摘 要: 基于激光位移扫描的大尺寸内径测量系统中，测量数据存在多个系统误差参数并易受到粗大误差的影响.在分析该系统工作原理的基础上，分析了测量传感器安装倾斜误差和回转臂偏心误差，并提出了相应的校正补偿方案. 针对动态测量、管壁划痕、斑迹等引入的粗大误差对测量数据的最小二乘圆拟合精度影响较大的问题，提出了一种剔除粗大误差的方法: 根据最小平方中值法构建基准圆，剔除孤立点，再用最小二乘法拟合，实验结果表明该算法的精度优于直接最小二乘法 5 倍.
大内径的自动化测量是工业中常见的难题[1]，如大轴承座内径 D 高达 500 ～1 000 mm，而轴承座与轴套外径的配合公差为 0. 03 ～0. 05 mm，这就对孔内径和轴套外径的测量有较高的要求，需要精密测量仪器的精度优于 0. 01 mm 以上. 大内径测量的技术主要有弓高弦长法[2]、三点法[3]、基线法等接触式测量法，以及多普勒效应法、滚轮法[4]、标记法[5]、激光干涉仪[6]、激光杠杆法、激光扫描等非接触式测量法. 但考虑到接触式测量法效率低; 滚轮法、标记法需要转动工件，不适合大型工件[7]; 激光干涉仪、多普勒效应法需要导轨; 光杠杆法测量范围小等缺点[8]. 设计的基于激光三角扫描的便携式大尺寸内径测量系统已经用于轴孔的自动化测量，但尚存在多个系统误差参数需要校正，以及常规最小二乘法内径拟合算法精度容易受刀痕、温度场变化、振动、测量弧度的粗大误差影响等问题，可靠性比较差. 本文针对这两个问题，分析了主要参数系统误差及其校正算法，提出了基于最小平方中值法剔除粗大误差的最小二乘拟合法，显著提高了系统的测量精度.
1 系统组成及功能
系统原理如图 1 所示，系统测量过程如下. 测量之前首先调整 4 个行走轮的径向伸缩量及辅助行走轮，使之接触内壁，保证行走过程中测量装置的稳定性. 预热初始化系统，双轮行走驱动电机带动测量装置沿轴向行走至目标截面; 启动定位机构驱动电机，通过丝杠驱动前后两个单锥体，由于预紧机构的作用，先后定位固紧截面 1 和截面 2. 回转臂靠轴承与各自的锥体斜面接触. 根据电机反馈电流的大小判断定位完成; 由直流伺服电机驱动两个轴向对称的精密测头进行 360°旋转，电机驱动齿轮副带动同步联接杆，再通过 2 个齿轮副带动前后 2 个回转臂，达到由 1 个电机保证 2 个截面传感器的同步性. 旋转时，位移传感器的供电和信号线随之旋转，因此采用正反转交替的方式避免单方向多次旋转后的线圈缠绕问题. 测量系统定时采集传感器数据和电机编码器信号，通过无线网络传到上位机; 连续扫描测量工件一周，得到 N 组测量点，然后利用拟合算法得到内径、圆度等参数，保存、打印测量报告. 该测量系统测量范围大，更换支撑定位臂端帽及回转臂量程可达到 582 ～960 mm，且该系统特别适合测量带有台阶的精密孔径，对同直径的孔径也有冗余测量功能.
2 内径测量原理与模型
由于内径范围为 582 ～ 960 mm，而要求与外径的配合公差为 0. 03 ～0. 05 mm，要求精度较高，现有位移传感器很难同时满足精度和范围的要求[9-10]. 因此，本系统采用相对测量原理. 传感器型号为 LK-G30，测量距离为 30 mm，测量范围为 ±5 mm，线性度 ±0. 05%，分辨率 0. 05 μm. 测量时间可设定为 20 ～1 000 μs. 由于被测产品的型号固定，因此不采用连续可调回转臂，而是制作了若干固定长度的回转臂，并事先已经利用高精度仪器标定基准臂长 r0.
