摘要 设计了一种新型三自由度虚轴坐标测量机机构,给出了其运动学正解模型,依据全微分理论,导出测头位置误差与结构参数误差及3个并联驱动杆长度误差之间的相互关系,从而建立起这种新型并联机构的误差模型;然后利用计算机仿真方法,验证了误差模型的准确性,分析了3个并联驱动杆长度变化以及结构参数误差变化对测头位置误差的影响,为该虚轴坐标测量机机构的加工制造及其误差补偿奠定了理论基础,该并联机构还可用于运动模拟器、并联机床等其它并联运动装备。
引言
精度是并联机器人重要的性能指标之一,它直接影响机器人的工作性能,因此,对并联机构精度的研究一直受到有关学者的广泛关注。与串联机构相比,并联机构各杆件间不存在误差累加效应,因此,精度较高,其运动误差一般包含结构误差和随机误差,其中,随机误差包括力变形误差、热变形误差、末端执行器误差、动态误差、传感器精度误差和控制误差等[1],本文仅讨论机构结构参数的误差,它是产生并联机器人操作器位姿误差的主要因素。
本文依据全微分理论[2],导出一种新型三自由度虚轴坐标测量机机构的测头位置误差与结构参数误差及3个并联驱动杆长度误差之间的相互关系,从而建立起这种新型并联机构的误差模型,然后利用计算机仿真方法,分析了3个并联驱动杆长度变化以及结构参数误差变化对测头位置误差的影响。
1 机构设计及运动学正解模型
文献[3,4]研究了一种用作虚轴坐标测量机主机构的三伸缩驱动型一平移两转动并联机构。本文设计的三自由度虚轴测量机主机构为三滑块驱动型并联机构[5],如图1所示,该机构由下静平台O、上动平台O′和连接于两平台之间的3条支链P1S2、P5R4S3、P9S8S7组成,三支链分别通过球副S2、S3、S7与上动平台连接,通过移动副P1、P5、P9与下静平台连接,其中,支链P1S2与支链P5R4S3构成一平面五杆回路;易知该运动机构自由度为3,3个移动副P1、P5、P9可同时作主动输入,其布置为移动副P9平行于P5,位于同一平面相距H,移动副P1垂直于P5、P9所在的平面,输入量为l1、l4、l8,上动平台输出为3个独立运动,即沿z向的1个移动量z和绕x以及S2—S3连线的2个转动量α、β[3]。设在动平台几何中心装有长度为lP的测杆,测杆垂直于动平台,方向向下。滑块驱动型并联机构与伸缩杆驱动型并联机构相比,具有动态误差少,动态性能好等特点。
该机构的运动学正解模型归结为已知l1、l4、l8,求z、α、β,如图1所示,分别建立绝对坐标系O-xyz,相对坐标系O′-uvw。其运动学分析模型如下
(1)z=l1
(2)求α:由平面五杆回路P1S2S3R4P5,可得如下关系
整理得
其中
(3)求β:由机构运动的几何等同条件有,
其中,S7的绝对坐标为而点S8的绝对坐标为(记sα=sinα,cα=cosα,sβ=sinβ,cβ=cosβ)
其中
uS7,vS7,wS7为球副S7在相对坐标系o'-uvw中的坐标。
测头P在o-xyz坐标系中的坐标(xP,yP,zP)如下
易知,z=z(l1),α=α(l1,l4),β=β(l1,l4,l8)。该机构的运动学正解模型为全解耦,有利于控制。其运动学反解较易推导,在此从略。
2 误差模型
由运动学正解模型可知,影响机构末端位姿的结构参数有:l2,l3,l7,lP,uS7,vS7,wS7,uP,vP,xP9和并联驱动杆长度参数l1,l4,l8,通过对正解模型求全微分,可以得到机构的误差模型。
2.1 求α的全微分
其中
2.2 求β的全微分
其中
2.3 求测头坐标值xP,yP,zP的全微分
δP=(δxp,δyp,δzp)T即为动平台几何中心的位置误差向量。
机构的结构误差包括:δl2,δl3,δl7,δuS7,δvS7,δwS7,δup,δvp,δlp,δH,并联驱动杆杆长误差包括:δl1,δl4和δl8。总计13项误差。
3 数值仿真及验证
仿真步骤如下:
(1)给定机构的结构参数理论值及其对应误差值。机构的结构参数理论值为
设定对应的参数误差为
并联驱动杆长度误差为:δl1=5um,δl4=5um,δl8=5um。
(2)取15组3根驱动杆长度l1、l4、l8组合,要求每一组数据组合都必须保证动测头位于有效工作空间之内,并尽可能使点在整个空间内分布均匀;
(3)将机构结构参数的理论值及3根驱动杆的15组长度值代入式(1)~式(4)所建立的运动学正解模型中,由此计算出测头的15组理论坐标向量P1=(x1,y1,z1)T。
(4)将机构结构参数的实际值和3根驱动杆的15组实际长度值的组合代入式(1)~式(4)所建立的正解模型中,并由此计算出测头的15组实际坐标向量P2=(x2,y2,z2)T。(注:参数实际值=参数理论值+对应误差)
(5)利用关系式δP′=P1-P2,计算出测头的实际空间位置坐标误差向量δP′=(δxP′,δyP′,δzP′)T。
(6)将结构参数和15组3根驱动杆长度的的理论值、误差值代入式(7)所示的误差模型中,计算出测头的15组空间位置坐标误差向量δP=(δxP,δyP,δzP)T。
