1 引 言
在空间光学遥感器反射镜组件的设计初期,采用有限元法对设计方案进行工程分析,已经成为衡量设计方案是否合理,图纸能否进行下图加工的一个重要的评价手段[1-2]。随着空间光学遥感器反射镜的口径越做越大,反射镜的研制成本也越来越高[3-4],这意味着在方案设计阶段不允许有颠覆性的失误,从而对工程分析结果的准确性提出了进一步的要求,特别是对算法成熟、影响因素较少的反射镜组件模态分析结果要求更高。
此外,在方案设计阶段,有限元分析结果不但是衡量设计方案是否合理的重要手段,还是指导反射镜组件优化设计的重要的量化指标[5],因此,在不允许有颠覆性失误的设计过程中,必须对有限元分析结果的误差进行定量分析。能否定量地给出有限元分析结果的误差,已经成为了采用有限元法进行优化设计后使得到的方案可靠有效的重要保证。
通过误差分析,找出影响有限元分析结果的所有误差因素、误差传递因子及其概率密度分布,因为这些因素,特别是影响大的因素,一旦漏掉可能会使分析结果精度严重下降,甚至造成分析得到的是一个错误的结果,从而给设计带来颠覆性的灾难。
通过合理的误差分析,也能找到影响分析结果精度的关键因素,反过来指导有限元分析的进行,从而在分析中取得事半功倍的效果[6]。本文以某空间光学遥感器反射镜组件为例,首先采用有限元法进行模态分析,然后找出影响分析结果的主要误差因素,对每个误差因素对分析结果带来的精度下降进行详细的定量分析,最后采用误差合成法对所有误差因素进行合成,得到采用有限元法进行反射镜组件模态分析的误差评价。
2 反射镜组件的模态分析
2.1 反射镜组件的有限元模型
反射镜组件主要由反射镜镜体、支撑结构以及三角板等零件组成,根据零件结构的特点,主要采用八节点六面体单元对各零件进行有限元网格划分,个别拐角的地方采用五面体楔形单元过渡,螺钉连接的环节采用结点相连接的简化方式处理,整个组件的有限元模型如图1所示。
2.2 单元质量检查
为了避免单元质量对分析结果带来影响,在分析前首先对有限元模型的单元质量进行检查,主要包括:单元的细长比、内角、扭曲以及表面锥度等,六面体单元以及五面体单元质量检查结果分别如表1、表2所示。
单元质量检查结果表明,在反射镜组件的有限元模型中,除个别基本对分析结果没有影响的单元外,在力的传递路径上的单元质量全部满足MSC.Nastran保证计算结果可靠性的指标要求。
2.3 材料属性
在反射镜组件中,镜体为碳化硅材料,支撑结构为殷钢(4J32),三角板为钛合金材料,三种材料的材料参数如表3所示。
3种材料的材料参数全部由各自的生产厂商提供。每种材料的每个参数的误差也由各自的厂商提供,材料参数的误差为随机误差,正态分布。
2.4 模态分析
采用MSC.Nastram软件对反射镜组件进行了约束模态分析计算,得到了反射镜组件前十阶模态及其各阶模态的参与因子,如表4所示。
根据每阶模态的参与因子,得到了反射镜组件沿3个轴向的主频,如表5所示,振型云图如图2所示.
