引言
为满足机电产品耐振强度和耐振稳定性实验对各种多自由度振动环境试验平台的需要,开发与研究多自由度振动环境试验平台新机型尤为重要[1]。并联机器人作为多自由度振动环境试验平台,克服了其自身工作空间小的缺点,又充分发挥了其运动链短、对称性好、柔度大和结构紧凑的优点,所以,并联机器人机构特别适合于作为多自由度振动环境试验平台的机构原形。笔者研究的振动环境试验平台(如图1所示)以一种新颖的正交平动并联机器人机构为原型[2],主要由基座1、伺服电机2、滚珠丝杠螺母副3、导向杆4、滑块5、两端代有球铰的定长支柱6和振动台7组成。其中,滚珠丝杠与伺服电机相连,螺母与滑块相连;定长支柱一端球铰与滑块相连,另一端球铰与振动台相连。通过3个伺服电机周期驱动滚珠丝杠,可以实现振动台在空间任意方向的振动。其机构原型(如图2所示)是由DELTA机构通过运动链分支R-2SS到P-2SS的变异而来(R代表转动副,S代表球铰副,P代表直线移动副),DELTA机构具有相同的运动学模型[3],但其运动链布局有其显著特点:与3个(P-2SS)运动链分支对应的与振动台相连的3对球面副的中心分别分布在振动台基础六面体上的3个互相垂直的表面上,与直线移动副移动构件相连的3对球面副只作平移运动,3个(P-2SS)运动链分支中的直线移动驱动副的移动轴线在空间两两互相垂直。当3个运动链分支的3对定长支柱分别与基础六面体的3个互相垂直的表面垂直时,该机构处于正交位姿。试验平台受力变形的理论分析对其方案设计和合理使用很有帮助。本文将研究该种新型试验平台的有关柔度性能评价指标和柔度工作空间等问题,为其合理任务规划提供理论依据。
1 受力变形分析
如图2所示,建立两个坐标系,其中一个为固接于振动台的动坐标系{A}:O′-x′y′z′,另外一个为固接于基座的定坐标系{B}:O-xyz。在正交位姿,坐标系{B}的原点和3个坐标轴分别与坐标系{A}的原点和3个坐标轴重合。设Pi1,B、Pi2,B代表分支i与振动台相连的2个球铰点Pi1、Pi2相对坐标系{B}的空间位置矢量,Qi1,B、Qi2,B代表分支与直线移动副相连的2个球铰点Qi1、Qi2相对坐标系{B}的空间位置矢量。并设F代表相对坐标系{B}原点的作用在振动台上的主矢,T代表相对坐标系{B}原点的作用在振动台上的主矩,FP代表定长支柱轴力矢量。由振动台空间力系平衡条件可得[4]
式中,FP=(FP11 FP12 FP21 FP22 FP31 FP32)T;
si为沿分支i定长支柱Qi1Pi1或Qi2Pi2方向的单位矢量;i=1~3;l为分支的定长支柱长。
忽略直线移动副摩擦,有
式中,ri为沿分支i的驱动力方向的单位矢量,FD为分支驱动力矢量,FD=(FD1 FD2 FD3)T,FDi为分支i的驱动力
该新型试验平台其各环节在外力、驱动力、重力、惯性力等力的作用下,都会产生不同程度的变形,所以它受力后的变形相当复杂。其各环节的变形既有弹性变形,又有塑性变形、间隙和摩擦等问题。为了简化计算并考虑其组成特点,作如下假设:(1)各零部件的重力产生的变形非常小,可忽略不计;(2)基座和运动平台是刚性的;(3)由于QiPi仅受轴向力作用,故SS运动链仅沿其轴线方向产生弹性变形;(4)各分支的直线移动驱动系统仅沿其轴线方向产生弹性变形。
仅当SS运动链产生弹性变形时,由虚功原理得
式中,δd1代表仅当SS运动链产生弹性变形时振动台参考点O′对O点的位置变形矢量,δa1代表仅当SS运动链产生弹性变形时振动台参考点O′对O点的扭转变形矢量,δl代表SS运动链轴线方向的变形矢量。且有
式中,ζ=diag(ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 ζ5 ζ6),ζ是SS运动链i轴线方向的柔度系数。设各SS运动链的柔度均相等,ζi=ζ0,综合式(1)、式(5)和式(6)得
式中
仅当驱动系统沿其轴线方向产生弹性变形时,由虚功原理得
式中,δd2代表仅当驱动系统沿其轴线方向产生弹性变形时参考点O′对O点的位置变形矢量,δα2代表仅当驱动系统沿其轴线方向产生弹性变形时参考点O′对O点的扭转变形矢量,δL代表分支的直线移动驱动系统轴线方向的变形矢量。且有
