1 引 言
随着近代合成胶粘剂的出现与发展，光学零件的胶合和固定得到了很大的改进。相对于机械连接来说，胶粘结固定具有如下优点：(1)可以简化结构、减轻重量和改善粘结件的应力分布;(2)可以实现其它连接方式难以解决的各种不同材料之间的连接;(3)通过选择适当的粘合剂可满足耐温和抗震等方面的要求[1]。近年来，室温硫化(Room Temperature VulcaNIzation，RTV)胶 作为粘结剂被广泛地应用在航天、航空、汽车制造中。在透射式光机结构系统中，透镜与镜框的连接就是采用RTV胶接方式来连接和定位的[2-4]。
透镜使用胶粘固定时，光学材料、机械材料和粘结材料的热膨胀系数不匹配将使透镜内部产生径向热应力，这个热应力一方面将导致光学材料产生应力双折射，另一方面会导致透镜表面产生变形，从而最终影响光学系统的像质[5]。通过选择合适的粘结材料和粘结厚度可以最小化甚至消除热应力。消除径向热应力的光学装配设计称为无热设计，此时粘结剂的膨胀应与镜框和透镜的膨胀差相匹配。无热粘接厚度问题首先由Baya[6]提出，随后一些文章对此进行了讨论，并推导了一系列无热粘结厚度解析方程，包括Bayar方程、改进的Bayar方程、Van Bezooijen方程等[7-9]。
大多数无热厚度的解析解都是由表征三维应力的胡克定律矩阵推导出来的。本文首先对现有的几种基于胡克定律的无热厚度解析方程的推导进行了比较，各解析方程在表达式上的差别是由于方程推导过程中对粘结层约束使用了不同的假设。在此基础上，对粘结层的约束条件提出了一种新的假设，基于这一假设条件结合胡克定律推导出简化的无热粘结厚度近似值方程，并通过修正粘结层轴向约束得到一个改进的近似方程。最后采用有限元分析方法对多个具有不同高宽比的胶粘装配体进行热应力分析，求得无热粘结厚度的仿真解，并通过仿真结果与各解析方程计算结果的对比验证了新近似值方程的准确性，并给出了方程适用的范围。
2 理论背景
无热粘结厚度的求解是以消除径向的应力为目的，因此求解过程中只需关注径向应力的表达式。由表征固体三维应力的胡克定律可知，径向应力可以表示为：
其中εr、εz、εθ分别为径向、轴向和切向的应变。
求解无热粘结厚度方程，需令径向应力为0，也就是令σr表达式中括号中的项为0，即：
此式即为用胡克定律求解无热粘结厚度的一般方程。从方程(1)中可以看出，要求解这一方程就需要知道粘结层在三个方向(径向、轴向、切向)上的应变，即粘结层的约束条件。
图1为典型透镜粘结装配的示意图，用于后面讨论的几何结构参数以及径向、轴向和切向三个方向都在图中给出了定义。
由方程(1)可知，无热粘结厚度求解的关键是获得粘结层在径向、轴向和切向方向上的应变。粘结层在径向被约束于透镜和镜框之间，其径向应变是与粘结厚度直接有关的量，容易确定，其他两个方向上的应变需要通过一定的假设条件获得。
径向应变εr是径向偏差δh的函数，径向偏差定义为温度变化时不受约束的厚度变化与实际厚度变化之差，即：
结合方程(1)、方程(2)以及粘结层在轴向和切向的约束假设条件，就可以求出实现无热装配时的粘结厚度。
3 无热粘结厚度方程
3.1 Bayar方程
Bayar方程是无热粘结厚度求解最为简单的方程，由Bayar在1981年首次提出，此后被广泛用于光学元件的粘结装配中[10-11]。
Bayar方程仅考虑径向的热膨胀，忽略轴向和切向约束效应，令粘结层厚度的变化等于镜框和光学元件半口径变化之差，对粘结层厚度求解，即令：
Bayar方程上面的推导过程非常简单，没有用到胡克定律，但其也可以由胡克定律得到，只是推导过程稍微复杂。
Bayar方程忽略轴向和切向约束效应，认为在这两个方向上粘结层是自由膨胀或收缩的，即轴向和切向的应变为0，如图2(a)所示。
将径向应变方程(2)代入(1)式中并令εz=εθ=0，就可以解得粘结层的无热厚度方程，正如公式(3)所示。
3.2 改进的Bayar方程
改进的Bayar方程由Herbert在2006年提出，他对Bayar方程做出一个重大改进，考虑了垂直于径向方向上的应变，将泊松比引入到了无热粘结厚度方程中。