内径测量模型如图 2 所示. 图中，O 代表测量系统的回转中心; O'代表被测对象的实际中心; r0为回转臂的长度，是常量，r0= H.
以回转中心 O 为原点，建立直角坐标系 XOY，当测头绕 O 点逆时针转动 θ 角时，测头读数为 θ 的函数以 r( θ) 表示.
当测头逆时针转动到 Pi点时，相应的 θi角的半径为
回转臂在伺服电机的驱动下转动扫描一周，为了保证每个测量点角度θ和位移 R 的采集同步性，在每个角度位置测量时，控制电机停止 2 ms 再旋转到下一个角度，因此可保证采集数据的同步性，且停顿间隔也较短，不影响整体扫描时间. 根据得到的数据运用改进的最小二乘法得到内径参数.
测量系统中的位移传感器、回转臂等机械部件之间相互的装配必然存在误差，这对于精密内径测量是较大的系统误差，因此要对其进行分析，从而校正装配参数以满足系统测量精度的要求.
3. 1 倾斜误差
激光位移传感器的安装如图 3 所示. 理想情况下激光位移传感器的发射激光束的反向延长线应该垂直于机构主轴，但是由于激光位移传感器是靠螺旋固定在回转臂顶端的 L 板上，因此存在配合间隙，即使通过准直仪精密调整程序，还可能存在最大角度为± 0. 03°的左右倾斜，导致测量数据与实际位移的线性放大关系，因此要求取测量头的倾斜校正系数对测量值进行修正. 为此设计了如图 4 所示的校正补偿方案.
借助二维俯仰平移台使回转臂与试验台垂直，然后把厚度为 d1的标准量块放在平台上，读取传感器测头读数 x1，然后再换上厚度为 d2的标准量块，同时读取传感器测头读数 x2，由此可以得到传感器安装倾斜的校正系数
根据得到的传感器倾斜校正系数ε来设置传感器参数，这样就消除了由于传感器安装误差带来的测量误差.
3. 2 偏心误差
理想情况下激光位移传感器发射激光束的反向延长线应该通过主轴的转动中心，但是由于回转臂和传感器的安装误差，使得激光束很难经过转动中心，这就引起了偏心误差. 实际转动模型及修正方法原理如图5 所示.
系统实际测量中心是以 O 为圆心、以偏心距 e 为半径的圆，因此必须要标定系统回转臂的基值 r0和偏心距 e. 借助二维俯仰平移台使回转臂和试验台垂直，记录传感器的测量值 x0，然后控制电机使回转臂分别转动角度 θ1和 θ2，并且记录传感器的测量值 x1和 x2，则根据图 5 可得
3. 3 弯曲误差
由于回转臂较长，回转臂自重和测量头重量会导致转动过程中回转臂弯曲变形，影响测量精度，根据实际仿真计算知道，当内径为 1 000 mm 时，回转臂的最大轴向变形为 0. 081 μm，这与传感器的分辨率 0. 1μm 相当; 回转臂的水平位置的最大挠度角度 1. 74″，与电机编码器的分辨率3. 05″相当，因此这两项误差可以忽略不计.
3. 4 回转臂基准长度误差
尽管回转臂基准长度已经标定好，但温度变化导致的热变形对臂长产生影响. 设在标准温度20 ℃时臂长校准值为 L0= 500 mm，回转臂材料选用碳纤维，热膨胀系数α = 1 × 10- 6℃- 1，在不同于校准温差为ΔT =20 ℃的现场环境下，回转臂的尺寸 L 变化为
设臂长校准不确定度 UL0= 1 μm，α 的不确定度Uα= 5%α. 温度测量不确定度为 UT= 0. 5 ℃ . 则 ΔT 温差导致标准尺的不确定度为
可见采用热膨胀系数较低的材料后，减小了由于温度造成的臂长误差.
