摘 要: 为了克服传统三坐标测量系统的体积大、结构复杂、不能现场测量等缺点, 研制开发一种新颖的基于旋转关节和转动手臂的多关节柔性三坐标测量系统. 首先基于Denav it-H artenber g 方法建立了多关节柔性三坐标测量系统的理想数学模型, 在考虑到结构误差基础上修正得到误差模型, 最后详细分析系统中影响测量结果的各种误差因素. 仿真实验结果表明数学模型的正确性, 并为进一步研究系统的误差补偿和提高测量精度提供了理论基础.
关键词: 三坐标测量系统; 多关节; 误差模型; 误差模量
坐标测量技术是随着数控加工技术的兴起而发展起来的一种新型的模型化测量技术, 是逆向工程、虚拟制造中产品原型数据获取和物理模拟实验研究不可缺少的技术工具[ 1-2] . 随着柔性化和在线测量等要求的不断提出, 传统的笛卡尔坐标测量系统由于受相互垂直的三根导轨和安装环境的限制, 因此具有量程小、制造和装配困难等缺点[ 3-4] .
多关节柔性三坐标测量系统是一种新型的多自由度非笛卡尔式坐标测量系统, 它将六个杆件和一个测头通过六个旋转关节串联连接, 以角度测量基准取代长度测量基准[ 5-7] , 从而具有机械结构简单、体积小、重量轻、柔性程度高、量程大等优点. 多关节柔性三坐标测量系统得关节和杆件配置比一般机器人复杂, 因此建立测量机末端测头中心坐标与各关节转角的关系是非常重要的.
1 理想数学模型
为了研究操作臂各连杆之间的位置及姿态关系, 可在每个连杆上固定一个坐标系, 然后描述这些坐标系之间相互关系. Denavit 和Hartenberg 提出一种通用方法( 以下简称DH 参数法) , 用一个4 x 4齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系, 从而推导出“ 测头坐标系”相对“ 参考坐标系”的等价齐次变换矩阵, 从而建立操作臂运动方程[ 8] . 在机器人机构杆件上设置DH 坐标系, 六个旋转关节中一三五关节为水平面的旋转关节, 二四六关节为竖直面上的旋转关节, 在基准位姿中设定所有坐标系的X 轴同向, 每个Z 轴正向均符合由低一级旋转轴指向高一级旋转轴, Y 向遵从右手定则, Ai- 1 是从Zi- 1 轴与Zi轴绕X i- 1 轴转动的夹角; ai- 1 是从Zi- 1 轴到Zi 轴绕X i- 1 轴测量的距离; di 是从X i- 1 轴到X i 轴沿Z i- 1 轴测量的距离; Hi 是从X i- 1 轴到X i 轴绕Zi 轴旋转的角度. 将连杆i 对连杆i - 1 相对位置的齐次变换矩阵连乘得到Ti- 1, i 矩阵如式( 1) 所示。
多关节柔性三坐标测量系统的结构是特殊的,杆件的四个参数中只有Hi 是变化的, 称为关节变量,其他三个参数杆件扭角Ai 和杆件长度d i 是已知的,ai 均为零, 称为结构参数. 根据D-H 参数法建立多关节柔性三坐标测量系统结构模型如图1 所示, 其中{ O0x0 Y0 Z0 } 为系统基坐标系, {OiXiYiZi } i =1,6 为各杆件坐标系, {O7 X7Y7Z7 } 为测头坐标系.由此可得到理想数学模型T07 , 其中当i= 1, 4, 5 时k= - 1; 当i= 2, 3, 6 时k= 1. 系统各结构参数如表1所示.
2 误差模型
通过对系统可能存在的误差进行分析和分类,将各种系统结构参数和各类误差分割出来, 基于D-H参数法可以得到系统的误差模型为式( 3) .
当i = 1, 4, 5 时k = - 1; 当i = 2, 3, 6 时k= 1.
△Hi 是系统转角误差; $Ai 是两相邻杆件不垂直产生的角度误差; △ai 是由于相邻关节的旋转轴线不相交于一点而产生的误差; △di 是杆件的长度误差.由于不需要考虑测头的空间位姿, 因此只考虑测头在空间的坐标即可由式( 3) 得到式( 4) .
3 仿真验证
为了验证误差模型的正确性, 采用计算机仿真方法, 步骤如下:
( 1) 设定系统各杆件参数和杆件误差表1 所示, 其中前两级关节角度编码器的转角精度为5d, 后四级的关节选用的角度编码器的转角精度为10d.
( 2) 在坐标测量机的工作空间中任取80 组测头的位置点, 并且使测头位置点尽量均匀分布. 本文则是在系统基坐标系分割的八个象限中, 每个象限任取10 个测头位置点.
( 3) 将各数据点分别代入到理想数学模型和误差模型中, 计算出测头在误差模型下的误差量△x 、△y 、△z .
( 4) 将各数据点代入到全微分模型中计算出测头位置的变化量△p x 、△p y 、△p z .
( 5) 比较( 3) ( 4) 的计算结果, 从而验证误差模型的正确性, 部分数据见表2.
从表2 所示的计算结果中, 可以得出以下结论:
( 1) 测头中心的位置误差在空间的不同位置是不相同的.
( 2) 对比误差模型下的测头误差量和全微分的测头位置变化量可得最大误差为第二组中x 向的0. 020 0 mm.
( 3) 经过分析证明了误差模型的正确性, 从而可以针对各误差采用不同的方法进行直接检测, 有利于进一步提高系统的精度.为了进一步分析各误差项对侧头中心位置量的影响, 对各数据点首先忽略△Ai , △ai , △di , 另△Hi =0. 008弧度, 然后分别讨论各级关节角误差对测头变化量的影响, 其中用误差模量Dp= [ ( △x ) 2+ ( △y ) 2 +( △z ) 2 ] 1/ 2作为测头误差结果, 依次类推讨论△Ai =0. 008弧度, △ai= 0. 008 mm, △di= 0. 008 mm 的情况.通过表2 中8 组不同关节角的组合进行仿真结果表明△ai 、△di 引起的测头误差模量均为0. 008 mm, 通过图2 可以看出, 关节角误差△Hi 影响到的误差模量最大为3. 932 2 mm, △Ai 引起的误差模量最大为3. 844 2 mm. 越靠近基座端的转角误差对测量结果的影响越复杂. 相同的转角误差引起的测量误差随着各个关节转角的变化而变化. 即使很小的转角误差由于各级臂长的放大作用, 在末端引起的测头位置误差也会很大. 与角度类误差不同, 长度类误差再误差传递过程中不会被放大, 且单级的长度类误差产生的测量误差在数值上不会大于长度误差本身.
4 结 论
实验结果表明, 本文所建立的理想数学模型和误差模型是正确的. 同时也分析得出微小的杆件结构参数误差会带来很大的测头中心位置误差. 因此为提高系统的测量精度, 应进一步提高角度编码器的角分辨力, 采用高精度的标定方法, 获得各杆件参数的实际误差进行补偿等.
参考文献:
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