摘 要：为提高扫描电化学显微镜(SECM)微定位系统的运动定位精度，对其压电工作台的数学模型和控制器设计进行了研究。介绍了压电工作台的动态迟滞模型方程和采用 Prandtl-Ishlinskii (PI)迟滞算子的动态迟滞模型，并在此基础上设计了压电工作台的复合控制方案。以 CHI900B 型扫描电化学显微镜的三维压电工作台为实验对象，对动态迟滞模型的具体建模过程进行了阐述，并验证了控制器的性能。在 100 V/s 和 900 V/s 两种不同输入电压速率下进行运动定位实验，动态迟滞模型平均误差分别为 0.08 μm 和 0.11 μm，精度明中显优于压电工作台的线性动态模型和 PI 迟滞模型。复合控制方案下，系统跟踪±400 μm/s 任意三角波的平均误差为0.085μm，最大误差为0.105 μm;跟踪复频波的平均误差为0.105μm，最大误差为 0.115μm。控制效果较好。
1 引 言
扫描电化学显微镜(SECM)显微成像过程中，通常要求其三维微定位系统中的压电工作台[1]能够在水平方向和竖直方向分别精准跟踪一定速率的三角波曲线和复频波曲线，因此压电工作台的运动定位精度成为决定其显微成像质量的关键因素。
文献[2]指出，压电工作台的定位精度受到工作台内部压电驱动元件的蠕变特性、迟滞特性和整个工作台动态特性的影响。其中，压电元件的迟滞特性[3-5]和工作台的动态特性[6]是影响其运动定位精度的主要因素。因此，建立合理的压电工作台数学模型并在此基础上设计性能优良的控制器是实现压电工作台高精度运动定位的关键[7-8]。
为此，本文介绍了能够同时体现压电工作台迟滞特性和动态特性的动态迟滞模型方程与其参数辨识途径，并在此基础上设计了压电工作台基于动态迟滞模型的复合控制方案，该控制方案的前馈控制采用动态迟滞模型的逆模型直接构成，反馈回路采用单神经元 PID 控制;实验部分以扫描电化学显微镜的三维压电工作台作为实验对象，阐述了动态迟滞模型的建模过程，并针对两种不同的运动定位速率，对几种不同的压电工作台模型精度进行比较以说明动态迟滞模型的优越性，最后验证了基于动态迟滞模型的压电工作台复合控制方案跟踪快速任意三角波曲线和复频波曲线的精度较高。
2 压电工作台动态迟滞模型方程
2.1 动态迟滞模型方程
对压电工作台进行受力分析，如图 1 所示。
其中工作台的输入电压 V(t)与压电叠堆内部应力FP(t)之间是迟滞非线性关系，记为：
此处ξ 、ωn可视作工作台的阻尼比和自然频率。方程(3)称为压电工作台的动态迟滞模型方程。
2.2 参数辨识途径
压电工作台动态迟滞模型方程的参数辨识可对模型的迟滞特性和动态特性两部分单独进行。
当工作台运动定位速率较慢时(以不产生明显的蠕变特性为底限)，工作台的动态特性体现不明显，方程(3)满足条件
可简化为：
因此，可通过工作台慢速运动定位的实验曲线辨识得到输入电压与输出位移的之间的迟滞非线性关系 H*。
(在此，方程(4)为工作台的传统近似数学模型之一，称为静态迟滞模型，H*可用 PI 模型来表征。)当工作台运动定位行程较小时，迟滞非线性关系 H*可近似为线性关系，方程(3)简化为：
因此，可通过线性系统频率响应辨识法获得工作台的阻尼比ξ 、自然频率ωn以及常数 b。(在此，方程(5)也为压电工作台的传统近似数学模型之一，称为线性动态模型。)
3 基于 PI 迟滞算子的动态迟滞模型
动态迟滞模型方程中的迟滞非线性关系H*可选用PI迟滞模型[9-10]，从而构成基于 PI 迟滞算子的动态迟滞模型。
PI 算子由适当数量的阈值不同的加权间隙算子叠加构成。间隙算子的递归形式数学描述为：
n 个阈值不同，权值不同的间隙算子线性叠加即可构成 PI 迟滞算子：
PI 迟滞算子的逆算子仍为一个 PI 迟滞算子，仅阈值和权值需要作相应的变换。式(7)的逆算子可记为：
在选用 PI 迟滞算子构成压电工作台动态迟滞模型时，合理选取间隙算子的数目及阈值，并采用性能指标：
优化得到与慢速实验迟滞曲线拟合最佳的间隙算子权值，其中，*H [V (t )]为 PI 模型曲线， L[ V ( t )]为工作台慢速运动定位实验曲线。
4 压电工作台复合控制方案
压电工作台动态迟滞模型易于求逆，据此特点设计了图 2 所示的压电工作台复合控制方案(由前馈控制和反馈控制构成)，其中，r(k)为参考轨迹，y(k)为输出。控制律为：
4.1 前馈控制设计
复合控制方案中的前馈控制律可由基于PI迟滞算子的动态迟滞模型直接求逆运算而获得，即：
具体实现时，可采用带有惯性的微分环节来代替式(11)中的微分环节。
在设计数字控制器实现该前馈控制律时，可利用后向差分方法，即：
直接对前馈控制律的线性部分进行离散化处理。其中，Ts为采样周期，且 Ts足够小(在本文的实验中，选择Ts=0.000 8 s)。