式中,ζ=diag(ζ1 ζ2 ζ3),ζi是直线移动驱动系统i轴线方向的柔度系数。设各直线移动驱动系统轴线方向的柔度均相等,ζi=ζ0。综合式(1)、式(3)、式(9)和式(10)得
式中
则由式(7)和式(11)可得振动台在主矢F和主矩T的作用下的变形为
式中,δd为振动台参考点O′对O点的位置变形矢量,δα为振动台参考点O′对O点的扭转变形矢量。
2 柔度评价指标与柔度工作空间
可以通过分析参考点O′在外力的作用下产生位置与扭转的变形的大小,来研究该振动环境试验平台的柔度问题。由式(7)、式(11)和式(13)定义:当外力矢量(FT TT)=(1 0 0 0 0 0)时,参考点O′对O点的位置变形矢量的模‖δd‖和扭转变形矢量的模,分别为该正交三维平动振动试验台x方向的力-位置和力-扭转柔度评价指标,分别记为kFd(x)和kFα(x)。kFd(x)和kFα(x)的值越小,表明试验台在x方向的抗位置变形能力越大。同理,可定义试验台y、z方向的力-位置和力-扭转柔度评价指标,分别记为kFd(y)、kFα(y)、kFd(z)和kFα(z)。定义当外力矢量(FT TT)=(0 0 0 1 0 0)时,参考点O′对O点的位置变形矢量的模‖δd‖和扭转变形矢量的模‖δα‖,分别为该正交三维平动振动试验台绕x方向的力矩-位置和力矩-扭转柔度评价指标,分别记为kMd(x)和kMα(x)。kMd(x)和kMα(x)的值越小,表明
试验台在绕x方向的抗扭转变形能力越大。同理,可定义试验台绕y、z方向的力矩-位置和力矩-扭转柔度评价指标,分别记为kMd(y)、kMα(y)、kMd(z)和kMα(z)。并定义kFd(x)、kFα(y)和kFd(z)中的最大值max{kFd(x),kFα(y),kFd(z)}和kFα(x)、kFα(y)和kFα(z)中的最大值max{kFα(x),kFα(y),kFα(z)}分别为该振动试验台的力-位置柔度评价指标和力-扭转柔度评价指标,分别记为kFd和kFα。同理,可定义该试验台力矩-位置和力矩-扭转柔度评价指标,并分别记为kMd和kMα。
该振动试验台的各柔度评价指标的大小取决于振动台的位置,即在工作空间的不同位置振动试验平台可能具有不同的抗变形能力。定义在振动试验台的工作空间内,满足一定抗变形能力条件的参考点O′点的集合为该振动试验台的柔度工作空间。设ξ0=ζ=1(μm/N),F和T的单位分别为N和Nm,x、y、z为参考点O′在坐标系{B}中的坐标,并设试验台的正交位姿为其初始位姿。振动试验平台机构几何参数如下:振动台基础立方体的边长a=100mm,各对球铰的距离b=80mm,分支的定长支柱长l=200mm,直线移动驱动副在正交位姿时的长度Li0=L0=200mm,驱动副i的输入位移极值Limax=300mm,Limin=100mm,球铰的最大摆角θpimax=35°,θQimax=35°,定长支柱径向最大尺寸Φ=30mm。则由柔度工作空间的定义,用搜索法可以得到各柔度工作空间。如图3所示为几种柔度工作空间截面图,图中近似于圆的实线为振动试验台工作空间轮廓线,网格区域为柔度工作空间。
3 总结
分析了一种新颖的机械式正交振动试验台的变形与力关系,基于变形与力关系方程,提出该振动试验台的力-位移柔度评价指标、力-扭转柔度评价指标、力矩-扭转柔度评价指标和力矩-位移柔度评价指标,定义柔度工作空间并绘制了柔度工作空间截面图,为该种试验平台的任务规划奠定了基础。该种试验平台可以应用到对机电产品、元件进行耐振强度和耐振稳定性试验或模拟其它振动环境的各种场合。
参考文献
1 王浚.环境模拟技术———一门新的综合性工程技术.中国工程科学.2003, 5(3):1~5
2 金振林,高峰.三自由度机械式振动环境试验平台.中国发明专利:200410100962.0, 2004
3 Clavel R. Device for the movement and positioNIng of an element in sPACe.US patent No.4976582, 1990
4 黄真,孔令富,方跃法.并联机器人机构学理论及控制.北京:机械工业出版社, 1997
本文作者：金振林 余跃庆
作者简介:金振林(1962-),男,辽宁抚顺市人,博士后,教授
