摘 要: 箝位机构的性能直接影响尺蠖驱动器的性能，为满足尺蠖驱动器箝位机构输出力大、响应速度快和结构紧凑的工作要求，设计了单切口柔性铰链桥式箝位机构. 该柔性机构的设计必须综合考虑机构的静动态特性，为此，建立了该机构的理论模型，通过刚度和固有频率的试验测试以及有限元分析，发现结构紧凑的小尺寸桥式柔性机构的理论模型误差较大，很难建立简单精确的理论模型. 因此，利用有限元法研究了该柔性机构各几何参数对其静动态特性的影响，并通过改变该柔性机构的几何参数，实现对该柔性机构的静动态特性进行优化，以达到设计要求. 结果表明它是一种简单有效的桥式耦合柔性机构的优化设计方法.
柔性铰链机构具有无机械摩擦、不需要润滑、体积小、运动灵敏度和分辨率高等优点. 压电叠堆具有形状尺寸灵活、响应快、输出负载大及运动准确等特点，成为微驱动系统中广泛应用的固体致动器. 采用压电叠堆驱动的柔性铰链结构，具有直接传动、结构紧凑、重量轻、位移分辨率高等优点. 近年来，柔性铰链结构作为关键部件在精密驱动定位机构中有广泛的应用，其性能直接决定着机构整体的表现，这些性能包括柔性铰链的刚度、应力及固有频率等，其中刚度性能尤为重要[1]. 柔性机构与压电叠堆的刚度匹配决定了耦合系统的性能，对于高速稳定性要求比较高的应用，要求柔性机构的固有频率越高越好，同时还要保证机构的变形范围和应力要求.为满足尺蠖驱动器箝位机构输出力大、响应速度快和结构紧凑的工作要求，本文设计了单切口柔性铰链桥式箝位机构，目前文献中一般使用该构型作为放大机构[2-6]，本文直接利用其弹性变形特点实现 y 方向的直接伸长箝位. 给出了该机构的理论模型，通过刚度和固有频率的实验对其理论分析结果及其 ANSYS 有限元程序结果进行了验证，并利用有限元方法分析了该柔性机构特征参数对箝位机构静动态性能的影响.
1 箝位机构的设计分析
压电叠堆是位移输出元件，其运动类似于弹簧. 因此，压电叠堆的输出位移和输出力与柔性机构的刚度有关. 压电叠堆需要通过柔性机构把力、位移等输出，因此柔性机构的设计是箝位机构设计中的一项重要工作，柔性机构的合理性和有效性很大程度上决定了箝位机构的性能. 要保证箝位机构具有很大的输出力( 或输出位移) 和较快的响速度，既要求箝位机构的刚度相对于压电叠堆比较小，还需要具备较高的固有频率. 而经验表明，机构的刚度越大，它的固有频率越高. 因此，在设计时需要将刚度与固有频率同时考虑，原则上在保证后者及满足行程的前提下尽可能地增大刚度.
箝位机构中采用柔性机构提供箝位摩擦面，可以有效防止压电叠堆受到非轴向作用力; 另外，柔性机构还可以提供压电叠堆高效运动所必需的预紧力. 如图1 所示，该箝位机构沿 x 轴和 y 轴对称，为使结构紧凑，采用单切口的直圆柔性铰链，8 个柔性铰链相对于6 个柔性铰链具有更加平均的应力分布，可以有效防止疲劳破坏. 压电叠堆的预紧通过下面的可调结构来实现，大大降低了加工要求.
图 2 所示为压电叠堆 ( piezoelectric stack，PZTstack) 在自由状态 A 和弹性预紧状态 B 下的变形对比[7]. 压电叠堆和柔性机构的刚度分别为 kPZT和 kframe，压电叠堆无预紧时的最大变形为 δPZT，max. 设 x01表示可调预紧时调节螺母的进给量或干涉预紧时的干涉量，y01表示预紧后柔性机构的变形，对于箝位摩擦间隙可调的箝位机构，箝位柔性机构的变形近似为零，因此箝位机构的预紧变形量 y01可以用于估计柔性机构的应力. 由于预紧力的作用，压电叠堆的零点偏移量为
压电叠堆采用国产二十六所的 WTYD0808020，其技术参数为: 体积 8 mm × 8 mm × 20 mm，最大位移量20 μm，最大推力 500 N，刚度 25 N / μm. 一般情况下，为保证箝位力尽量大，柔性铰链的刚度取压电叠堆刚度的 1/10[8]，则有
由式( 5) 可知，为估计机构的固有频率，需要分别求得机构的等效刚度和等效质量[1].