(7)差值‖δP′‖-‖δP‖反映了误差模型的精度及准确性。
上述各项计算结果也可用图2描述。
由图2可见,当机构的结构参数存在误差时,将会导致测头的空间位置坐标产生明显的误差;误差值随测头位置的变化呈现出非线性的变化趋势;利用式(7)所建立的误差模型计算出的误差与运动学模型所计算出的误差基本一致。在上面的仿真实例中,当输入参数的最大误差不超过5μm时,采用上述两种方法计算出的测头位置误差值的偏差不超过±2μm(No.4、No.11、No.14)。由此可以证明所建立的误差模型是正确的,即在微小输入误差的前提下,该误差模型能近似地反映出实际误差的变化情况。
4 输入变量l1、l4和l8对测头位置误差的影响
根据给定的机构结构参数以及对应的误差,来考察输入变量l1、l4和l8改变时测头位置误差的变化情况。下面分析输入变量l1对测头位置误差的影响。
(1)当输入变量l1改变,在l4=300mm, l8=400mm的情况下,测头的位置误差变化情况如图3所示。
由图3可以看出,若逐渐增大l1的值,则测头位置误差‖δP‖和它的3个坐标分量δxp、δyp和δzp都呈非线性变化;3个坐标分量中,沿y轴的误差分量最小。在整个工作空内,0<δyp<10μm,0<δxp<40μm,0<δzp<30μm,10μm<‖δP‖<40μm。
(2)当l1=300mm,l8=500mm时,若l4不断变化,则由图4可以看出,测头位置误差‖δP‖及其3个坐标分量δxp、δyp和δzp都呈非线性变化。在整个工作空间内,0<δxp<25μm,-5μm<δyp<10μm,0<δzp<10μm,5μm<‖δP‖<25μm。
(3)当l1=300mm,l4=600mm时,l8不断变化,则由图5可以看出测头位置误差‖δP‖及其3个坐标分量δxp、δyp和δzp都呈非线性变化。在整个工作空间内,0<δxp<8μm,0<δyp<6μm,0<δzp<8μm,6μm<‖δP‖<12μm。
5 结构参数误差的影响
由式(7)的误差模型可以看出,结构参数误差主要包括两类,即长度误差(δl1、δl2、δl3、δl7、δlp、δl4、δl8)和铰链位置点误差(δuS7,δvS7,δwS7,δup,δvp,δH)。
5.1 长度误差的影响
保持各杆件长度理论值不变、对应误差乘以长度误差放大系数Kl,同时保持铰链点位置理论值及其对应误差都不变,用式(7)的误差模型计算测头5个不同位置的坐标误差‖δP‖,结果如图6所示(No.1~No.5为测量位置的序号)。
5.2 铰链位置点误差的影响
保持各铰链点位置理论值不变、对应误差乘以铰链误差放大系数Kj,同时保持杆件长度理论值及其对应误差都不变,当测头处于上述5个不同位置时,用式(7)的误差模型计算末端5个不同位置的坐标误差‖δP‖,结果如图7所示
5.3 长度误差与铰链误差对测头位置误差影响的比较
经计算,测头在工作空间内不同位置时,长度误差和铰链误差对测头位置误差的影响是不同的。图8表示测头处于工作空间内某一位置时,长度误差与铰链误差对测头误差影响的比较,由图8可见,铰链误差对测头位置误差的影响较大;当测头处于工作空间内不同位置时,计算表明,同样均是铰链误差对测头位置误差的影响较大,这说明测头位置误差对铰链误差较敏感,制造安装过程中要严格控制铰链误差。
6 结论
(1)设计了一种三滑块驱动型新型虚轴坐标测量机机构。滑块驱动型并联机构与伸缩杆驱动型并联机构相比,具有动态误差少,动态性能好等特点。
(2)给出了机构的运动学正解模型,以正解模型为基础,依据全微分理论,导出了这种新型虚轴坐标测量机机构的误差模型。
(3)通过计算机仿真,验证了误差模型的准确性,表明当机构的结构参数存在误差时,将会导致测头的空间位置坐标产生明显的误差;误差值随测头位置的变化呈现出非线性的变化趋势。
(4)分析了三根驱动杆杆长变化以及机构结构参数误差对机构末端位置误差的影响规律,分析表明,一方面,测头误差随长度误差或铰链误差绝对值增大而基本上呈线性增大;另一方面,铰链误差对测头误差的影响较大,制造安装过程中要严格控制铰链误差,为该虚轴坐标测量机机构的加工制造及其误差补偿提供了理论依据。
(5)该并联机构还可用于运动模拟器、并联机床等其它并联运动装备。
参考文献
1 张国雄.三坐标测量机.天津:天津大学出版社,1999
2 刘得军,车仁生,叶东等.三自由度并联机构坐标测量机误差建模与仿真.中国机械工程,2001,7(12):752~755
3 沈惠平.一种新颖虚拟轴坐标测量机机构的研究.镇江:江苏大学,2005, 6
4 朱小蓉,沈惠平,杨廷力等.可用作虚轴坐标测量机的全解耦并联机构运动学分析.机械设计,2005(11):23~25
5 杨廷力,金琼,沈惠平.用于虚轴机床与测量机的一类(一平移二转动)并联机构.发明专利号:zl03158306.7.2004.9
基金项目:江苏省“六大人才高峰”资助项目(No:06-D-040)
本文作者：辛秀梅 沈惠平
作者简介:辛秀梅(1974- ),女,山西大同人,工程师,硕士研究生