方程在推导过程中对粘结层的约束采用了如下假设：切向和轴向的应变等于粘结层在这些方向上的膨胀。换句话说，粘结层在轴向和切向方向上被完全约束在其未受热时的尺寸，如图2(b)所示。此时，粘结层在轴向和切向的应变可以表示为：
将(2)式和(4)式代入(1)式中，化简求解得到改进的Bayar方程为：
方程(5)等号右端分母第一项相对于Bayar方程多了一个系数(1+v)/(1-v)。由于泊松比的取值在0到0.5之间，而且用于固定透镜的RTV胶的泊松比一般都接近0.5，再加上粘结剂的热膨胀系数比镜框材料的热膨胀系数要大得多，所以(5)式的分母项要比(3)式大很多，那么由改进的Bayar方程求得的无热粘结厚度值比Bayar方程求得的值小很多，两者的比值大约接近1/3。
3.3 Van Bezooijen方程
Van Bezooijen方程有时也称为Muench方程，但它最初是由Roel Van Bezooijen推导出来的。相对于改进的Bayar方程，Van Bezooijen方程所进行的改进是在粘结层轴向和切向的约束中考虑了透镜和镜框热膨胀的影响，使用了透镜和镜框热膨胀的平均值作为粘结层在加热条件下的约束尺寸，如图2(c)所示。此时轴向和切向的应变可以表示为：
式(7)即为Van Bezooijen方程的表达式。这个方程的假设条件中考虑了透镜和镜框的膨胀，并允许粘结层在轴向和切向随它们的变化有稍微的膨胀。那么，相对于改进的Bayar假设情况，粘结层在径向的膨胀就会稍微减小，从而导致求解得到的无热粘结厚度将会比改进的Bayar方程的解稍大，这也可以从方程(7)和(5)的对比中分析出来。
Van Bezooijen方程假设粘结层完全被透镜和镜框约束，而实际中这种假设并不完全准确，因为粘结层在其自由表面是允许凸出和凹陷的。因此，Van Bezooijen方程所计算出来的结果并不是无热粘结厚度的最优值，但它可以作为无热粘结厚度的一个最小值，即下限。
3.4 改进的Van Bezooijen方程
在已知无热粘结厚度下限的基础上，希望能够得到一个上限，基于 这 样一个目的，Christo-pher L.Monti在2007年提出了改进的VanBezooijen方程。方程假设：粘结层在轴向完全不受约束，在切向被透镜和镜框完全约束，即轴向的应变为0，而切向的应变仍用(6)式表达[12]。
使用相同的求解方法，求得改进的VanBezooijen方程如下：
方程(8)和(7)分别描述了无热粘结厚度的上下限。实际无热粘结厚度处于两个极限值之间，Christopher L.Monti在方程中引入高宽比h/L来调整其大小，由此推导出的无热粘结厚度方程称为高宽比近似方程(Aspect Ratio Approxima-tion)，表示如下：
图3给出了粘结层高宽比的定义。粘结层的宽度L处于厚度值h和无限大之间时，(9)式求得的无热厚度在最大值和最小值之间。方程等号右侧含有需要求解的厚度h，因此求解时需进行几次迭代，或将其展开，变为关于h的二次方程，再进行求解。
3.5 无热粘结厚度的新方程
由前文的分析可知，Van Bezooijen方程和改进的Van Bezooijen方程考虑的约束条件代表的分别是两种极端的情况，没有考虑粘结层自由表面上的弹性行为，它们分别在粘结层的高宽比比较小和非常大时计算比较准确。
实际上，粘结层在其自由表面上是允许凸出和凹陷的。因此，在求解无热粘结厚度时，不引入高宽比，可以考虑这样一个简化的近似条件，即假设自由表面中间位置自由膨胀或收缩，而与透镜和镜框相接的位置受两者膨胀的约束。这种假设下装配体受热后的状态如图2(d)所示。
粘结层在加热条件下的约束尺寸由透镜、镜框和粘结层自由热膨胀共同决定，通过3次求平均值获得，即第1次求透镜和粘结层自由膨胀尺寸的平均值，第2次求镜框和粘结层尺寸自由膨胀的平均值，第3次是对求得的两个值取平均。那么，此时得到粘结层的约束尺寸为：
