摘 要: 激光跟踪仪是基于角度传感和测长技术相结合的球坐标测量系统，其长度测量采用激光干涉测长方法，可直接溯源至激光波长，因此，激光跟踪仪的长度测量精度远高于角度测量精度，相对而言，测角误差就成为评价跟踪仪测量精度的重要指标。为了对现场测量激光跟踪仪的测角误差进行快速有效地评价，采用跟踪仪多站位对空间中测量区域内若干个被测点进行测量，与传统基于角度交汇原理的多站位冗余测量不同，利用各站位所观测的高精度测长值建立误差方程，并通过测长方向的矢量位移对跟踪仪测长误差进行约束，获得被测点三维坐标在跟踪仪水平角和垂直角方向上的改正值，以此来评价激光跟踪仪的测角误差。通过 Leica 激光跟踪仪 AT901-LR 进行了多站位测角误差评价实验，在现场测量条件下，跟踪仪水平和垂直方向测角误差约为 0. 003 mm/m( 1σ) ，符合跟踪仪的测量误差特性。
1 引 言
近年来，随着国家先进制造工业快速、稳定的发展，在精密制造、在线装配及检测等工业和精密工程测量领域，先进的几何量测量手段和精度保证已成为重大装备技术进步的主要支撑，几何量测量为工业产品的设计、制造工艺的改善以及产品质量保证提供了必要的数据支持。为了反映几何量测量结果的可靠性，需要建立测量仪器误差的评价体系，相对于比较成熟的常规尺寸误差评价方法，大尺寸测量仪器的误差评价还没有统一的标准，而仪器生产厂家给出的精度指标是在理想的实验室环境下得到的，现场测量精度往往达不到相应的指标，因此不能反映现场条件下测量仪器的真实性能[1-2]。
目前，用于大尺寸几何量测量仪器中，激光跟踪仪具有测量范围大、精度高、良好的动态测量特性等优点，在重大装备精密测量、大型零部件安装定位以及机器人校准等方面具有显著的优势。随着激光跟踪仪在测量应用的不断扩展，国内外许多专家学者从多个角度对其整体测量误差评价方法进行了研究，包括标准件比对法、解析法以及统计法等[3-6]。标准件比对法需要的大尺寸标准实物制造困难，现场携带维护不方便; 解析法对于非正交系统所建立的复杂非线性测量模型进行解算较为困难，且忽略了现场影响测量精度的各种因素; 统计法用于误差分析所需样本数较大，实现周期较长。国际上评价激光跟踪仪测量性能的标准是美国国家标准技术研究院( NIST) 制定的ASME B89. 4. 19 标准[7]，该标准采用基于不同位置和量程范围的实验方法来校验激光跟踪仪的测量误差。上述方法都是基于激光跟踪仪实际应用对测量性能的评价，并没有涉及对跟踪仪原理性误差因素的评价方法。
由于激光跟踪仪测角误差远大于测长误差，在现场测量距离达到十几米甚至几十米时，跟踪仪测量误差将显著增大，因此，测角误差就成为评价跟踪仪测量精度的重要指标。文献[8-10]采用标准微小位移或转角对相应仪器测角误差进行标定，但通过有限位置的微小量还不能完全定性地评价测角误差; 文献[5-6]利用激光跟踪仪自身参数通过计算机仿真来反映测量误差的蒙特卡罗模拟法，模拟法实现简单快速，但无法客观反映现场测量情况; 文献[11-12]通过激光跟踪仪多站角度交汇测量形成多余观测，利用定向精度来评价测量误差，但该方法没有利用跟踪仪高精度测长特点，无法准确反映跟踪仪测角误差。
为了在现场条件下方便快速地评价跟踪仪的测角误差，通过跟踪仪多个测量站位对空间若干个被测点进行观测，利用测量点坐标的不变性及高精度长度测量值建立测量误差方程，为避免标量长度值方向性约束不足，以测长方向上的矢量位移对测长误差进行约束，从而解算获得测量点在激光跟踪仪水平角和垂直角测量方向上的坐标改正值，再结合当前的测量距离来评价激光跟踪仪的测角误差。
2 激光跟踪仪静态测量误差特性
激光跟踪仪是典型的球坐标测量系统，对空间目标点三维坐标的测量是通过激光跟踪仪坐标原点到目标点的径向长度和空间方位角( 水平角和垂直角) 来确定。
如图1 所示，激光跟踪仪坐标原点为 O 点，被测空间目标点为 P 点，测量过程中激光干涉仪测量 O 点到 P 点的径向长度 r，两个高精度角度编码器分别测量 O 点到 P 点的水平角 α 和垂直角 β，P 点的三维坐标( x，y，z) 可由 α、β 和 r 计算得到。
