差响应的峰—谷变化曲线。任意步距算法不受线性移相误差影响。
(2)η≠0,即移相器存在二阶非线性误差。图3、图4分别是e=0,η= 1%和e=10%时的误差响应。可以看出Carre算法和Schwider算法对二阶非线性误差比较敏感,而五幅算法和Stoilov算法则受影响较小,并且在只存在二阶非线性误差时,二者的误差曲线重合(见图3)。当一阶和二阶移相误差同时存在时,三种任意步距算法误差曲线没有变化,而五幅算法误差曲线的幅度和相位都发生变化,从而同Stoilov算法的误差曲线分开(见图4)。值得注意的是图3、图4中Carre算法和Schwider算法在某些点上会出现难以滤除的断续,这是其计算公式本身存在的缺陷。由于存在非线性移相误差时4种算法的误差曲线整体偏离零点,这与图1、图2中只有线性移相误差的情形不同,不能简单地用峰—谷曲线描述测量误差对二阶移相误差的响应。所以图5、图8分别展示了4种算法对非线性移相误差从-1 %到+1 %以0·2 %间隔变化的响应。图中对应-1 %的二阶移相误差曲线被加粗以便清楚看清曲线走向。可以发现与其他三种法刚好相反,图8中Schwider算法的误差曲线从-1%到+1%排列的顺序是从上到下。五幅和Stoilov算法的测量误差随非线性移相误差增大而偏离零点增大;Carre算法的误差曲线形状基本同五幅和Stoilov算法的相像,只是在0、π、2π点断开,且其误差幅度约为五幅和Stoilov算法的4倍;而Schwider算法在3π/4和7π/4处断开,在0、π和2π处误差始终为0,幅度上,在0—2π/3间,基本同五幅和Stoilov算法,但在2π/3—π间误差迅速增大。无疑,在存在非线性移相误差时,五幅和Stoilov算法是最好的。
2.探测器非线性误差响应
相移干涉仪一般应用CCD摄像机作为探测器记录干涉条纹的强度。其输入光强与输出电压之间的非线性就是探测器非线性误差。虽然大多数CCD记录装置都有增益调节以选择增益曲线的线性最好的部分工作,但这种误差还是不可避免地存在并导致系统的测量误差,并且是相移干涉仪的主要误差源之一。
探测器的非线性误差主要是二阶误差,它可以表示为
式中I′是探测到的光强;I是输入光强;e是归一化非线性系数。其关系示于图9。考虑探测器的非线性误差,公式(1)就变为[1]
用此公式代替公式(1),求得各种算法的误差响应如图10,发现五幅和Stoilov算法不受探测器非线性误差影响。而Carre和Schwider算法却对探测器非线性很敏感误差响应图11、图12分别是Carre和Schwider算法对- 1%到+1%探测器非线性误差的响应,间隔为0·2%,加粗的曲线对应于-1%探测器非线性误差。
四、结论
通过以上对三种任意步距步进相移算法及五幅算法的仿真分析与对比,可得到如下结论:任意步距步进相移算法中,Stoilov算法是最好的。它不受线性移相误差和探测器非线性误差的影响,对二阶非线性移相误差也有很好的抑制。同传统步进相移算法相比,Stoilov算法的缺点是计算量大;而Carre和Schwider算法在存在非线性移相误差时难以滤除的断续则给进一步相位展开带来困难。但是随着计算机科学的发展,任意步距步进相移算法,特别是Stoilov算法一定会在光学测试与计量中得到更加广泛地应用。
参考文献:
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[10] Creath K. Phase-measurement interferometry: Beware theseerrors[J]. SPIE, 1991(1553): 213-220
收稿日期: 1998-12-07
作者简介:侯立周(1969-),男,山东人,哈尔滨工业大学博士研究生,从事几何量精密测量电子散斑干涉研究。
