1 引 言
单台经纬仪只能提供目标的角度信息,包括方位角和高低角,只有这两个角度信息并不能定位空间目标的三维位置,所以用经纬仪定位目标的三维位置,需要两台以上的经纬仪联合测量,然后多台交汇处理来得到目标的三维位置[1-3]。在靶场广泛应用三角测量法来进行经纬仪的测量数据交汇,尽管三角法的应用很广泛,它的误差传递过程在国内外却很少有文献分析。Gueze-mec和Kiritsis为了对处理的图像进行三角法的统计性测试,提出了综合图像模型,但最终没有给出传感器原点位置误差对最终交会结果的影响[4]。在假定传感器位置坐标无误差的情况下,Angus给出了方位角测量误差对最终交会距离误差的影响,但没有给出高低角测量误差对三角法交会距离误差的影响[5]。同样Sanders-Reed也在假定传感器的坐标是准确的前提下,讨论了三角法的误差传递[5]。Sridhar和Suorsa比较了两传感器系统交会距离误差和角度测量误差的关系[6]。他们均假定传感器位置测量是无误差的,误差是由于方向角测量引入的。国内文献中大多描述是定性的,未做定量讨论[14-16]。本文所做的工作就是对经纬仪站址测量误差,经纬仪测量角度误差,包括方位角和高低角误差对最终目标的三维位置定位误差的影响进行分析。通过本文的分析,可更好地理解传感器到目标的方向角度是如何影响目标交会位置的精确度的[7]。
通常情况下,两个或更多的传感器放置在已知坐标(x,y,z)的位置上,指向想要测量的目标所在的方向。指向角通常是方位角和高低角。角度的测量有固定的参考平面,例如以方向北为参考。本文的分析专门针对经纬仪。经纬仪中所用传感器多为可见光和红外传感器,成像器件是位于焦平面的阵列。通常情况下,以阵列中心的指向来计算方位角和高低角[5-7]。
对于只有角度测量信息的传感器,至少需要两个传感器来定位目标的三维位置。对于焦平面阵列传感器,利用三角法来计算目标位置要利用每个传感器所成的目标的像,计算每个图像中目标的位置。
2 3D位置估计
本章节对经纬仪常用的三角交汇法和常用的符号进行简要的介绍。采用的坐标系统如图1所示,图中目标位置用下标表示,传感器位置用下标i表示。定位目标3D位置至少要求两个传感器,如果超过两个传感器,问题就是过约束的,成为最小均方问题[8]。
目标位置定义为(xt,yt,zt)。传感器定义包括位置和指向角,传感器位置定义为(xi,yi,zi),方位角是θi,高低角是φi,方位角以y轴的正轴起始,顺时针方向旋转,范围从0到2π弧度。高低角测量从x-y平面起始,值从-π到π。从传感器i到目标距离的x-y平面投影是ri[7-13]。方位角和目标及传感器的坐标关系由下式决定:
目标z坐标和传感器z坐标、俯仰角、x-y平面投影距离ri之间的关系由下式决定:
对于N个传感器的情况,均方差矩阵写为:
若要计算zt,本文只需计算每个传感器的值,然后平均这些值。
对于两传感器的情况,可以显式地表示等式(1),运用下标1和2来表示两传感器,由此得到下式:
式(6)、(7)只对两传感器的情况有效。多于两传感器时,式(4)是最简方案。
3 两传感器交会时的误差传递
本文推导了两传感器时的误差传递等式。首先在给定站址测量误差和经纬仪测角误差的情况下,推导出目标定位基本的误差传播等式组,然后再讨论测量值具有高斯随机误差的情况[7]。
为了得到式(6)中各参数测量值和估计值xt之间的联系,本文就xt进行泰勒级数展开,只保留一阶项,关于xt的误差传播方程写为:
考虑到测量误差较小,可忽略高阶项。本文称之为一阶误差传播等式,是因为它描述了交会结果和每一个测量元素误差之间的依赖关系。xt随x1的测量误差而变化,通过误差系数项 xt/ x1表现出来。下式表明,x1的误差系数依赖于目标相对两个传感器的方位角正切值之差tanθ1-tanθ2和tanθ2的比值。
各测量元素的误差系数项如下式所示:
后面的两个等式也可利用等式secθ=1/cosθ和来重写,重要的是,要注意到 xt/ x1+ xt/ x2=1, xt/ y1+ xt/ y2=0。由此可以看出,单一的误差系数是受站址坐标影响的,而由于误差系数相加的和是一定的,没有影响。也就是说通过选取合适的坐标能够减小三角法对传感器1的x坐标的敏感度,但这是以增加对站址2的x坐标误差的敏感度为代价的。在实际项目中可根据实际情况调整这两个系数的大小尽可能降低总的误差。
对式(7)进行相似的泰勒级数展开,并只保留一阶项,得到关于yt的一阶项误差传递等式。
各项系数如下所示:
同样满足以下两式: yt/ x1+ yt/ x2=0,和yt/ y1+ yt/ y2=1。对于水平投影距离ri,在传感器i和目标t之间的距离可由下式给出,
对于 xt和 yt,带入式(8)和(10),得到
其余必须要处理的项如下:
运用式(9)、(10)、(14)可以得出误差传播等式(12),在传感器i和目标t之间的x-y平面的投影距离,等式过长没有列出。
用式(2)写目标的zt坐标的一阶误差传播等式:
至此已经得到所有的误差传播等式,分别对应xt,yt,zt,ri,这些量的推导要求计算等式(9)、(11)、(14)、(16)。这些参数很容易用计算机编程来计算,从而得到目标和传感器之间的几何关系。
从上面的等式,可以得出测量误差传递的几个规律:
(1)由式(4)、(6)、(7)可以得出,目标xt和yt坐标的估计误差不受传感器的站址坐标中zi坐标的误差影响,也不受测量高低角φi的影响。
(2) xt和yt中源于传感器坐标(xi,yi)的误差,只受测量方位角的影响,主要是以目标为顶点的两个传感器之间的交会角度,和具体的传感器位置坐标无关。
(3)在关于δxt和δyt的传递关系式中(式(9)和(10)),各分项的分母中都包含有(tanθ1-tanθ2)项,那么当这2个正切值相等时,θ1=θ2+kπ,其中k为整数。差值为零,误差传播系数变为无穷大。实际测量中只能有两种情况发生,θ1=θ2和θ1=θ2+π。
(4)站址坐标中z项的测量误差,最终直接等值转移到估计值中z项的误差(式[16])。
4 单项差具有白噪声特性时的误差传递
式(8)描述了误差的传递从每个测量元素到最终估计值xt的传播过程,一般测量误差服从高斯分布。在这种情况下,得到估计目标位置xt的标准差,通过对式(8)取平方,得到期望值,最终得到平方根,这里假定各误差项是不相关的。
其中,δa是变量a的测量误差的标准差。通常认为相互独立的变量是不相关的,但并不总是具有相同的符号,因此可直接将等式扩展到两变量相关的情况。如果两变量v1和v2是相关的,那么交叉项的期望值ρσv1σv2(其中-1≤ρ≤1)是非零的,那么在均方根中将出现形式为2( xt/ v1)×( xt/ v2)ρσv1σv2的附加项。
同样,由式(10)能够得到yt的估计误差标准差的估计:
由式(13)得到:
最后式(15)给出(其中 zt/ zi=1):
本文进一步假定传感器1和传感器2测量误差的标准差是相互独立的,并是相等的。进一步假定没有方向性,也就是x方向和y方向有相同的标准差。这两个假定可以写为:
采用这些假定可以重新写式(17)、(18)、(19)如下(式(20)不变):
式(20)对于zt中来自于单个传感器的误差提供了一个估计。既然有两个传感器,先计算单个传感器zt估计,然后采用加权来取平均,权值由标准差给出,来获得zt的最佳估计。因为两个传感器的估计值zt依赖于两个传感器的位置和目标的方位角和高低角,误差估计变为:
其中,σzt(1)是由式(20)获得传感器1的zt标准差,σzt(2)是对应传感器2的zt标准差。两个变分式可由式(16)做各自的高低角的正切变换得到。而Cov(δr1,δr2)可作为〈δr1δr2〉的内积的期望值,经过变换后,可以得到:
变分项由式(14)给出,标准差的表示由式(22)和(23)给出。式(20)~(26)是最终误差传播等式联系本文的测量误差和最终的目标位置估计误差。对于一个两传感器系统,可以运用式(3)、(5)和(7)来计算目标位置的估计。再用式(20)~(26)来提供那些值的误差估计。
5 实 验
