1 引 言
近年来，随着光学设计理论的完善以及加工工艺的成熟，变焦距光学系统的种类日益丰富，成像质量逐渐提高，其应用涉及各种领域，设计和加工都受到相关人员的极大关注[1-4]。在变焦系统的设计过程中，高斯光学参数的求解直接影响最后的成像质量，早期的研究工作已利用高斯括号和连分数法给出了光学补偿法全补偿点分布与系统高斯参数之间的关系[5-7]，对机械补偿变焦系统也有很全面的资料介绍[8]。常规的变焦系统可划分为：正组补偿、负组补偿、双组联动及多组联动或多组全动形式。不管设计哪种变焦系统，解系统的初始结构时都要先确定系统的光焦度分配。而在求变焦系统过程中，系统各组元光焦度的分配一直被认为是求解初始结构的重点和难点。能否合理地进行光焦度分配直接决定了所设计系统是否合理。现在绝大部分光学设计者在设计变焦系统时都是根据多年的经验在既定的运动形式下进行光焦度取值，这对于传统的正组补偿和负组补偿等简单形式的变焦系统来说是可行的，但是多组元运动或者全动型变焦系统都很难依靠经验对各组元进行光焦度分配，而且这种方法不利于探寻新的组元移动方式。本文突破了传统的变焦系统的计算方式，提出通过各组元之间的距离来反推出系统各组元光焦度的方法。理论上可以求出满足任意给定值的光焦度分配和各组元的运动形式，该方法既可以避免在光学设计时过分地依赖经验，又可以打破常规的设计思路，不仅适合传统的正组补偿、负组补偿，也适合复杂的多组运动形式甚至是多组全动形式，对寻找新的变焦运动方式很有益处。
2 理论推导
为确定系统的光焦度值，需要知道两个Zoom位置的组元间距，及系统的后工作距离，把计算公式的推导分为三组式和四组式进行[9-11]。计算过程中参数的意义见图1。
2.1 三组式变焦系统
设组元G1和G3的光焦度值分别为x和y，则由两个变焦位置的方程式(1)可将G2组元的光焦度表示成x和y函数。在两个不同的变焦位置时G2的光焦度不变，因此整理可得式(2)。
另外由薄透镜之间的传递公式可得到x和y的另一关系式如式(3)：
由式(2)和式(3)即可得到满足任意给定初始间距和系统总焦距的光焦度分配值。
2.2 三组式变焦系统的换根问题
在变焦过程中，当系统的变倍组的放大倍率越过-1时，为了使系统不出现断点，需要考虑换根问题。假设用上述理论已求得3个组元之间的光焦度。假设组元G2为变倍组(组元G1运动，G2不动的情况可等效为，组元G1不动，G2向相反的方向运动)，取长焦和短焦分别为Zoom 1和Zoom 2，计算出组元G2在两个Zoom位置的放大倍率。
如果m2l<-1，且m2s>-1，即变倍组越过-1倍时则需要考虑换根问题。
换根的条件如下[4]：
式中m为系统组元的垂轴放大倍率，d为系统组元的主面间隔。求出满足换根条件的组元之间的间隔，然后在这个组元间距的基础上再进行组元间隔取值，即可避免变焦过程中出现断裂现象。
2.3 四组式变焦系统
设组元G1和G4的光焦度分别为x和y。
其中a，b，c，d，A，B，C，D是关于hi，ui′，lfi′，dii+1的函数。同理，将G2和G3的光焦度表示成x和y的函数，得到下式：
由式(4)和(5)可以求出满足任意给定初始值的光焦度分配值，具体表达式如下：
2.4 多组式变焦系统
多组式变焦系统和三组式，四组式的计算方法是一样的，三组式和四组式是设第一个组元和最后一个组元的光焦度为x，y，五组式变焦系统则可以设第一组元和最后两组元别为x，y，z，这样同样可以得到3个高次方程组，同样可以解出不同的运动方式的解。但是多组式变焦系统在求解时比较复杂，因为这些高次方程组会产生很多根，并产生很多种运动方式，因此在对每组根进行取舍时需要根据实际情况，得到满足条件的运动方式和高斯解。
3 三组式变焦系统的分析
为了验证本文推论的正确性，作者通过不同的取值得到了三组式变焦系统的4种运动形式，为了使本计算结果更具有说服力，对这4种不同运动形式都取一样的指标参数(焦距：F=50～200mm，F#：4～5.6，视场：2w=40～10°)，而且各组元所采用的结构形式也是基本一致的。在具体计算时，先给定长焦和短焦时各个组元之间的间隔，根据本文所推导的公式可求出满足该给定间隔的各组元光焦度值，再根据中间要求组元的焦距及后截距即可求出各个中间焦距值的组元间隔，从而确定系统的初始结构参数。或者是假设任意两个焦距为一组，分别计算出满足该组要求的光焦度分配，然后再把所求的光焦度分配当作已知量取求其他组元的值，通过反复迭代也可以得到比较合理的初始解。
3.1 运动方式一
在变焦过程中组元G2固定不变，组元G1和G3之间独立运动，实现变焦和相互补偿像面，从而实现系统的连续变焦。系统的结构图和运动方式如图2，图3所示。所设计光学系统基本参数如表1所示。
3.2 运动方式二
在变焦过程中组元G3固定不变，组元G1和G2在变焦过程中独立运动，实现变焦和相互补偿像面。所设计光学系统基本参数如表2所示，结构形式及传递函数如图4，图5所示。
3.3 运动方式三
在变焦过程中组元G1固定不变，组元G2和G3在变焦过程中独立运动，实现变焦和相互补偿像面，从而实现系统的连续变焦。所设计光学系统基本参数如表3所示，结构形式及传递函数如图6，图7所示。
3.4 运动方式四
在变焦过程中组元G1、G2和G3独立运动，实现变焦和相互补偿像面，从而实现系统的连续变焦。所设计光学系统基本参数列表和结构如表4所示，结构形式及传递函数如图8，图9所示。
表5为几种形式之间参数的比较，可以看出三组元全动型的运动方式是这几种方式中最优的。
4 结 论
阐述了一种简单有效的计算光焦度方法，该方法通过设定组元之间的间隔可以求解出系统的光焦度分配和系统不同的运动形式。在同一指标下，可以通过该方法计算出不同的光焦度分配形式以及不同的变焦移动形式，从而通过比较选取满足不同要求的结果。通过几种形式的对比可以看出，三组元全动型的运动方式是这几种方式中最优的，在同一指标下，三组全动型可以在实现高像质的同时更容易实现系统的小型化。同理在四组式甚至是多组式中，也可以尝试多组全动型的运动方式，这将为实现系统的小型化起到重要的作用。
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作者：蔡 伟1，2，张 新1*，冯秀恒1，王灵杰1，张建萍1，何锋赟1
(1.中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所 中国科学院光学系统先进制造技术重点实验室，吉林 长春130033;2.中国科学院 研究生院，北京100039)