4 改进的剔除粗大误差方法
考虑到测量装置的倾斜，不失一般性，在此设内径方程为椭圆方程，这样既可以提高拟合精度，又可以计算装置倾斜角度，因此设椭圆的隐式方程为
这是一个关于系数 A、B、C、D 和 E 的线性方程，根据最小二乘原理，就可以获得椭圆的理想参数. 设 Pi( xi，yi) ( i =1，2，…，N) 为轮廓上的 N 个测量点( N >5) ，则目标函数为
由极值原理可以得到式( 9) 中 A，B，C，D，E 的最优值，进而得出原点坐标( x0，y0) ，内径 R = b，倾斜角度θ = arccos( b /a) ( a 是长轴，b 是短轴，在圆内径测量中，短轴就是待测内径，arccos( b/a) 代表测量装置倾角) .
最小二乘法容易受孤立点的影响，即使有少量的孤立点也会对拟合结果产生很大的影响. 常用的 3σ准则剔除粗大误差时，直接用包含粗大误差的所有数据拟合圆并求解标准差，经常导致结果的可靠性不高.本文提出了基于最小平方中值剔除粗大误差的方法[11]，其原理如下: 根据椭圆隐式方程式( 8) 可知，只要 5 个点就可以求出对应参数，所以给定 N 个测量点就可以拟合 C5N个椭圆，然后根据这些椭圆参数求出每组误差的平方中值，进而求出平方中值的最小值，最后利用该组数据的参数剔除粗大误差.但是直接利用最小平方中值法计算量过大，假如N = 360，需要计算 490 亿次，且随着测量点数的增多，计算次数急剧增大. 因此，这里采用简化的最小平方中值法，其应用程序流程如图 6 所示.
5 实验数据
为了验证内径算法的合理性，这里采用直径约为580 mm 的无缝钢管作为测量对象进行了实验验证. 首先利用 FARO 公司的 6 关节坐标测量机进行了管道内径标定，在测量机测量范围内准确度优于 ± 0. 025mm，标定结果为 292. 786 mm. 本实验首先将机构置于管道内某一截面处，定位稳定后，让激光位移传感器整周扫描，得到 6 组实验数据，未进行参数修正得到的测量结果为 292. 462 mm，与标定值的差为 -0. 324 mm.利用 本 文 的 参 数 校 正 算 法 修 正 后，半 径 均 值 为292. 688 mm，与测量系统的差为 - 0. 098 mm. 验证了参数校正模型可以提高设计的系统测量准确度.
以校正后的测量值作为管道的基准值. 然后在内壁上随机粘上十几处橡皮泥作为缺陷，再测量 6 组数据，对测量数据分别用上述两种算法，计算得到管道的半径值和误差值，比较本文提出的算法在避免粗大误差影响方面的优越性. 实验数据结果如表 1 所示.
从表 1 可以看出，孤立点对测量结果产生很大的影响，而采用最小平方中值剔除粗大误差后的结果较直接最小二乘法误差减小了近 4/5，结果几乎不受孤立点噪声的影响，这说明最小平方中值能去除划痕、锈斑、油渍等噪声的影响，得到更为可靠的测量结果.
6 结 语
在基于激光位移传感器的大内径测量系统中，采用双截面柔性组合的先后定位方案，实现了机器人轴心和被测孔径加工轴线的高度重合，显著提高了系统的稳定性; 但分析该系统的测量模型发现两个显著的系统误差源，因此对激光位移传感器的倾斜误差、回转臂偏心误差提出了校正和补偿方法; 在数据处理算法中采用基于最小平方中值法剔除粗大误差的最小二乘法，避免了刀痕、斑迹等表面噪声带来的粗大误差干扰，在有孤立点噪声的情况下，平均误差比直接最小二乘法减小了近 4/5，为提高整个系统的测量精度奠定了基础.
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基金项目: 高等学校博士学科点专项科研基金资助项目( 20100032120062) ; 天津市应用基础及前沿技术研究计划资助项目( 11JCYBJC01000) .
作者简介: 张福民( 1982— ) ，男，博士，讲师，zhangfumin@ tju. edu. cn.
通讯作者: 刘红轩，liuhongxuan640@126. com.