根据应变的定义，可以得到此时粘结层轴向的应变为：
对于完全圆周粘结，粘结层在切向是封闭的，因此粘结层的膨胀在切向完全被透镜和镜框的热膨胀约束，其切向应变仍使用方程(6)给出的表达式，将各方向的应变表达式代入方程(1)中可以求得无热粘结厚度的简化近似方程为：
在这个近似值推导的过程中，对粘结层约束采用了如下假设：粘结层在切向完全约束在透镜和镜框变化范围内，在轴向与透镜和镜框相连的位置被二者完全约束，而在厚度中间位置完全不受约束自由膨胀。
在这种假设条件下，粘结层的受热变形行为虽然考虑了透镜和镜框的约束也考虑了自身的膨胀，但只是一种粗略近似;相对于高宽比近似方程，简化的近似方程计算过程简单，但会导致精确度下降，适用范围较窄。
实际上由于粘结层比较薄，其厚度中心位置处并不能在轴向完全不受约束地自由膨胀，而会受到透镜和镜框的限制。根据无热厚度上下限方程，可以假设粘结层只在其自由表面附近、与厚度尺寸相等的区域内不受约束。那么粘结层在轴向自由膨胀的尺寸为h，对轴向应变公式(10)进行修正，得：
采用相同的推导过程得到改进的无热粘结厚度近似值方程为：
改进的近似方程在最后的表达式中也引入了高宽比，但引入的方式与高宽比近似方程不同，两者求解的结果不同。
以某一红外透镜装配体为例，将上述各方程计算的无热粘结厚度解随粘结材料泊松比的变化曲线描绘在同一图中，如图4所示。透镜为半口径40mm的硅透镜，镜框材料为铝合金。计算中需用到的各种材料的特性参数列于表1中。
从图4中可以看出，Van Bezooijen方程和改进的Bayar方程非常接近，前者求得的结果比后者稍大。这是由于在改进的Bayar方程中，粘结层在轴向和切向的约束忽略了光学元件和镜框的影响，即假设光学元件和镜框的热膨胀系数足够小，可以忽略。由于粘结材料的热膨胀系数一般比透镜和镜框大1～2个量级，所以这种忽略对计算结果影响不大。这样就使得改进的Bayar方程和Van Bezooijen方程结果很接近。
无热粘结厚度的简化近似方程所求得的结果处于Van Bezooijen方程解和改进的Van Bezooi-jen方程解之间，可以明显体现出其是上下限两种情况的简单折中。随着泊松比的增大，求得的无热厚度值减小，粘结层高宽比减小，改进的近似方程曲线逐渐接近Van Bezooijen方程曲线，其值小于A.R.近似方程的解。在高宽比比较大时，A.R.近似方程与改进的Van Bezooijen方程接近，高宽比接近1时基本重合。
4 有限元分析(FEA)
以不同粘结宽度的几个透镜装配体为研究对象，对它们受热时在不同粘结厚度下的应力和变形进行有限元建模分析，求得应力为0时的无热粘结厚度，并将仿真分析的结果与上述各解析方程求得的结果进行比较分析，验证各方程的准确性，并给出方程适用的范围。所有装配体所处的热环境均为40℃均匀温度分布，参考温度为20℃，材料热膨胀系数采用表1中的数据，其余特性参数列于表2中。装配体使用的材料相同，透镜曲率半径相同，只是透镜口径和厚度不同(表3)，以取得不同的粘结层高宽比。
首先需要对装配体进行有限元建模。由于胶层厚度薄且材料特性难以通过试验完全获得，RTV胶层在光机有限元建模中常常被简化处理甚至完全忽视[13]。但是在无热粘结厚度的研究中，粘结层的特性非常重要，不能忽视。由于粘结层比较薄，且材料具有很低的体积模量，几乎不可压缩，其在受热时表现出来的弹性特性不同于其他刚体材料，在建模时需要特别注意。为了能够真实描述粘结层的弹性行为，采用详细模型[14-15]。
由于装配体和温度载荷所具有的对称性，可以建立装配体的部分模型来代替整体模型进行分析，图5为装配体的1/4模型，网格划分采用了Sol-id5单元。在建立的有限元模型上施加温度载荷，采用直接法进行热应力耦合分析得到模型的应力分布图(图6)。在各装配体中对粘结层厚度取多个值，进行有限元热应力分析，通过分析得到的结果建立各装配体径向应力和粘结厚度的关系，如图7所示。