本章节定量考察传感器的位置和指向角对目标位置估计的影响。由此本文考察传感器位置误差(σpos)系数、传感器方位误差(σθ)系数在目标位置(xt,yt)的等式中,传感器到目标投影距离ri的影响,考察传感器高低角对于目标zt位置估计的影响。最终得出对误差的大小起决定作用的是传感器交会角θ1-θ2、目标的距离、传感器高低角这3项参数。为了计算这些系数,对式(9)、(11)、(14)、(16)用程序编码,把计算机计算输出的结果和手动计算的结果进行了比较来确定计算机计算的精确度。当一个已知误差被引入式(2)、(4)、(6)和(7)时,比较真值和计算值之间的差异。一个更重要的检测是画各个分项对的曲线,比如( xt/ x1+ xt/ x2),在不同的交会角时,检查它们的值是否为常量。
在确定程序输出的正确性后,绘制误差曲线。按以下方法进行实验:
(1)假设目标坐标xt=50,yt=100,zt=2,即:(50,100,2)。传感器1的方位角θ1,水平投影r1,z坐标是z1,空间距离是5个单位。由以上信息可得出传感器1的坐标(x1,y1)和目标的高低角φ1。
(2)传感器2和传感器1具有相同的水平投影,但坐标点绕目标以步长1°转动,以便交会角在1°和179°之间变化,并在每一点计算误差传播系数。
(3)传感器1方位角取不同的值,在每一取值,传感器1固定,传感器2重复(2)的动作。σpos测量误差系数单位是传感器位置误差为一个标准单位位置误差和标准单位的比值。σθ测量误差系数单位是单位每度。
在给定距离和到目标的方位角时,为了得到每一个传感器的(x,y)坐标。式(1)和(3)引入Δx=|xt-xi|和Δy=|yt-yi|。结果是:
本文给出了误差传播系数相对交会角变化的图形。应用4个传感器产生了6个传感器对,所有4个传感器和目标的空间距离是5个标准单位。传感器1有40°方位角,传感器2有50°方位角,传感器3有130°方位角,传感器4有140°方位角。也就是说,两个传感器对有10°交会角,一对有80°交会角。两对有90°交会角,一对有100°交会角。
用式(6)、(7)、(3)计算了目标x-y坐标,传感器1到目标距离具有高斯分布测量误差。计算了目标x-y位置估计的标准差和传感器1到目标的距离估计,用于每个传感器对,比较了预测分析和图形。
6 误差传播图形
本文考察了等式(22)和(23)中σpos和σθ系数的变化。图2~5显示了系数的曲线图,横坐标为交会角(θ1-θ2),纵坐标是误差系数。由式(9)和(11)可以看出,这些系数不仅依赖于传感器之间的交会角,而且和各自方位角的值有关。这里考察不同的固定的传感器1方位角θ1和不断变化的方位角θ2。
图2和3为x和y目标位置估计相对于传感器位置测量误差的系数图,可以看到如预测所估,作为交会角的函数,它们是相同的,两个图形在θ1角有90°偏移。两图的误差系数出现在交会角为90°时,误差系数变化从90°时的1∶1到20°和160°差角时的4∶1。
图4和5为x和y目标位置估计的敏感度相对于传感器方位角测量误差系数图,如预测所估,作为交会角的函数,它们是同样的,两图形θ1角有90°偏移。在方位角为90°时误差系数最小,目标位置误差系数从90°的0.087∶1到20°和160°的0.35∶1。这意味着交会角是90°时,1°的方位角测量误差将导致0.087个单位的目标位置误差。
由式(9)、(11)、(22)、(23)可看出,σpos的误差系数不依赖于传感器位置,因此和距离无关;而σθ依赖于传感器位置,故与距离有关。对于等式(22)和(23)中σθ的系数,在距离2r时,是距离为r时系数的两倍。σθ系数的点图(图4和5)用于5单元距离,在距离变化的情况下,乘相应倍数即可。
传感器到目标距离误差影响对目标位置z坐标的估计精确度。式(24)描述了传感器位置和方位角测量误差如何影响传感器到目标距离。σpos的系数独立于目标到传感器的距离,也独立于绝对角度,只依赖于交会角。σθ的系数也独立于绝对角,直接线性放大。图6显示了σθ的曲线图。