激光跟踪仪的测量精度取决于它的长度和角度测量误差，这些误差反映到目标点上会引起空间三维坐标误差。激光跟踪仪误差特性可通过静态测量结果来反映，静态测量采用定时定距离对空间固定点进行采样，测量获得的坐标值误差与该瞬间激光跟踪仪的测长和测角误差直接相关[13]。
如图 2 所示，在激光跟踪仪正前方 10 m 处布设一个固定测量点 M1，调整激光跟踪仪的干涉测长方向与跟踪仪坐标轴 Y 轴基本重合，即测量点的 x、z 坐标基本为 0，激光跟踪仪每隔 10 s 对测量点进行一次测量，总共测量100 次，对测量点的三维坐标值和干涉测长值数据进行统计标准差分析，其静态测量结果如表 1 所示。
由数据结果分析可知，测量点 y 方向坐标值标准差和测长结果 r 的标准差基本一致，是由于两者在空间中的测量方向基本一致，而 x、z 方向坐标测量结果标准差较大，主要是由激光跟踪仪的测角误差引起的。
根据 Leica 激光跟踪仪 AT901-LR 自身技术参数，在MATLAB 中把随机误差注入到观测值中，以离散点云的形式得到被测点的三维可视化分布图，如图 3 所示。从图中也可看出跟踪仪水平角和垂直角方向的测角误差远高于径向方向的测长误差。
3 激光跟踪仪测角误差的评价
首先在现场测量区域内布置若干个待测点，激光跟踪仪在待测点区域外进行观测，利用多站位测量获取待测点三维坐标值，再选定参考站完成各站位初步定向后[14-15]，建立基于站位到被测点的测长值误差方程，由于方程中测长值是相对标量值，导致激光跟踪仪径向方向的测长误差约束不足，解算出的被测点三维坐标改正值不能正确反映跟踪仪的测角误差，需要引入该方向的矢量位移约束，最后解算得到待测点在激光跟踪仪水平角和垂直角测量方向上的坐标改正值。
3. 1 多站位长度测量值数学模型
激光跟踪仪在空间中采用多站位( 假设为 m 个站位) 对 n 个测量点进行测量，测量点三维坐标为 ( xi，yi，zi) ，i = 1，…，n ，跟踪仪每个站位三维坐标为 ( Xk，Yk，Zk) ，k = 1，…，m 。如图 4 所示。
在测量过程中，对于每个站位和测量点，都能从激光跟踪仪获得一个高精度的干涉测长值 rik，假设为真值。而激光跟踪仪站位和测量点之间的实际距离测量值 lik如下:
使得方程组式( 4) 有解，首先满足观测量个数多于求解量个数，即 m·n > 3m + 3n 。另外，在实际解算时，由于矩阵 A 是病态矩阵，条件数极大，常规解算线性方程组的方法诸如 Gauss 消元法在此是无效的，可采用奇异值分解法来求解方程组。
首先对 A ∈ Rmn ×3( m +n)进行奇异值分解，即:
由于 V+UT的元素不是矩阵 A 的元素的连续函数，需要引入一个反映原始数据精度和所使用的浮点运算精度的 τ ，任何大于 τ 的 σi( 矩阵对角线元素) 可接受，而小于 τ 的 σi可忽略。这样可在容许的范围内降低矩阵的条件数，得到所要求的 ΔX 。τ 的值由式( 7)确定:
式( 7) 中相对误差容限视具体情况而定，通常取10-2～ 10-5。
3. 2 矢量位移约束的建立
利用上述激光跟踪仪测长误差方程所解算出的三维坐标改正值并不能反映跟踪仪的测角误差，由于跟踪仪测长值是一个相对标量值，不能对径向方向的测长误差进行有效约束，体现不出跟踪仪测长误差远小于测角误差的特点，导致解算的坐标改正值在测长径向和测角切向上的随机性，无法对测角误差进行有效评价。因此，需要在跟踪仪测长方向引入相应的矢量位移约束，该矢量位移反映的是跟踪仪的测长误差。相对测角误差，可以建立测长方向矢量位移为零的约束来解算坐标改正值。