从图7中可以看出，随粘结层厚度的增大，径向应力逐渐减小，对高宽比较大的粘结层，当其厚度在达到一定的数值后，这种变化趋于平缓，在一定的厚度范围内，径向应力数值很小，变化也很小。这种情况下，无热粘结厚度的取值可以是一个比较宽的范围。而对于高宽比较小的粘结层，径向应力的变化比较明显。
对于装配体1，通过有限元分析得到，其粘结层厚度在1.2mm之后径向应力变化很小，且趋近于0，经插值计算得到，径向应力为0时的粘结厚度为1.34mm，即为无热粘结厚度。但是在粘结厚度达到1.2mm之后径向应力已经很小且变化也很小，所以在1.2～1.34mm的厚度值也可以作为无热粘结厚度。同样的方法可以得到装配体2、3、4的无热粘结厚度分别为1.07，0.54，0.59mm。相同条件下，利用前文分析及推导的解析方程求无热粘结厚度的解析解，列于表4中，并与有限元仿真分析的结果进行比较。
对比表4中A.R.近似方程和改进的近似方程的结果，可以看出，两个近似方程求解的结果非常接近，改进的近似方程结果略小于高宽比近似方程。
将表4的计算结果与仿真结果进行比较发现，对于装配体2、3，粘结层的高宽比约在1/10左右时，改进的近似值方程计算的结果与仿真结果最为接近，而且误差非常小，在1%之内。此时A.R.近似方程计算的结果也比较接近仿真结果，但其误差在1.5%～2%之间，较改进的近似值方程稍大。装配体1的粘结层高宽比大约为1/2.3，简化的近似方程计算的结果与仿真结果最为接近，但其误差在5%左右。虽然其误差稍大，但由图7中的曲线可知，装配体1径向应力在无热粘结厚度附近变化平缓，较大的误差是可以接受的。
装配体4的粘结层高宽比约为1/3.8，此时A.R.近似方程计算的结果与仿真结果最为接近，误差约为1.86%，此时改进的近似方程的误差约为7%。与装配体1类似，此种情况可接受的误差范围也比较大。通过以上分析可知，当粘结层的高宽比小于1/10及在其附近时，改进近似方程的准确度相对较高;粘结层的高宽比在1/3和1/10之间时，高宽比近似方程准确度相对较高;粘结层的高宽比大于1/3时，简化的近似方程准确度相对较高。以上方程在各自的适用范围内具有足够的准确性。
5 结 论
基于一种新的对粘结层约束条件的假设，建立了一个无热粘结厚度的简化近似方程。考虑粘结层厚度对应变的影响，对简化近似方程进行了修正，得出改进的近似方程。利用有限元方法对几个胶粘透镜装配体的无热粘结厚度进行了仿真求解，并与解析方程的计算结果进行了对比。对比表明，改进的近似方程适用于粘结层高宽比小于1/10的情况;高宽比近似方程适用于高宽比在1/3～1/10之间的情况;简化近似方程适用于高宽比大于1/3的情况。方程在各自的适用范围内都具有足够的准确性。需要指出的是，方程适用范围只是进行了粗略划分，实际各方程的适用范围并没有明显的界限。另外，无论哪个方程推导过程中都没有考虑材料特性参数随温度的变化，而假设它们是不变的。这种假设在温度变化相对很小的时候一般可以认为是正确的，但是在温度变化很大时就将会出现很大误差，那么这时近似值方程所求得的结果准确性将大大降低。
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作者简介：
常 虹(1982-)，女，河北石家庄人，博士研究生，2004年于河北大学获得学士学位，2006年于哈尔滨工业大学获得硕士学位，主要从事光学系统无热化、热稳定性等方面的研究。E-mail：sunshine8299@126.com
陈守谦(1981-)，男，黑龙江哈尔滨人，博士研究生，2004年于东北林业大学获得学士学位，2007年于哈尔滨工业大学获得硕士学位，主要从事傅里叶光学、波前编码及图像处理等方面的研究。E-mail：csq_hit@163.com
导师简介：
范志刚(1966-)，男，黑龙江嫩江人，博士后，教授，博士生导师，1989年，1992年，2004年于哈尔滨工业大学分别获得学士、硕士与博士学位，现为哈尔滨工业大学空间光学工程研究中心副主任，主要从事精密光电测试技术、气动光学等方面的研究。E-mail：fzg@hit.edu.cn