3 误差评价
有限元法分析起源于20世纪50年代初杆系结构矩阵的分析[7]。随后,Clough于1960年第一次提出了"有限元法"的概念。其基本思想就是求解数学模型,这数学模型是实际物理问题的理想化结果。数学模型是建立在考虑几何、材料特性,加载条件和位移边界条件等假设的基础上的,数学模型的指导方程是考虑到边界条件的偏微分方程。这些方程不能用封闭的解析方式求解,因此,设计人员要借助有限元方法获得一个数值解[8]。用有限元法进行工程分析的误差源主要有3个方面:计算方法引入的误差、输入参数引入的误差以及连接关节简化处理引入的误差。下面结合反射镜组件的模态分析,对这3个误差源引入的误差进行定量的分析[9]。
3.1 计算方法引入的误差
结构的模态分析是结构动力学分析的基础。模态分析的基本有限元方程[10]为:
式中,M,K分别为结构系统的质量矩阵和刚度矩阵;u,¨u分别为位移向量和加速度向量。方程(1)的解为如下的简谐运动:
将方程(2)带入方式(1),得到如下的特征值方程:
方程(3)要有非零解,必须满足其系数矩阵的行列式为零的条件,即:
式中:λ=ω2,方程(5)左边为的多项式,求解该多项式可得一组特征值λi。方程(4)可改写为:
式中,n为刚度矩阵K的维数,也是该结构系统的自由度数。λi是第i个特征值,i是λi对应的第i个模态向量。对于方程(6),MSC.Nastran提供了3类解法:
(1)跟踪法(Tracking method)
采用跟踪法求解特征值问题,实质上是一种迭代法,跟踪法对仅求几个特征值的问题是一个方便的方法;
(2)变换法(Transformation method)
通过矩阵运算将方程(3)变换为如下形式:
式中矩阵A是采用变换法得到的三角矩阵,一次求解可得到全部特征值,对于维数小、元素满的矩阵,且需求全部或大部分特征值的问题,这类变换法是十分有效的;
(3)兰索士法(Lanczos):
兰索士法是一种将跟踪法与变换法组合起来的新的特征值解法,这种方法对于计算非常大的稀疏矩阵的几个特征值问题是最有效的。
对于空间光学遥感器的反射镜组件,模态参与因子高于20%的前三阶主频是设计人员最关注的,所以一般情况下,只需要求解反射镜组件的前十阶模态,因此,对于空间光学遥感器反射镜组件的模态分析一般采用兰索士法。
兰索士法实质上也是一种迭代法,迭代法的求解过程描述如下[11]:
将方程(6)改写为:
首先,由用户按照所要求的频率范围和待求的根数,选取适当的初值λ0和0,带入方程(8),得到新的估算值λ1和1,将新的值重新带入方程(8),再得新的λ2和2,反复迭代直至满足所要求的精度为止。此时,满足精度的和即为所求的特征值λm和m特征向量。
由迭代法的原理可知,采用兰索士法求解得到的特征值与解析解之间的误差主要取决于迭代法设置的收敛判据,MSC.Nastran的收敛判据一般设定为,由此可见,由算法引入的频率误差δarithmetic<1%。
3.2 输入参数引入的误差
输入参数引起的误差主要由输入的参数数据与实际材料参数数据之差所产生。有限元分析所输入的参数数据主要包括:结构属性描述,如结构的阻尼、集中质量等;材料属性描述,如弹性模量、泊松比、密度、线胀系数等;载荷函数描述,如载荷大小、分布及随时间变换的函数表达式等。在空间光学遥感器反射镜组件的模态分析中,需要输入的参数为材料属性参数,反射镜组件中共用到3种材料,每种材料的材料属性参数都是由生产厂家提供。
由公式(3)可知,结构的主频只与结构的刚度以及质量有关,也就是说在结构形式一定的情况下,只与材料的弹性模量与密度有关,3种材料,6个参数,每个参数都有误差,那么需要明确两个问题,一是每个参数误差的传递因子;二是每个参数误差的参与权重。不妨设材料参数误差的传递因子为αi,材料参数误差的参与权重为βi,那么由每种材料参数中弹性模量与密度的误差引起的计算结果的误差分别为:
3.2.1 确定材料参数误差传递因子αi
(a)通过公式推导确定αi
由公式(3)可知,对单自由度无阻尼系统,其特征频率的表达式如下:
对任意函数,其误差传递定律[12]如下:设任意函数为:
y=F(x1,x2,x3…) , (12)
式中:x1~xn为直接测量值,且为独立变量;y为间接测量值,若它们的真误差分别为δx1~δxn,δy,则:
在反射镜组件的前三阶主模态中,结构刚度主要取决于支撑结构的结构形式与支撑结构材料的弹性模量。支撑结构柔性部分的等效结构形式如图3所示,图中b=10 mm,h=4 mm,L=20 mm。
根据公式(14),(15),(16)以及反射镜组件的质量,可以得到:αk≈0.003,αm≈2.1。
(b)通过有限元模型确定αi
由于反射镜组件结构相对比较复杂,采用以单自由度振动系统的模态计算公式法来确定势必会产生较大的误差,下面通过分析结果来拟合材料弹性模量与材料密度的误差传递系数。
以碳化硅材料的密度为例,通过修改碳化硅材料的密度,从而修改反射镜镜体的质量,每修改一次,进行一次相应的模态分析,得到一组模态的误差与碳化硅材料密度的误差的关系,如表6所示。
取4次分析传递因子的平均值,材料密度误差的传递因子为0.42。
方法同上,以殷钢材料的弹性模量为例,通过修改殷钢的弹性模量,得到一组材料弹性模量的误差与反射镜组件模态分析结果误差的关系,如表7所示。
取4次分析传递因子的平均值,材料弹性模量的误差的传递因子为0.39。其他材料参数误差的传递因子也可以采用同样的方法得到。
3.2.2 确定材料参数误差参与因子βi
在模态分析中,一直以来人们只关注结构的共振频率和振型,而在模态分析中还有一个很重要的概念:模态参与因子,根据模态参与因子可以得到每阶模态的有效模态质量,根据有效模态质量的大小可以判断哪个模态在结构中起主要作用[13]。
有效质量最早是Clough提出的一个概念,可以简单地理解为:在每一阶模态中有多大百分比的质量参与了振动。MSC.Nastran软件可以输出每阶模态的模态参与因子,通过*.f06文件查看。
通过有效模态质量的定义可知,在某一阶共振频率,不是结构所有的质量都参与了振动,因此,参与振动的质量误差对分析结果的影响要明显大于没有参与振动的结构,这就是为什么每个材料参数误差对分析结果误差影响的权重不同的根本原因。
由空间光学遥感器反射镜组件的前三阶主频的模态振型可知,前三节主频的振型都是由于柔性支撑的柔性导致了镜体沿坐标系3个轴向发生了振动,因此,在这三阶模态的误差分析中,主要参与质量为镜体的质量,结构刚度主要反应为支撑结构的刚度,而镜体几乎是平动,镜体的弹性模量几乎对模态分析结果没有影响。
根据空间光学遥感器反射镜组件前三阶主频的振型,得到了反射镜中3种材料,6个参数的βi的取值,如表8所示。
3.2.3 材料参数误差统计
将表6、表7、表8中的分析结果,以及每种材料参数的原始误差,带入到公式(9)、(10)中,就得到了由3种材料的6个参数的参数误差引起的分析结果的误差,如表9所示。
3.3 连接关系简化处理引入的误差
在当前的工程分析中,为了减小有限元模型的规模,对组件中的螺钉连接环节通常采用被螺钉连接的两个零件在螺钉孔的部位直接对应节点相连(又叫做:共结点)的方式进行简化处理,这种处理方式由于不用对螺钉进行有限元网格划分,从而能有效地减小整个组件有限元模型的规模,但在有限元模型中连接部位的力的传递路径的模拟上,却存在以下两点明显的弊端[14]:
(1)由于没有建立螺钉的有限元模型,所以螺钉对反射镜组件的刚度贡献没有考虑;
(2)采用节点直接相连的方式模拟螺钉连接环节,会导致螺钉连接两个零件在螺钉连接的部位的受力状态与实际情况不一致。
由于采用节点相连的方式简化螺钉连接环存在以上的弊端,必然会在反射镜组件的模态分析中引入一定量的误差,为了研究这种方式引入的误差的大小,在这里对反射镜组件中所有的螺钉都进行了详细的有限元网格划分,如图4所示。
同样,对含有螺钉详细有限元模型的反射镜组件采用MSC.Nastran进行了工作模态分析计算,得到了含详细螺钉有限元模型反射镜组件前十阶工作模态以及各阶的模态参与因子,如表10所示。
根据每阶模态的参与因子,得到了反射镜组件沿3个轴向的主频见表11,振型云图参见图2所示。
表12为两种螺钉连接关系处理方法的分析结果的对比,表中模型一为含螺钉结构的有限元模型的分析结果,模型二为对螺钉连接进行了简化处理的有限元模型的分析结果。
3.4 误差合成
误差合成定律描述如下:若有R个常差i,P个不定常差δu,Q个随机误差δr,L个系统误差δs,则合成后的极限误差为(设各误差相互独立,一次测量):