根据伪刚体模型法[9]，柔性铰链可以等效成理想的旋转关节，其伪刚体模型如图 4 所示，则柔性机构在力 F 作用下的变形 δ 与柔性铰链的转角 θ 的关系表达式为
式中: l1为斜臂的长度; α 为臂倾角. 力 F 做的功等于 8个柔性铰链的变形能总和，故可得
由式( 9) 可求得等效质量 me. 综上所述可得该机构的固有频率为
目前，单切口柔性铰链的旋转刚度公式常采用Okazaki 和 Yamada 等在 Paros 公式的基础上推导的近似解[10]，其表达式为
笔者利用大量有限元分析的结果，通过多项式拟合的方法推导了十分简捷的单切口柔性铰链旋转刚度的经验公式，且该公式在 0. 04≤t/r≤0. 8 内始终保持良好的精度，与有限元结果相比误差小于 1. 5%，且精度优于公式( 11) ( 具体过程不是本文阐述的重点，这里从略) ，其表达式为
2 箝位机构试验及有限元优化分析
2. 1 试验测试及结果分析
设计的桥式柔性篏位机构如图 5 所示，其几何参数为: l = 24 mm，d = 12 mm，t = 0. 8 mm，r = 2 mm，α = 0. 7，s = 0. 8 mm，理论计算结果如表 1 所示. 对该柔性机构的固有频率和刚度进行了试验测试. 频率试验采用捶击法，通 过 加 速 度 传 感 器，利 用 Agilent35670A 动态信号分析仪进行测量，得到系统的固有频率. 刚度通过竖直方向螺纹穿孔施加砝码，利用 LVDT电感测微仪测出变形，从而导出柔性机构的刚度，试验测试结果如表 1 所示.
使用 ANSYS9. 0 有限元分析软件对箝位机构进行建模和分析. 单元类型采用 PLANE82，单元行为方式选择带有厚度的平面应力，厚度为 10 mm. 为了提高分析的精度，对铰链的薄弱环节的网格进行细化. 材料选择 65Mn( 弹簧钢) ，其弹性模量为 206 GPa，泊松比为0. 3，材料的屈服极限为 785 MPa，密度为 7 800 kg /m3. 对柔性机构进行静态和动态有限元分析，得到柔性机构的刚度和固有频率如表 1 所示.
由表 1 可以看出，刚度和固有频率的有限元分析结果与试验结果误差最大为 9. 2%，由于有限元法建模、网格划分以及数值解的近似性，另外由于加工过程中存在误差以及测量误差，故有限元法结果与试验结果存在一定偏差是可以接受的[11]. 采用基于 Paros 方法推导的柔性铰链旋转刚度式( 11) 得到的箝位柔性机构刚度和固有频率的理论分析结果与试验结果相比误差较大( 最大为 39. 4%) ，而采用笔者推导的精度较高的经验公式( 12) 的理论分析结果与试验结果相比误差大大减小，但是其误差仍然比较大 ( 最大为29. 9% ) . 理论分析利用伪刚体模型法将柔性铰链简化为理想的旋转关节，连接杆作为刚性杆，建立在非常理想的假设条件之上，而本文设计的箝位机构内部度 l( 见图 1) 较小，连接杆长度相对于柔性铰链的长度较短，耦合干涉严重，所以误差非常大. 因此，对于结构紧凑的小尺寸桥式箝位柔性铰链机构( 即内部长度 l较小) 的设计很难通过传统的伪刚体模型法进行准确的理论分析; 如果考虑连接杆的变形影响，理论模型又比较复杂，因此可以利用有限元分析方法对该箝位柔性机构进行设计分析.
2. 2 有限元参数优化
分别对柔性铰链的半径 r、厚度 t、连杆的臂倾角 α和中间杆长 s 取不同的值，然后对箝位机构的刚度、应力和固有频率进行分析和研究. 由于内部长度 l 固定，半径 r 和 s 互为因变量且变化趋势相反，因此需要首先假定二者中有一个参数已知. 由于柔性铰链半径是变形源，对柔性机构的性能具有关键作用，所以这里首先假定 s 的大小. 令 t =1 mm、r =2 mm、α =0. 6，研究 s对柔性机构静动态特性的影响，如图 6 所示. 由于内部长度 l 非常小，因此 s 的有效长度也非常小，从图中可以看出，其对刚度和固有频率的影响趋势相反，考虑到对其他参数有效范围的影响，故首先令 s =0. 8 mm，在此基础上研究其他参数对系统性能的影响.
