摘 要: 应用大型分析软件 ABAQUS 对在三维软件 CATIA 中建立的二维调整架的模型进行了有限元建模，并对调整架进行了模态分析，分别获得了该调整架的低阶固有频率及其对应的振型图，得到了前 10 阶模态的振动律，找到了调整架的薄弱环节，为其结构设计、动力学分析及使用环境要求提供了有效的理论依据。在使用中使调整架的固有频率远离工作频率，避免共振，减少结构损伤，提高了调整架的寿命与精度。
0 引 言
在现代光学精密测控领域，调整架的作用举足轻重，其精度直接影响测控结果。在众多领域中，调整架的设计不仅要考虑精度因素，还要考虑其模态。通过模态分析，设计时将调整架的固有频率远离工作频率就可以避免发生共振，提高调整架的测量精度。因此研究调整架的结构动态特性固有频率和振型是分析评价调整架动态性能的重要指标。模态分析主要是用于确定结构的振动特性、固有频率和振型。
有限元分析等现代结构分析方法已受到机械设计人员的广泛认同和采用，并取得了显著的技术经济效益。本文采用 ABAQUS 有限元软件分析对调整架( 用于 ZYGO 干涉仪上调整 CGH 位置) 进行了模态分析，确定了各阶固有频率和振型。
1 模态分析的理论依据
模态分析就是结构的固有振动特性分析，这种分析用于确定结构的固有频率和振型，其分析结果可作为瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析等其他动力分析的基础。模态分析的实质是计算结构振动特征方程的特征值和特征向量[1]。ABAQUS 中的结构模态分析有限元法是线性的，在分析中忽略考虑系统阻尼对其自身振动特性的影响。
我们已知动力学分析是将惯性力包含在动力学平衡方程中:
其中，M 是结构的质量，u¨是结构的加速度，I 是结构中的内力，P 是所施加的外力。
而物体的固有频率可以通过分析结构在无载荷( 动力平衡方程中的 P =0) 时的动态响应而得到的。
对于无阻尼系统，I = Ku，则上式变为:
这个方程解的形式为:
将此式代入运动方程中便可以得到特征值问题方程:
其中 λ = ω2，该系统具有 n 个特征值，此处 n 是有限元模型的自由度数，记 λi为第 j 个特征值。它的平方根 ωj是结构的第 j 阶固有频率，并且 φj是相应的第 j 阶特征向量。特征向量也就是所谓的模态( 也称为振型) ，因为它是结构在第 j 阶振型下的变形状态。
2 调整架有限元分析模型的建立
建立正确而且有效的模型是进行模态分析的极为关键的一个环节，直接关系到有限元计算结果的准确性。因此，建立的有限元模型必须具有足够的准确性，要能充分体现二维调整架的实际结构，且边界条件的设置要与实际情况一致[2]。在有限元分析中网格划分得越细，模型的计算结果越精确; 根据实际应用的需要，我们提取模型的前 10 阶振型就足够了。
2. 1 单元类型的选择
此调整架由 X、Y 调整结构与外壳组件构成，调整薄板厚度为 9mm，中间为 Φ150mm 孔，底板厚度为6mm，中间为 Φ150mm 孔。综合考虑计算精度的影响，及 ABAQUS 的强大功能，我们将不进行模型简化，模型见图 1 所示，根据设计要求，调整架的参数设定: 材料为超硬铝( 7075T6 美国牌号) 、各向同性、介质均匀，取其弹性模量为 7. 2E10 Pa、泊松比为 0. 33、密度 2810 kg/m3。
2. 2 网格划分
调整架的结构复杂，包含了相当多的孔，凸台，及凹槽，此时我们无法使用映射的方式进行网格划分，ABAQUS 提供了自由划分的方式，且在划分过程中给提供了局部细分的条件，可在曲率变化处自动进行细分，保证了后续工作的精度[3]。在划分调整架机构时，由我们采用了四面体单元对模型进行了自由划分，我们选择了隐式线性3D 应力四面体单元 C3D4，这是一种三维实体单元，每个单元含 8 个节点。划分后调整架结构共生成单元总数396138 个，且其平均形状因子为0.583265 说明划分出的网格质量符合要求。网格生成见图2 调整架有限元分析模型。
3 调整架约束状态模态计算及分析
按照调整架工作状态，我们将结构底座固定，上板约束除了 x，y 方向移动的自由度以外所有的自由度，应用 Lanczos 法提取模态，其位移变形如图 3 所示( 1 -30 阶结构随模态变化的位移曲线) 。Lanczos 法是一种功能强大的方法，可在大多数场合使用，经常使用在具有实体单元的模型中，可以很好的处理刚体振动。
由图 3 分析可知 2. 5. 7. 阶振型对结构的影响最大，以下给出这几阶的振型位移变化图及振型描述( 注:图 4 中显示的变形图是放大了 30 倍时的结果，并非实际的变形大小) 。
其位移约束模态频率如表 1 所示。
结果响应频率最小的位于 1000Hz 以上，产生形变最大的频率范围是 1300 ～2500Hz。经计算激励源步进电机的振动频率在10000Hz 以上，远离了调整架的固有频率，避免了共振，减少了结构损伤，提高了调整架的寿命与精度。
4 结语
本文通过对二维调整架进行了据有限元建模并对其进行了模态分析，确定了调整架的固有频率和振型，为调整架设计深入研究提供了可靠的理论依据，通过振型图可以直观地发现调整架的薄弱环节，从而为调整架的设计，维护和使用提供了可靠的依。
参考文献:
[1] 曹数谦，文德，龙翔. 振动结构模态分析理论、实验与应用[M]. 天津: 天津大学出版社，2001.
[2] 刘展，祖景平，钱英利，周华樟. ABAQUS6. 6 在机械工程中的应用[M]北京: 中国水利水电出版社，2008.
[3] Robert D Cook，David5 Malkus，Miehael E Plesha，Robert J. Witt. Concepts and Applications of FiNIte Element Analysis[M]. New York: JOHNWILEY&SONS，2000.
本文作者：王志海 李丽娟