式(11)的前馈控制律也可单独作为开环控制器应用于压电工作台的运动定位中，但抑制外界干扰等不确定性因素的能力较弱，导致定位精度有所下降。适于应用于定位精度要求不很苛刻的场合。
4.2 反馈控制设计
复合控制方案中的反馈控制可采用常规的 PID 控制器来实现，但为进一步增强控制系统的性能，设计了如图 3 所示的神经元 PID 控制。
选用单神经元自适应 PID 控制器改进学习算法来调整神经元的权系数，即：
压电工作台的复合控制方案将前馈控制的优点和单神经元反馈控制的优点结合在一起，形成了互补：一方面，反馈控制的加入，消弱了前馈控制中动态迟滞模型建模误差等对定位精度的影响，提高了系统的自适应性;另一方面，前馈控制提高了反馈控制系统的快速性。
5 实 验
5.1 实验条件
采用 CHI900B 型扫描电化学显微镜的 TRITOR100型三维定位压电工作台作为实验对象。
5.2 动态迟滞模型实验建模
以工作台 X 轴为例进行建模。工作台 X 轴向动态迟滞模型的建立分两步进行，首先辨识工作台 X 轴向慢速运动定位的 PI 迟滞模型的参数，进而对工作台动态特性参数进行频率响应法辨识。
5.2.1 PI 模型参数辨识
为凸显工作台的迟滞特性，对工作台输入如图 4(a)所示 0~45 V 慢速(0.05 Hz, 4.5 V/s)振幅逐步衰减的三角波电压，使其往复运动定位的路径能逐步遍历整个30 μm 行程。记录工作台的定位数据，形成工作台慢速运动定位实验曲线 L[V(t)]。取 20 个间隙算子线性叠加构成 PI 迟滞算子对工作台慢速运动定位实验曲线进行拟合，由式(9)优化得表 1 所示的最佳间隙算子权值。拟合所得PI模型响应值与慢速运动定位实验值之间的平均误差为 0.075 μm，最大误差为 0.090 μm。绘制 PI 模型迟滞回线与慢速实验迟滞回线如图 4(b)所示。由式(8)得到表2 所示的 PI 迟滞逆模型参数值。
5.2.2 动态特性参数辨识
以二阶系统：
的形式，用 MATLAB 对实验所得工作台频率响应数据进行曲线拟合。拟合得到比例系数 b=0.63, 工作台阻尼比ξ=0.43，自然频率ωn=613.4 Hz.
5.3 动态迟滞模型与其他传统模型精度比较
在 30 μm 运动定位行程上，对工作台分别输入 2 种不同速率的任意三角波曲线(输入电压变化速率分别为100 V/s 和 900 V/s)，以验证动态迟滞模型较传统近似模型(PI 迟滞模型和线性动态模型)的优越性。
图 5 直观比较了 3 种模型在不同运动定位速率下的模型精度，各模型的平均跟踪误差和最大误差列于表 3中。不难看出，动态迟滞模型精度较高，且受运动定位速率变化的影响很小;PI 迟滞模型精度次于动态迟滞模型精度，但在运动定位速率较大时模型精度下降较大;线性动态模型精确度较差。
另外，从图 6 中清晰可见，工作台快速运动定位实验迟滞回线与慢速运动定位迟滞回线(图 4(b))差别较大。PI 模型迟滞回线与工作台慢速运动定位实验迟滞回线拟合效果较好，较适用于工作台慢速运动定位情形;动态迟滞模型适用范围广，尤其适用于压电工作台快速运动定位情形。
5.4 复合控制方案实验验证
如图 7 所示，复合控制方案跟踪±400 μm/s 任意形式三角波的平均误差为 0.085 μm，最大误差为 0.105 μm;跟踪复频波的平均误差为0.105 μm，最大误差为 0.115 μm，其中，复频波的数学描述为：
相关实验表明，压电工作台复合控制方案控制精度较单纯前馈开环控制精度和单纯神经元 PID 控制精度有显著提高。
6 结 论
为提高扫描电化学显微镜微定位系统的运动定位精度，介绍了压电工作台基于 PI 迟滞算子的动态迟滞模型方程，该模型方程同时体现了压电工作台的动态特性和迟滞特性，比传统模型(PI 迟滞模型和线性动态模型)精度高且受运动速率变化影响小。
在压电工作台动态迟滞模型基础上设计了复合控制方案，前馈控制器与神经元 PID 控制器均结构简单，且形成优势互补，易于实现，为提高扫描电化学显微镜的成像质量提供了可行的解决方案。该技术还可移植到其他精密定位应用领域。
参考文献
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作者简介
张栋，2005 年于山东大学获得硕士学位，目前于山东大学控制理论与控制工程专业攻读博士学位，主要从事微纳系统非线性建模与控制技术的研究。E-mail: zhangdonggraduate@163.com
张玉林，山东大学教授、博士生导师，主要从事计算机控制技术，微米、纳米加工及控制技术，微机电系统加工控制技术，生物芯片加工新技术的研究。E-mail: ylzhang@sdu.edu.cn