2. 2. 1 固有频率影响因素分析
频率响应在系统的设计中是至关重要的. 为了增加尺蠖驱动器的速度，要求箝位机构的动作迅速，故应尽可能提高箝位机构的固有频率. 根据有限元分析可以得到图 7，从图中可以看出，随着铰链厚度的增加，箝位机构的固有频率增加; 随着铰链半径的增加，箝位机构的固有频率减小; 随着臂倾角的增加，箝位机构的固有频率增加，当 r =1 mm 且 α >0. 698 时，还有减小趋势. 如设计要求固有频率大于800 Hz，根据图7 可以初步确定 t( 0. 8 ～ 1. 2 mm) 和 r( 1 ～ 2 mm) 的取值范围，以满足箝位机构固有频率的要求.
2. 2. 2 刚度影响因素分析
虽然式( 8) 误差较大，但是可以用于判断设计参数对刚度的影响，可以看出箝位机构的刚度与铰链的厚度、半径和臂倾角都有关系. 根据有限元分析可以得到图 8，从图中可以看出，分别固定 3 个参数中的两个参数，随着铰链厚度和半径的增加，箝位机构刚度增加; 随着臂倾角的增加，箝位机构刚度减小. 铰链厚度和臂倾角的结果很明显与式( 8) 的结果是一致的，由于铰链半径和臂长是相互关联的参数，对式( 8) 简化之后结果也是一致的.
可以根据设计要求的行程( >15 μm) 和所选压电叠堆的刚度计算出箝位机构允许的最大刚度，根据式( 4) 可得箝位机构的刚度范围为 2. 5 ～8. 33 N/μm，根据图 8 可以进一步确定 t( 0. 8 mm) 、r( 1 ～2 mm) 和 α( 0. 7) 的取值范围，以满足箝位机构刚度要求.
2. 2. 3 应力影响因素分析
箝位机构周期性的工作模式，使柔性铰链承受周期应力的作用，为了避免铰链产生塑性变形并提高疲劳寿命，每一次模拟的最大应力都必须与许用应力比较. 一般情况下，最大许用应力定为材料屈服极限的0. 1 ～ 0. 3，一般取其下限 0. 1，则 65Mn 的许用应力为[σ]= 78. 5 MPa，对箝位柔性机构适当提高要求，取60 MPa.
根据箝位机构的运动特性，一般要保证零间隙，因此其运动行程都要转化为箝位力. 根据有限元分析可以得到箝位柔性机构在 50 N 预紧力作用下的最大应力，如图 9 所示. 从图中可以看出，分别固定 3 个参数中的两个参数，随着半径和厚度的增加，箝位机构应力减小; 随着臂倾角的增加，箝位机构应力增大. 可见半径和厚度的取值不宜过小也没有必要过大，当半径和厚度取合适值时，臂倾角的影响不是很明显. 再根据应力条件，可以大概地确定箝位机构的几何参数 t = 0. 8mm、r = 2 mm 和 α = 0. 7. 根据第 2. 1 节中的试验测试结果，利用有限元参数优化方法得到的箝位机构的刚度和固有频率分别为 2. 955 N/μm 和 836 Hz，满足其刚度在 2. 5 ～ 8. 33 N/μm 范围内以及固有频率大于800 Hz 的要求.
2. 3 优化设计方法
由于半径 r 和中间杆长 s 两个设计参数互为因变量且变化趋势相反，因此需要首先确定其中一个参数.对于小尺寸桥式柔性机构，由于受几何尺寸的限制，s的有效范围小，根据图 6 更容易确定. 在此基础上通过设计要求大致确定机构的其他设计参数，再对其许用应力进行验证以确定合理的设计方案. 以上设计流程如图 10 所示.
3 结 语
针对尺蠖驱动器中箝位机构的工作要求，提出了单切口柔性铰链桥式箝位机构的设计方案. 基于伪刚体模型法建立了该机构的理论模型，通过刚度和固有频率的试验测试以及有限元分析，发现结构紧凑的小尺寸桥式柔性机构理论模型误差较大. 因此利用有限元分析方法，综合考虑机构的静动态特性，分析桥式箝位机构各参数对其特性的影响，根据设计要求可确定箝位机构的尺寸参数. 结果表明，所提出的方法是一种合理有效的桥式箝位柔性机构优化设计方法.
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基金项目: 国家教育部归国留学人员基金资助项目.
作者简介: 张兆成( 1980— ) ，男，博士研究生，jyg zzc@126. com.
通讯作者: 胡 泓，教授，honghu@ hit. edu. cn.