为了更加直观地反映跟踪仪径向方向的矢量位移约束，需要对跟踪仪测量的初始参考坐标系进行适当转换以建立适于评价测角误差的坐标系。如图 5 所示，O-XYZ 为激光跟踪仪参考坐标系，根据跟踪仪测量参数( 水平角 α 和垂直角 β) 对该坐标系进行旋转得到新的评价坐标系 O-X'Y'Z'，激光跟踪仪测量的径向方向为 X' 轴，跟踪仪测量水平角切向方向为 Y' 轴，测量垂直角切向方向为 Z' 轴。X'轴方向的坐标改正值反映的是跟踪仪的测长误差，如果能对测长误差进行约束，Y' 轴和 Z' 轴上的坐标改正值就能更加直观地反映跟踪仪水平角和垂直角方向的测角误差。
激光跟踪仪参考坐标系下测量点的三维坐标值 ( xi，yi，zi) 在新的评价坐标系下转化为 ( x'i，y'i，z'i) ，其转换关系如下:
在评价坐标系下利用测长值误差方程解算出的测量点坐标改正值为 ( Δx'i，Δy'i，Δz'i) ，其中，坐标 X' 轴方向上的坐标改正值 Δx'i反映的是跟踪仪测长误差值，可置Δx'i为零作为测长约束，使得 Y' 轴、Z' 轴上的坐标改正值 Δy'i、Δz'i直观反映了跟踪仪水平角和垂直角测量方向上的测角误差。
在实际测量过程中，激光跟踪仪在 m 个测量站位下对 n 个测量点进行测量，可以得到 m·n 组球坐标系测量参数( r、α、β) ，首先以跟踪仪每个站位为参考站依次完成其他站位的定向，再利用参考站的每组测量参数( α、β) 建立评价坐标系 O-X'Y'Z'，并以 m·n 组测长误差方程结合 X'轴上的矢量位移约束对跟踪仪切向测角方向的坐标改正值进行解算，其结果反映了该站位相对被测点的测角误差。
4 实验验证及数据分析
如图 6 所示，在选定空间范围内布设 7 个被测点，点的空间分布较为均匀。激光跟踪仪在空间中通过 10 个不同站位对被测点进行测量，得到各个站位下被测点的三维坐标观测值以及长度观测值。
在进行数据解算时，对评价坐标系下的径向测长方向( X' 轴) 进行矢量位移约束( Δx'i= 0 ) ，通过测长值误差方程进行迭代计算获得跟踪仪在测量水平角方向( Y' 轴) 和垂直角方向( Z' 轴) 上的坐标改正值Δy'i、Δz'i，再根据当前跟踪仪的测量距离对其测角误差进行评价。实验随机选取 5 个测量点在 10 个跟踪仪站位下的实验数据进行解算，在水平角和垂直角两个方向上分别获得相应测量位置的 50 个测角误差值，如图 7 所示。
分别对两个方向上的测角误差数据进行标准差分析，得出激光跟踪仪的水平角误差大致为0.003 4 mm/m( 1σ) ，垂直角误差大致为 0. 002 9 mm/m( 1σ) ，基本符合前述的跟踪仪静态测量实验结果。
如果不对激光跟踪仪径向测长方向进行矢量位移约束，即忽略跟踪仪测长误差远小于测角误差的测量特点，最后解算的测角误差结果如图 8 所示，测量标准差达到0. 01mm / m( 1σ) ，与跟踪仪的误差特性不相符，主要由于矢量位移约束的缺乏导致跟踪仪测量误差分配的随机性，使得分配到测角方向的误差变化性过大，其评价标准差结果也变大。因此，仅利用跟踪仪高精度测长值而忽略径向方向矢量位移约束的解算方法无法对跟踪仪测角误差进行有效评价。
5 结 论
激光跟踪仪是一种简单方便且灵活的坐标测量系统，可以进行现场大空间三维坐标的精密测量，但跟踪仪本身的测角误差极大地影响着自身的测量精度。为了对测角误差进行现场评价，利用跟踪仪多站位测量获得的高精度测长值建立误差方程，并在跟踪仪径向测长方向引入矢量位移约束，解算得到跟踪仪切向测角方向的坐标改正值，再结合当前测量距离完成跟踪仪测量水平角和垂直角 2 个方向上测角误差的现场评价。通过相关实验表明，激光跟踪仪测量水平角误差和垂直角误差大致为 0.003 mm/m( 1σ) ，符合跟踪仪误差特性，也证明了该评价方法的有效性和可行性。
参考文献
[1] HOCKEN R. Large scale industrial metrology—A modernhistorical perspective [C]. Proceedings of the 2001 Boe-ing Large Scale Optical Metrology Conference，St. Louis，MO，2001.
