中图分类号: P333 文献标识码: A do:i 10. 3969 / .j issn. 1000-1379. 2010. 09. 015
水位流量关系曲线是用来描述测站处基本断面的水位与通过该断面的流量两者之间关系的曲线, 水利水电工程规划、设计与施工过程中, 水位和流量的预报一直是一个重要课题[1- 3] 。对于给定的水位和流量数据, 由于受变动回水与洪水涨落等因素的影响, 因此数据本身并不一定可靠, 个别数据的误差可能很大, 从一堆看上去杂乱无章的数据中找出一定的规律, 即设法构造一条曲线, 能够比较真实地反映天然河道的水位流量关系, 常用的方法是构造两者之间的关系式, 其主要类型如下: ①通过曼宁公式计算的幂指数型, 如Q= αhβ[4] 或ln Q = lnα+βlnh (Q为流量, h 为水位, α、β为待定系数);②多项式型, 如Q = a0 + a1h + a2h2 +…+ amhm(a0、a1、…、am为待定系数), 多项式型因其图形与大部分观测站的水文特性相符而被广泛采用。笔者利用最小二乘法原理建立多项式方程组的系数矩阵, 利用QR分解并通过Fortran编程来确定多项式系数。
1 最小二乘法原理
最小二乘法(Least Squares Method, 简称LSM) 是传统的最优化设计方法之一[5] , 最初源于天文学和测地学的需要。现行的最小二乘法最早是由勒让德于1805年提出的, 他认为, 要设法构造出k个方程去求解, 关键不在于使每一个方程等号的左右两边都严格相符, 这在实际中也是不现实的, 而在于要使误差以一种平衡的方式分配到各个方程[6]。随后, 高斯对最小二乘法的误差进行了适当的描述, 认为其误差呈正态分布, 在正态误差下有一套简洁的小样本理论, 从而大大提高了最小二乘法在使用上的方便性和广泛性。如今, 最小二乘法在天文、物理、化学、工程中得到了广泛的应用, 它是以误差理论为依据的严格方法, 因而被广泛应用, 解决了如何从一组测量值中寻求可信赖值的问题。对若干对等精度的实测数据(xi , yi), 力求找出一条最佳的拟合曲线, 其误差的平方和最小, 被视为从一组测量值中求出一组未知量的最可信赖的方法之一[7] 。
设Pm (x) 是一个多次幂的多项式函数:
式中: a0、a1、…、am 为多项式的系数。
用式(1) 来拟合n 对数据(xi, yi) (i = 1, 2,…, n)。节点xi处测量值与计算值通常不等, 其差值可用残差表示:
Ri = Pm (xi) - yi (2)
残差的大小是衡量拟合好坏的一个重要因素, 最小二乘法的基本思想就是对于所有给定的数据点, 使残差的所有平方和最小, 即
将φ视为式(1) 的系数aj的函数, 即
φ=φ(a0, a1,…, am) (4)
上述数据拟合的问题归结为求多元函数的极值问题, 欲使取得极小值, 则a0、a1、…、am 必须满足:
对式(3)求偏导, 可得
即
令
则式(7)可表示为
这是一个m + 1阶对称的线性方程组, 展开得:
式(9) 是关于系数aj 的线性方程组, 称为正则方程组, 方程组的系数行列式不为0, 故可以解出此方程, 得到系数a0、a1、…、am , 代入式(1) 即可得到相应的多项式拟合方程。
2 实例应用
现以某水文监测站2004 年20组典型的水位流量数据为例, 应用最小二乘法原理分别采用二次(m = 2) 、三次(m =3)、四次(m = 4) 多项式拟合, 然后比较实测流量值与拟合曲线的计算值。实测的20组数据见表1。
表1 2004 年实测的20组水位流量数据
根据最小二乘法原理, 通过解式(9) 可求得系数。方程(9)为高阶线性方程组, 采用将系数矩阵分解成上三角矩阵和下三角矩阵的QR分解法, 利用Fortran95 编写程序, 分别计算出不同拟合次数中多项式的系数。
2. 1 二次拟合
二次拟合方程为
Q2(h) = - 1115. 512 - 4.683h + 2.767h2 (10)
此函数曲线呈抛物线型, 其实测流量值与拟合曲线见图1。
图1 二次拟合曲线与实测值
2. 2 三次拟合
三次拟合方程为
Q3(h) = - 618. 685 - 51. 916h + 3. 889h2 - 2. 076×10- 7 h3(11)
其实测流量值与拟合曲线见图2。
图2 三次拟合曲线与实测值
2. 3 四次拟合
四次拟合方程为
Q4(h) = -3024.83 - 3.697h - 0.782h2 - 0.06h3 +6.02×10- 3h4 (12)
其实测流量值与拟合曲线见图3。
图3 四次拟合曲线与实测值
2. 4 结果分析
从图1、图2、图3可以看出, 采用多项式拟合能够较精确地反映出数据的变化趋势, 在此基础上, 将实测的20个水位值分别代入3种拟合方程, 计算出对应的流量、绝对误差和相对误差, 结果见表2。
由表2可知, 最小二乘法计算结果的相对误差较小, 产生微小误差的原因可能是河道断面的水位与流量并不都是单一曲线, 并且在实测过程中某些时刻的流态复杂于下游河道的槽蓄作用, 水面存在一定的波动, 水位与流量的测量本身存在着偏差。二次、三次、四次拟合的平均误差分别为2.105%、2.114%和1.919%, 总的平均误差为2. 046%。总体上来讲, 计算值都很接近实测值, 因此使用最小二乘法拟合的水位流量关系曲线比较准确、可靠, 完全可以满足水文整编定线的精度要求。
表2 某测站水位流量拟合方程计算结果
参考文献:
[ 1] 李致家, 韩从尚. 河道流量和水位模拟的综合法介绍[J] . 人民黄河, 1990, 12(2) : 16- 20.
[ 2] 王春霞. 稳定水位流量关系加权有约束优化模型及其求解[J]. 水利水电,2008(1): 1- 6.
[ 3] 温维超. 大华电站水位流量关系的确定[J]. 云南水力发电, 2002(18): 25- 26.
[ 4] 李中志. 基于改进BP 神经网络的水位流量关系拟合[J]. 中国农村水利水电, 2008(10) : 30- 35.
[ 5] 顾晓军, 吴志江, 吕世金. 最小二乘法在管道声学测量中的应用研究[J]. 船舶力学, 2003(2): 95- 101.
[ 6] 杜廷松, 沈艳军, 覃太贵. 数值分析及试验[M] . 北京: 科学出版社, 2006.
[ 7] 闫蓓, 王斌, 李媛. 基于最小二乘法的椭圆拟合改进算法[J]. 北京航空航天大学学报, 2008(3): 295- 298.
作者简介: 戴凌全(1986-) , 男, 湖北丹江口人, 硕士研究生, 研究方向为环境水力学。
