1 引言
井下流量测量是油田生产测井的重要任务之一，其目的是了解各个地层流出或流入流体的流量，评价油井状况和油层开采特征。在注水地层中测量的流量可以反映油井中的不同地层的吸水量，从而改进注水方案；而在出油地层中测量的流量结合含水率等参数可以得到油层出油和出水状况，指导油井开发方案的调整。井下石油的高粘滞性和低电导率造成传统的涡轮流量计和电磁流量计的使用困难，而超声流量计基本不受此影响。为了克服探头表面的附着物对超声激发性能的影响，我们设计了一种基于时差法的探头倾斜放置的井下超声流量计，如图1所示超声探头放置在流量计壳体内，完全与井内流体隔绝，超声探头之间用隔声体阻止直达波，探头A发射超声脉冲穿过透声窗，再经过管壁反射，再被探头B接收，然后两个探头再交换发射和接收，得到顺流和逆流的超声脉冲传播的时差Δt，由此可计算井内流体的流速
（1）
其中c为流体声速，L为超声探头之间的距离，进而得到流量。
图1 流量计结构示意图
超声流量检测的关键是顺流和逆流信号的时差的提取，常用的求时差的方法是使用互相关方法，这种方法的使用条件是顺流和逆流回波信号中的噪声不相关。然而由于在我们的流量计中的两个探头的接收电路是分时复用的，这就导致了顺流和逆流回波信号中的噪声之间会出现一定的相关性，使得互相关方法出现较大误差。因此我们提出用双谱时差估计法来克服相关噪声的影响。
2 双谱时差估计原理
假设顺流回波信号xd（n）和逆流回波信号xu（n）均由信号和噪声两部分组成：
（2）
其中s（n）是顺流信号，s（n-τ0）是逆流信号，信号波形一致，但存在一个时差，w1（n）和w2（n）是两个信号上叠加的噪声，信号和噪声均为零均值。在互相关方法中假设噪声之间互不相关且与s（n）统计独立，回波信号之间的互相关是：
（3）
其中Rss（τ）为信号s（n）的自相关，最大值出现在τ=0。因此互相关Rdu（τ）的最大值就出现在τ=τ0，据此就可以由互相关最大值位置来估计顺流和逆流时差。
这种方法使用的前提条件是噪声w1（n）和w2（n）互不相关，但是当顺流和逆流回波信号中的噪声之间出现一定的相关性时式（3）就变为：
（4）
再使用Rdu（τ）对延时τ0估计就会产生较大误差。
针对这种噪声相关的情况，NIkiasC.L.等在雷达信号处理时提出了一种利用双谱来估计时差的方法，其基本思想是利用零均值高斯噪声的高阶谱恒为零来去除噪声相关性的影响。
假设如式（2），w1（n）和w2（n）为与s（n）统计独立的零均值高斯噪声，但是可以有相关性。根据三个零均值的随机过程x（n），y（n），z（n）的三阶累积量的定义：
（5）
计算三阶累积量Rddd（τ，ρ）和Rdud（τ，ρ）
（6）
其中为s（n）的三阶累积量，推导过程中利用了零均值高斯过程三阶累积量为零，以及噪声与信号统计独立。对三阶累积量做二维Fourier变换得到双谱为
（7）
其中，Bsss（ω1，ω2）为s（n）的双谱。从上式可以看出Bddd（ω1，ω2）和Bdud（ω1，ω2）只在ω1轴上差一个线性相位偏移，它们的比值：
（8）
理论上积分
（9）
实际处理中的最大值就必然出现在τ=τ0。这就是双谱时差估计的原理。
3 计算方法
我们使用直接法估算数据的双谱。
数据x（n），y（n），z（n）的三阶累积量估计为：
（10）
其中N为数据点数，x3（n）为x（n）的共扼，当y（n+m1），z（n+m2）超出取值范围时取零，再由累积量的二维Fourier变换得到双谱估计：
（11）
将上式展开
（12）
其中X3（ω）为x（n）的Fourier变换的共扼，Y（ω）和Z（ω）分别为y（n）和z（n）的Fourier变换。
我们的双谱时差估计步骤为
1）计算xd（n）和xu（n）的FFT得到Xd（ω）和Xu（ω）：
（13）
为减小计算量，ω的计算范围可参照步骤3）涉及的范围；
2）计算信号带宽对应的频率系数：
（14）
（3）估计信号带宽范围内的双谱：
（15）
其中
4）令
（16）
（17）
5）取使得取得最大值的τ作为τ0的估计。
4 双谱法和互相关法的性能比较
在我们的流量计中超声探头的中心频率是750KHz，3dB带宽为250KHz。图2是实际采集到的信号的一个例子。
图2中空心圆点连成的为顺流波形，实心圆点连成的为逆流波形。图6为实验装置图，实验时控制水泵流速，由标准流量表测得流速为20.6cm/s，根据式（1）计算得到时差为94ns。
图2 采集到的信号
在井下超声流量测量中的噪声主要来自电路热噪声，流场中气泡、沙石等对信号幅度的影响，和井内不同传播路径产生的多途噪声。其中电路热噪声是不相关的，而后两种噪声是相关的。噪声一般认为是高斯过程，经过滤波电路后成为是窄带高斯过程。
图3 窄带高斯分布的噪声及其功率谱
为了对双谱法和互相关法在不同噪声情况下的估计性能做出比较，我们做了数值仿真：
1）生成100个零均值的窄带高斯噪声，带宽与信号一致，如图3所示；
2）对每个噪声做移动平均得到与之相关的噪声；
3）将噪声分别叠加到图2中的实测信号中顺逆流回波上，其中顺逆流回波时差为94ns；
4）将每组噪声赋予不同的信噪比，从-30dB到30dB，间隔3dB；信噪比的定义为
（18）
（5）将每组噪声中的两个相关的噪声叠加到两个信号上，再分别用互相关法和双谱法对时差进行估计。
100组实验得到时差估计平均值和方差如图4。
图4 时差估计的平均值和方差比较
从图4可以看出双谱法的偏差要明显小于互相关法，SNR>15dB就可以使得误差小于10ns，缺点是方差较大。信噪较低时，时差估计分布范围较大，如图5所示。
图5 不同信噪比下双谱法时差估计的直方图
此外，我们还对噪声之间不相关的情况，双谱法和互相关法的性能进行了比较。结果表明在相同信噪比下，互相关法得到时差估计的误差和方差都均小于双谱法。究其原因在于：理论上假设噪声和信号之间不相关，所以对于式（3）的展开
（19）
中的Rsw1（τ-τ0）=Rsw2（τ）=0，而式（6）的展开
中Rssw1（τ，ρ）等3项和Rsw1w1（τ，ρ）等3项都等于0，然而在实际上这些条件都无法满足，互相关法主要受Rsw1（τ-τ0）和Rsw2（τ）的影响，而比谱法则主要受Rssw1（τ，ρ）等3项的影响，但是相对上Rssw1（τ，ρ）等3项对Rddd（τ，ρ）的影响要大于Rsw1（τ-τ0）和Rsw2（τ）对Rdu（τ）的影响，这就导致了双谱法在噪声之间不相关的情况下性能不如互相关方法。
图6 流量计实验系统
5 结论
本文将双谱法时差估计应用到了井下超声测流方面，针对井下超声测流的信号特点对传统的双谱时差估计方法做了改进，并且与互相关时差估计法做了比较，结果表明双谱法时差估计相对于互相关法时差估计在噪声相关条件下更为准确。