在航天光学遥感器模态分析的误差分析中,算法选择引入的误差δarithmetic为常差;材料参数误差δmaterial-E,δmaterial-ρ属于随机误差;连接关系简化处理引入的误差δconnect可以看作由这种处理方式导致的常差,根据误差合成原理,得到了空间光学遥感器反射镜组件模态分析结果的误差模型:
根据公式(17),采用连接关系简化处理方式分析结果的误差合成如表13所示。
采用含螺钉模型的分析结果的误差分析中,虽然不包含连接关系简化处理引入的误差,但在分析中,还要考虑螺钉的材料(不锈钢)参数引入的误差,不锈钢弹性模量参数的误差为5%,密度的误差为3%,总的材料参数误差为3.768%。采用含螺钉模型的有限元分析结果的误差合成如表14所示。
分析结果表明:对于空间光学遥感器背部支撑方式的反射镜组件,在螺钉简化处理的模态分析中,分析结果的误差通常在7%~10%之间,而考虑了螺钉环节的模态分析结果的误差可以达到5%以内。
4 测试试验与结果
使用LDS电磁振动台对反射镜组件进行了特征扫频试验,试验条件见表15。
试验装置如图5所示。反射镜组件通过6个M8的螺钉固定在连接板上,连接板通过12个M10的螺钉固定在水平滑台上。试验中,采用四点平均控制,在反射镜侧面选取两个测量点,每个测量点各粘贴一枚与振动方向相同的加速度传感器,3个方向特征扫频响应曲线分别如图6~图8。
通过反射镜组件在3个方向特征扫频试验中的加速度响应曲线,得到了反射镜组件沿3个方向的主频。试验结果与有限元分析结果的对比分析如表16所示。
5 结果讨论
本文对有限元法在反射镜组件模态分析中产生的误差进行了定量评价及试验验证,试验结果如下:
(1)考虑螺钉模型的有限元分析结果与试验结果的相对误差≤5%,螺钉连接关系简化处理的分析结果与试验结果的相对误差在6%~10%之间,与分析结果基本吻合;
(2)螺钉连接关系的处理方式是影响分析结果与试验结果误差的主要因素;在方案选型阶段,可以采用这种处理方式定性地对比不同设计方案的优劣;在方案定型后,需要对方案进行定量的优化设计的阶段,应该采用详细的有限元模型,连接关系不能简化处理;
(3)对材料属性参数误差传递因子与误差权重因子的分析表明,在有限元分析中,所关注模态参与质量的密度属性以及主承力结构的弹性模量的误差对分析结果影响要远比其他参数大,对关键参数误差的控制,会对整个分析结果的误差的控制起到事半功倍的效果;
(4)根据误差合成定律,建立了反射镜组件模态分析结果的误差模型,通过该误差模型可知,分析的结构越复杂,分析中涉及的材料参数越多,模态分析结果的精度就会越差。对结构相对简单的反射镜组件的分析结果的误差可以达到5%以内。但对空间光学遥感器整机而言,分析结果的误差很难控制在5%以内;为此,应该采用结构简单,材料品种就近归类的设计方法,特别要减少连接件;
(5)对于螺钉连接关系,本文只建立了螺钉的有限元模型,考虑了螺钉结构本身在反射镜组件模态分析中的刚度贡献,但在这次分析中,并没有考虑螺钉的预紧力对组件刚度的影响[15];其次螺钉连接本身属于接触非线性[16]的问题,螺钉的格式与位置的选择,在反射镜组件的模态分析中没有考虑。
6 结 论
本文首先对影响模态分析结果的3个主要因素在分析结果中引入的误差进行了定量的分析,其次采用误差合成的原理构造了反射镜组件模态分析结果的误差模型,将3个主要影响因素引起的误差量带入到误差模型中,得到分析结果的总误差。分析结果表明,采用螺钉简化处理方式分析结果的误差在6%~10%之间;考虑螺钉详细模型的分析结果的误差<5%;试验测试结果表明,考虑了螺钉详细模型的分析结果与试验结果基本吻合。本文提出的对有限元法进行反射镜组件模态分析的误差进行定量评价的分析方法也同样适用于采用有限元法进行的重力变形分析、动力学响应分析以及热变形分析等得到的分析结果的误差进行的定量分析。
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作者简介:
董得义(1979-),男,天津人,助理研究员,2002年、2005年于北京工业大学获学士、硕士学位,主要从事航天光学遥感器结构有限元分析、优化设计、力学试验等方面的研究。E-mail:s200201029@163.com
导师简介:
张学军(1968-),男,吉林长春人,博士,研究员,主要从事先进光学制造技术的研究。E-mail: zxj@ciomp.ac.cn