[2] 叶声华，邾继贵，张滋黎，等. 大空间坐标尺寸测量研究的现状与发展[J]. 计量学报，2008，29( 增刊 1) :1-6.
[3] 张福民，曲兴华，叶声华. 面向对象的大尺寸测量不确定度分析[J]. 光学 精密工程，2008，16( 11) :2239-2243.
[4] 甘霖，李晓星. 激光跟踪仪现场测量精度检测[J]. 北京航空航天大学学报，2009，35( 5) : 612-614.
[5] CALKINS J M，SALERNO R J. A practical method forevaluating measurement system uncertainty[C]. Proceed-ings of the Boeing Large Scale Optical Metrology Confer-ence，Long Beach，CA，2000.
[6] CALKINS J M，SALERNO R J. Coordinate uncertainty fieldanalysis in coupled spatial measurement systems[C].Proceedings of the 2001 International Dimensional Work-shop，Knoxville，TN，2001.
[7] National Institute of Standards and Technology. ASME B89.4. 19-2006 performance evaluation of laser-based spheri-cal coordinate measurement systems[S]. America: U. S.Department of Commerce，2006.
[8] 马骊群，王继虎，曹铁泽，等. 激光跟踪仪测角误差的位移标定法[J]. 计量学报，2009，30( 增刊 1) : 76-78.
[9] 张京娟，张仲毅，刘俊成. 一种新型的旋转变压器测角误差标定技术[J]. 仪器仪表学报，2010，31 ( 1) :149-153.
[10] 王高文，曲兴华，邢书剑，等. 大直径内孔自动测量机构倾斜度测量研究[J]. 仪器仪表学报，2011，32( 1) :63-68.
[11] PREDMORE C R. Bundle adjustment of multi-positionmeasurements using the Mahalanobis distance[J]. Preci-sion Engineering，2010，34( 1) : 113-123.
[12] ZHANG D，ROLT S，MAROPOULOS P G. Modeling andoptimization of novel laser multilateration schemes forhigh-precision applications [J]. Measurement ScienceAnd Technology，2005，16( 12) : 2541-2547.
[13] 王为农. 提升激光跟踪仪长度测量准确度的方法[J].计量学报，2006，27( 增刊 1) : 35-37.
[14] 魏振忠，孙文，张广军，等. 激光跟踪视觉导引测量系统的全局校准方法[J]. 仪器仪表学报，2009，30( 11) :2262-2267.
[15] 任永杰，邾继贵，杨学友，等. 利用激光跟踪仪对机器人进行标定的方法[J]. 机械工程学报，2007，43( 9) :195-200.
作者简介
林嘉睿，2006 年于天津大学获得学士学位，现为天津大学博士研究生，主要研究方向为视觉测量、光电检测。E-mail: linjr@ tju. edu. cn
邾继贵，1991 年、1994 年于国防科技大学分别获得学士、硕士学位，1997 年于天津大学获得博士学位，现为天津大学教授、博士生导师，主要研究方向为激光及光电测试技术。 E-mail: jiguizhu@ tju. edu. cn
