杨永佳，周自刚，韩艳玲，孙光春，王强
(西南科技大学理学院，绵阳621900)
摘要:为了获得方形自聚焦透镜的折射率分布，提出了一种求解其折射率分布的半经验方法。该方法利用圆形边界条件下获得的扩散方程的解去近似方形边界条件下扩散方程的解，该近似解中的4个待定系数用雅明干涉法测得的方形自聚焦透镜4个位置点上的折射率来确定。该方法避免了在方形边界条件下求解扩散方程的复杂过程，得到的半经验公式形式简单、计算方便，利用半经验公式计算得到的折射率与实验结果吻合得较好，二者之间的最大相对误差为0. 94 %，平均相对误差不超过0. 3 %。该公式为以后研究方形自聚焦透镜阵列成像问题提供了可供参考的理论依据。
关键词:信息光学;折射率分布;雅明干涉;方形自聚焦透镜
引言
自聚焦透镜是应用十分广泛的一类有重要意义的透镜，由于自聚焦透镜具有数值孔径大(可大于0. 6) ,焦距短(焦点可位于端面上)、直径小、圆柱形、聚焦光斑小(可小于lμm>、成像分辨率高等优点，已广泛用于光纤通信、光纤传感和光信息处理等领域〔1一3〕。随着科技的发展，微透镜的集成化和阵列化是发展的必然趋势〔4-6〕。当前应用的微透镜阵列大多数是由圆柱形或者半圆球形微透镜构成的，均因不能很好地消除透镜元之间的空隙对光信息的损耗，不可能从根本上解决提高受光面积、减少光信息损失等问题〔7〕。为了解决这一问题，作者研制出了方形自聚焦透镜[8]。
方形自聚焦透镜也是一种变折射率光学元件，但由于本身的特点，折射率分布不单纯关于某个轴对称，即折射率分布从整体上而言，不再是1维的，而变成了2维的情况图。要得到方形自聚焦透镜的折射分布，需要严格求解方形边界条件的扩散方程，但该过程较为复杂[9]。作者首先介绍了制作自聚焦透镜的基本理论，然后从理论上分析了采用圆形边界条件下扩散方程的解，近似方形边界条件下扩散方程的解的可行性，在此基础上得到了一个描述自聚焦透镜折射率分布的半经验公式，该公式形式简单，对折射率的计算非常方便且有较高的精度。
1制作方形自聚焦透镜的基本理论
引起玻璃介质折射率变化的原因有很多种，最重要的一种就是通过离子交换使玻璃介质中的某种离子数目发生变化，其原理[10]就是在热驱动条件下，让引进的扩散离子部分置换玻璃中的某种离子，从而使得玻璃中该种离子数目按一定规律变化，并引起折射率也按相应的规律变化。
在制作方形自聚焦透镜的过程中采用的玻璃丝长度远大于其半径，因此，玻璃介质内离子浓度C(r,θ,t)满足的扩散方程在极坐标系下可以写为[11]:
式中，D为扩散常数，t表示时间，r和θ分别表示极坐标下的极径和极角。当扩散到一定程度时，离子浓度形成稳定场分布，此时离子浓度与时间无关，即C(r,θ,t)=C(r,θ)。假设线性叠加原理依然是成立的，即认为玻璃折射率的变化等于所考虑的每个交换离子对折射率贡献之和，因此，认为折射率的变化与所考虑的浓度成线性关系，即有:
n(r,θ)=KC(r,θ,t)(2)
式中，K为常系数。
方形自聚焦透镜的制作方案目前主要有两种〔11〕，一是先对圆形玻璃棒进行离子交换，然后加工成方形棒，最后制成透镜样品;二是先把圆柱形玻璃棒加工成方形棒，再进行离子交换，最后制成透镜样品。前者在离子交换理论上较为成熟，但由于后期加工同样改变了折射率的径向对称分布，而且通过良好的工艺以及退火条件后一种方案制成的自聚焦透镜像差较小，因此选择后者制成了方形自聚焦透镜。
2方形自聚焦透镜折射率分布分析