从图7可以看到较大范围的变化,60~120°时,最小敏感度是1.4∶1,20~160°时,增加到4∶1。由图6看到距离误差的敏感度对方位测量误差的敏感度变化在90°差角为0.087∶1。0.33距离单位每度的方位角差在差角20°和160°(在5单位距离)。
式(20)中σr和σφ系数如等式(16)所示,σφ的系数是 zt/ φi=risec2φ1。曲线如图8所示。表1和2给出了位置测量误差标准差为1和角度测量误差标准差为1.0°时的位置估计标准差。
用于估计三维目标位置(x,y,z)的方程由2.1给出。对于N个传感器问题,目标(x,y)位置能够采用式(4)来估计,两传感器时采用式(6)和(7),从这个结果能估计出水平面上传感器到目标距离,对于每个传感器,运用式(3)来估计,最终采用式(5)来估计目标z位置。
7 应 用
本文对得出的结论在实际工作中的应用做了讨论。对于近距离的碰撞实验,设想测量一个三维位置,其精确度为5 mm,目标到传感器的距离为4 m。假定交会角是40°,如果传感器1有45°方位角,目标x位置相对于传感器位置误差系数是1.11;y坐标误差系数是1.90;方位角误差系数是0.097×4/5=0.078 m/(°),高低角是0.166×4/5=0.133 m/(°)。比率4/5把本文中的5单位距离转为本例中的4 m。如果把位置测量误差和方位测量误差等分,各自为2.5 mm误差,那么需要测量传感器位置精确到1.3 mm(2.5 mm/1.90),角度测量精确到0. 02°= 0. 35 mrad[(0.002 5 m)/(0.133 m/(°))]。如果运用一个512 pixel×512 pixel的传感器,具有20°的视角范围,那么脱靶量量纲为0.04°。也就是说测量目标位置要优于1/2 pixel。上述的传感器的位置和指向角只在精确要求目标3D位置时是必须的;而只计算视场内目标的相对位置关系时是不需要的,只要求脱靶量的量纲。
如果目标相对传感器较远,典型的精确度可能是5 km的距离精确度为2 m,假定512 pixel×512 pixel的传感器有0.25°的视场,每个像素8.5μrad,并假定交会角为90°,传感器位置测量误差系数为1.0,方位角测量误差系数为0.087×(5/5)=0.087 km/(°)。再一次等分传感器位置和方位角误差,可以看到传感器位置误差要求在1 m以内(差分GPS定位技术)。方位角的精确度是(1 m/(87 m/(°)))=0.01°=17μrad。目标z位置的估计依赖于传感器z坐标测量、高低角测量、传感器到目标的半径。如果假定高低角为40°,高低角误差系数为0.2 km/(°),则高低角测量误差≤0.005°,才可得到1 m精确度。
8 结 论
本文推出了采用三角法进行经纬仪交会定位目标三维位置测量时的误差传播等式。结果表明,在交会角为90°时,误差最小,交会角在60~100°时,误差系数变化较小,<20°或>140°时急剧变大,所以交会时应尽量选择交会角在60~100°。目标的(x,y)坐标的估计精度依赖于经纬仪站址的测量精度、经纬仪方位角测量精度及传感器和目标的距离及两经纬仪的交会角。目标z坐标的精度依赖于传感器到目标的水平投影距离、传感器z坐标的测量精度和传感器高低角测量精度。
本文中给出的等式和图形为适用的工具,可用于设计一个两传感器的三维位置估计系统,以获取一个期望的精度级别,也可以用来估计一个已存在系统的精确度,在实际系统设计中已得到应用,效果很好。
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作者简介:刘旨春(1974-),男,吉林长春人,副研究员,博士研究生,主要研究方向为视频判读和数据处理。E-mail:liu357cn@yahoo.com.cn
通讯作者:郭立红(1964-),女,吉林舒兰人,研究员,主要研究工作为计算机应用。
导师简介:邢忠宝(1943-),男,吉林长春人,研究员,主要研究工作为靶场光电经纬仪总体设计。