2.1理论分析
在离子交换过程中采用的玻璃丝长度远大于其半径，因此(1)式的求解可以简化为平面问题求解。现有的扩散方程的解是基于圆形的边界条件，采用极坐标给出的，而作者制作的方形自聚焦透镜采用的是方案2，即先加工成方形后再进行离子交换，因此，原有的扩散方程的解在此处是否适用就值得商榷。原则上要得到(1)式的解析解，就必须在方形边界条件、通过分离变量的方法求解(1)式而得到，但整个过程较为繁琐。
在圆形边界条件下，由于对称性可以知道:玻璃丝内部扩散离子浓度也是对称的，因此，玻璃丝内部折射率分布应该与极角θ无关，那么，最后干涉得到的理想干涉环应该是圆形的〔12〕;另一方面，从制作的方形自聚焦透镜到的干涉图样可以看出:越接近于透镜中心，所形成的干涉环就越圆;干涉环圆形发生畸变的情况只出现在靠近透镜的边缘部分。因此有理由认为:将圆形边界条件下得到的扩散方程的解用于分析方形自聚焦透镜折射率分布是可行的。
圆形边界条件下的扩散方程的解为[13]:
2. 2半经验公式的导出
为了定出(3)式中的4个未知常系数，需要知道自聚焦透镜4个实验点上的折射率值，对制成的方形自聚焦透镜，采用雅明干涉法来测定其折射率分布，实验光路图如图1所示：
折射率计算公式为[12]:
式中，no为未交换时的中心折射率，?k是中心环数k1与边缘环数k2的差值，λ是He-Ne激光的波长(为635.8nm) ,To是干涉薄片的厚度(约0. 19mm )。图2为将相机放在读数显微镜位置处拍得的方形自聚焦透镜的干涉图样。
获得的实验数据如表1所示。
任选表1中的4组数据代人(3)式，就可以求得ao,a;az,b，的1组值;也可多次求解ao,ai,a2,b}，再取平均。最后得到的方形自聚焦透镜折射率分布的半经验公式如下:
为了检验该半经验公式的正确性，利用半经验公式计算出实验测点的折射率值，并与表1中的实验值进行比较。定义相对误差为:相对误差=
对比结果如表2所示。
当相对误差没有达到两个小数位时，视相对误差忽为0。对比表1、表2可以看出:表2中的计算值与表1中相应位置的测量值非常接近，二者之间的最大相对误差为0. 94%，平均相对误差不超过0. 3%。由此可见，利用圆型边界导出的扩散方程的解，结合实验测得的自聚焦透镜的折射率分布，得到的半经验公式用来描述方形自聚焦透镜折射率分布时有较高的精度;同时，利用半经验公式得到的计算结果也符合实验得出的结论〔14]:不同的。值，对应着不同的折射率分布;iB值越大，折射率随r增大而减小的趋势越平缓。
因此，可以用半经验公式来表征方形自聚焦透镜的折射率分布情况，且该半经验公式形式简单，通过简单的计算就可以得到需要点的折射率值。
3结论
首先介绍了方形自聚焦透镜制作的基本理论，从理论上定性分析了用圆形边界条件下得到的扩散方程的解，来近似描述方形条件下方形自聚焦透镜折射率分布的可行性;然后采用圆形边界条件下得到的扩散方程的解与实验测得的方形自聚焦透镜折射率相结合的办法，推导出了描述方形自聚焦透镜折射率分布的半经验公式;利用半经验公式计算得到的折射率与实验结果吻合得较好，二者之间的最大相对误差为0. 94% ,平均相对误差不超过0. 3 %;该半经验公式形式简单、计算方便，为以后研究方形自聚焦透镜阵列成像问题提供了可供参考的理论依据。
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